8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

Shegaraları qozǵalmalı ápiwayı variaciyalıq máselelerge
mısallar sheshiw


1-mısal. Tómendegi funkcional ushın trasnversallıq shártin tabıń:
(7.1)
Sheshiliwi. Bul jaǵdayda ulıwmalıq transversallıq shárti

kórinisinde jazıladı, yaǵnıy

yamasa

boladı. Shegaralıq noqatta dep uyǵarıp, bunnan yamasa teńligine kelemiz, yaǵnıy transversallıq shárti bul jaǵdayda iymekliklerdiń ortogonallıq shártine keltiriledi.
2-mısal. Shegara noqatları qozǵalmalı tómendegi máselede funkcionaldıń estremallların tabıń:
(7.2)
Sheshiliwi. 1) Integral astındaǵı funkciya bolǵanlıqtan, hám Eyler teńlemesi

kórinisine iye boladı. Sonlıqtan onıń ulıwma sheshimi
(7.3)
túrine iye boladı
2) Endi berilgen funkcionalǵa sáykes (2.17) transversallıq shártlerin jazamız:


3) (2) den , yaǵnıy mánisleri kelip shıǵadı. Sonda (3.5) teńlemelerin esapqa alıp, lerdıń mánislerin anıqlaw ushın tórt teńlemeniń mına sistemasına iye bolamız:

(7.4)


Teńlemelerdiń bul sistemasın sheship, mánislerine iye bolamız. Sonda berilgen funkcionaldıń ekstremalı tómendegishe jazıladı: .
Berilgen shegara noqatları qozǵalmalı máseledegi funkcional iymekliktiń hám noqatlarınıń arasındaǵı doǵasınıń uzınlıǵın ańlatadı. Sonlıqtan bul máselenıń geometriyalıq mánisi parabolasın tuwrısı menen tutastıratuǵın, eń qısqa uzınlıqtaǵı sıypaq iymeklikti tabıwdan ibarat boladı. Tabılǵan sheshimnen paydanalıp, kórsetilgen parabola menen tuwrınıń arasındaǵı qashıqlıqtı anıqlaw múmkin boladı:
(7.5)

3-mısal. Tómendegi máselede funkcionaldıń ekstremalların tabıń:

(7.6)
Sheshiliwi. Bul máselede bolǵandaǵı ekinshi shegaralıq shárt joq. Demek, iymekliginiń oń ushı tuwrısı boyınsha qozǵaladı. Sonlıqtan bul jaǵdayda (2.19) transversallıq shártinen praydalanıw kerek boladı.

1. 
   Berilgen funkcionalǵa sáykes Eyler teńlemesin dúzemız hám onı sheshemız:
   

a) bolǵanlıqtan, , boladı hám Eyler teńlemesi
(7.7)
kórinisinde jazıladı:
b) ekinshi tártipli hám turaqlı koefficientli, bir tekli (7) differenciallıq teńlemesiniń xarakteristikalıq teńlemesi - óz ara túyinles kompleks korenlerge iye boladı. Sonlıqtan onıń ulıwma sheshimi
(7.8)
kórinisinde jazıladı.

2. 
   Endi (8) degi hám turaqlılarınıń mánislerin anıqlaymız:
   

a) berilgen shegaralıq shártten boladı.
b) (2.19) transversallıq shártinen paydalanamız:


3) Sonlıqtan berilgen funkcionaldıń ekstremalı
(7.9)
kórinisinde jazıladı.