8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

Shegara noqatlarınıń ekewi de qozǵalmalı ápiwayı másele.

Variaciya esabınıń shegaraları qozǵalmalı ápiwayı máselesi bılay qoyıladı:

(3.1)
funkcionalı
(3.2)
shártlerinde lokallıq ekstremumǵa iye bolatuǵın funkciyasın hám noqatların tabıw talap etiledi. Bunda - barlıq argumentleri boyınsha ekinshi tártipke shekemgi úzliksiz dara tuwındılarǵa iye bolatuǵın, berilgen funkciya dep uyǵarıladı.
Bul máseleni tómendegishe de qáliplestiriwge boladı. Meyli tegisliginde hám sıypaq iymeklikleri berilgen bolsın. Sonda iymekliginiń qanday - da bir noqatın iymekliginiń bazı bir noqatı menen tutastıratuǵın hám (1) funkcionalı lokallıq (kúshsiz) ekstremumǵa erisetuǵın sıypaq iymekligin tabıw talap etiledi.
Bunday ápiwayı variaciyalıq máseleniń lokallıq ekstremumǵa iye bolıwınıń zárúrli shárti tómendegi teorema túrinde qáliplestiriledi.
1-teorema. (1) funkcionalı (2) shártlerinde funkciyasında lokallıq ekstremumǵa iye bolıwı ushın, bul funkciyanıń
(3.3)
Eyler teńlemesin hám

(3.4)
transversallıq shártlerin qanaatlandırıwı zárúrli boladı.
Solay etip, eki shegara noqatları qozǵalmalı ápiwayı variaciyalıq máseleni sheshiw tómendegi izbe-izlikte orınlanadı:
1) berilgen máselege sáykes Eyler teńlemesi jazıladı hám sheshiledi. Nátiyjede eki hám parametrlerinen ǵárezli bolǵan iymeklikleriniń toparı anıqlanad;.
2) (4) transversallıq shártlerinen hám

(3.5)
teńlemelerinen turaqlıları anıqlanadı;
3) (1) funkcionalınıń ekstremumı esaplanadı.


Bolc máselesi
Shegara noqatları qozǵalmalı ápiwayı variaciyalıq máselelerge Bolc máselesi de jatadı. Bul másele tómendegishe qoyıladı:
(4.1)
funkcionalına lokallıq ekstremum mánis beretuǵın funkciyasın tabıw talap etiledi. Bunda hám boyınsha úzliksiz tuwındılarǵa iye bolatuǵın, berilgen funkciya.
Bolc máselesınıń ektremumǵa iye bolıwınıń zárúrli shárti tómendegishe qáliplestiriledi.
2-teorema. (1) funkcionalı funkciyasında lokallıq ekstremumǵa iye bolıwı ushın, bul funkciya

Eyler teńlemesin hám
(4.2)
transversallıq shártlerin qanaatlandırıwı zárúrli boladı.
Sońǵı transversallıq (2) shártleri Eyler teńlemesiniń ulıwma sheshiminen hám erkli turaqlıların anıqlaw ushın paydalanıladı.