8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

7 –сүўрет
Solay etip, juwmaǵında mına juwıq teńliklerine kelemiz:
; (2.10)
(2.11)
Bundaǵı juwıq teńlikler hám ge qarata birinshiden joqarı tártipli aǵzalarǵa shekemgi dállik penen durıs boladı. Demek, (1) den mına nátiyjege kelemız:

yamasa
(2.12)
Bunda funkcionalı ekstremallarında aylanǵan funkciya, al - shegara noqatınıń koordinatalarınıń ósimi. Sonda funkcionalınıń ekstremumǵa iye bolatuǵın tiykarǵı zárúrli shárti tómendegishe jazıladı:
(2.13)
Egerde hám variaciyaları ǵárezsiz bolsa, onda bunnan mına teńlikler kelip shıǵadı:
(2.14)
Biraqta kópshilik jaǵdaylarda hám variaciyaları ǵárezli boladı.
Meyli, máselen shegara noqatı bazı bir iymekligi boyınsha qozǵalatuǵın bolsın. Sonda boladı hám (13) shárti mına kóriniske iye boladı:
(2.15)
yamasa, erkli ózgeretuǵınlıqtan,
(2.16)
boladı. Bul shárt shegaralıq noqatında hám múyesh koefficientleriniń arasında baylanıs ornatadı. ol transversallıq shárti dep ataladı.
Transverallıq shárti shárti menen birge, funkcional ekstremumǵa iye bolıwı múmkin bolǵan iymeklikler dástesınıń bir yamasa bir neshe ekstremalların anıqlawǵa múmkinshilik beredi. egerde shegaralıq noqatı bazı bir iymekligi boyınsha qozǵalsa da mına transversallıq shárti orınlanadı:
(2.17)
Egerde (1.1) funkcionalınıń ekstremumı haqqındaǵı máselede shegara noqatı gorizontal tuwrısı boyınsha qozǵalsa, onda boladı hám (16) transversallıq shárti mına ápiwayı kóriniske iye boladı:
(2.18)
Al, egerde shegara noqatı vertikal tuwrısı boyınsha qozǵalsa, onda boladı hám transversallıq shárti
(2.19)
kórinisinde jazıladı.