8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

4-mısal Tómendegi funkcionaldıń ekstremalların tabıń (Bolc máselesi):
(7.10)
Sheshiliwi 1) Dáslep Eyler teńlemesin jasap, onıń ulıwma sheshimin tabamız. Joqarıdaǵı mısaldan Eyler teńlemesi kórinisinde bolatuǵını hám ol kórinisindegi ulıwma sheshimge iye bolatuǵını belgili.
2) Eyler teńlemesiniń ulıwma sheshimindegi hám turaqlılarınıń mánislerin anıqlaw ushın (4.2) transversallıq shártlerinen paydalanamız:

Bunnan mánislerin tabamız. Solay etip, funkciyası berilgen (10) funkcionalı ekstremumǵa erisiwi múmkin bolǵan, tek jalǵız iymeklik boladı.
5-mısal. Berilgen noqatınan
(7.11)
sferasına shekemgi eń qısqa aralıqtı tabıń.
Sheshiliwi 1) Bul másele noqatı (11) sferasınıń ústinde jatqanda
(7.12)
funkcionalın ekstremumǵa izertlew máselesine keltiriledi.
2) Bunıń ushın dáslep (12) funkcionalınıń ekstremalların anıqlaymız. Bunday ekstremallar

Eyler teńlemeleriniń sistemasınıń sheshimleri boladı. Sonlıqtan (12) funkcionalı ushın Eyler teńlemeleriniń sistemasın jasap, onı sheshemız:
a) bolǵanlıqtan Eyler teńlemeleriniń sisteması kórinisinde jazıladı;
b) bul differenciallıq teńlemeleriniń sistemasınıń sheshimi
(7.13)
tuwrıları boladı. olardıń noqatı arqalı ótetuǵınlıǵın esapqa alıp, mına teńliklerge kelemız:
(7.14)

3. 
   (13) ni esapqa alıp, (12) funkcionalınıń (5.6) transversallıq shártlerin tómendegishe jazıwǵa boladı:
   

Ápiwayı túrlendiriwlerdi orınlap, bunnan teńlemelerdıń mına sistemasına kelemız:
(7.15)
Bunda - izlenip atırǵan noqatınıń koordinataları
4) (13) ekstremallarınıń noqatı arqalı ótiw shártinen mına teńliklerdi jazıwǵa boladı:
(7.16)
Sonda (14), (15), (16) teńlemeleriniń sistemalarınan paydalanıp, mánislerine iye bolamız. Solay etip, berilgen (12) funkcionalınıń ekstremallarınıń teńlemesi
(7.17)
kóriniste jazıladı:
5) Sonıń menen birge, noqatı (11) sferasınıń ústinde jatatuǵının hám (17) teńlemelerin esapqa alıp, mına nátiyjege kelemız:

Solay etip, mına eki noqat tabıladı:

Geometriyalıq mánisinen paydalanıp, berilgen noqatın noqatı menen tutastıratuǵın (17) ekstremalı (12) funkcionalına minimum mánis beredi degen juwmaqqa kelemiz. Funkcionaldıń bunday mánisi

boladı. Al, berilgen noqatın noqatı menen tutastıratuǵın (16) ekstremalı (11) funkcionalına maksimum mánis beredi

Eskertiw. (14) transversallıq shártin keltirip shıǵarǵanda dep alındı. Al, egerde dep alınsa da bul shárttiń saqlanatuǵının atap ótemiz.