8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

Bir neshe funkciyalardan ǵárezli bolǵan ápiwayı variaciyalıq máseleleri

Dáslep bul máseleni hám eki funkciyasınan ǵárezli bolǵan

(5.1)
funkcionalı ushın qaraymız. Meyli, anıqlıq ushın shegara noqatı qozǵalmaytuǵın, al shegara noqatı qozǵalmalı bolsın. Sonda (1) funkcionalı lokallıq ekstremumǵa tek
(5.2)
Eyler teńlemeleriniń sistemasınıń integrallıq iymekliklerinde ǵana erisiwi múmkin.
Meyli, noqatı
(5.3)
iymeklikleri boyınsha qozǵalatuǵın bolsın. Bul jaǵdayda qoyılǵan máseledegi transversallıq shárti tómendegishe jazıladı:
(5.4)
Egerde shegara noqatı iymeklikleri boyınsha qozǵalatuǵın bolsa, onda oǵan sáykes transversallıq shárti tómendegishe jazıladı:
(5.5)
Al, egerde shegara noqatı qozǵalmaytuǵın hám shegara noqatı bazı bir beti boyınsha qozǵalatuǵın bolsa, onda (1) funkcionalınıń transversallıq shártleri tómendegishe jazıladı:
(5.6)
Bul eki shárt teńlemesi menen birge, ulıwma jaǵdayda Eylerdıń teńlemeleriniń sistemasınıń ulıwma sheshimindegi eki erkli turaqlını anıqlawǵa múmkinshilik beredi.
Egerde funkciyadan ǵárezli bolǵan
(5.7)
funkcionalı berilgen bolıp, onıń shegara noqatı qozǵalmalı bolsa, onda bul noqatta
(5.8)
teńligi orınlanadı. Bul (7) funkcionalınıń ekstremumǵa iye bolıwınıń zárúrli shárti boladı. egerde variaciyaları sızıqlı baylanıssız bolsa, onda (8) den mına teńliklerge kelemız:
(5.9)
Al, egerde noqatı bazı bir iymekligi boyınsha qozǵalsa, onda mına transversallıq shártine iye bolamız:
(5.10)
6 - §. Transversallar haqqında túsinik


Meyli, teńlemesi bolǵan ekstremalınıń ústinde qálegen noqatı berilgen bolsın. Bul noqattaǵı iymek sızıqtıń iymekligi yamasa oǵan júrgizilgen urınbanıń múyesh kofficenti penen anıqlanadı.



8-сүўрет
noqatında ekstremalın kesip ótetuǵın iymek sızıǵın júrgizemız (8-súwret). Bul iymek sızıq yamasa oǵan júrgizilgen urınba boyınsha kishi jılısıwdıń (qozǵalıwdıń) dúziwshilerin hám arqalı belgileymız.
Egerde, sonda shamalarınıń arasında
(6.1)
baylanısı bar bolsa, onda ekstremalı iymek sızıǵın transversal kesedi dep ataydı, al sızıǵınıń ózi transversal dep ataladı, (1) teńligi transversallıq shárti dep ataladı.
Bul anıqlamadan, transversal sızıq tek ekstremalǵa baylanıslı ǵana qaralatuǵını kórinip tur. Sonlıqtan (1) shártin joqarıdaǵı (2.16), (2.17) shártleri menen salıstırıp, mınanday juwmaqqa kelemiz: eki yamasa bir ushı iymek sızıqlar boyınsha qozǵalatuǵın ekstremal funkcionalǵa ekstremum mánis beriw ushın, onıń bul iymek sızıqlardı transversal kesiwi zárúrli boladı.
iymekligine noqatı arqalı júrgizilgen urınbanıń múyesh koefficientin dep belgilesek, onda bolıp, (1) teńligin tómendegishe jazıwǵa boladı:
(6.2)
Demek, (1) transversallıq shárti ekstremalǵa júrgizilgen urınbanıń múyesh koefficienti menen, ekstremaldı kesiwshi iymek sızıǵınıń urınbasınıń múyesh koefficienti arasındaǵı baylanıstı ańlatadı eken. Egerde dara jaǵdayda iymekligi anıq emes teńlemesi menen berilgen bolsa, onda transversalıq shárti tómendegishe jazıladı:
(6.3)