Algebra, geometriya, matematik analiz

deb belgilaymiz. ideal bo’ladi.
6-lemma. affin ko’pxillik bo’lsin. U holda ideal bo’lib, uni ko’pxillikning ideali deb ataymiz.
Isbot. ekanligini ko’rish qiyin emas. Chunki nol ko’phad da ham, xususiy holda da ham nolga aylanadi. va bo’lsin. dagi ixtiyoriy nuqta bo’lsin.
U holda

bundan ning ideal ekanligi kelib chiqadi.
Misol sifatida {(0, 0)} ko’pxillikni qaraymiz, u faqat bitta nuqtadan dagi koordinata boshidan iborat. Uning ideali elementlari (0, 0) nuqtada nolga teng bo’lgan ko’phadlardir.

ekanligini tasdiqlaymiz.
Bir tomondan isbot trivial – chunki ko’rinishdagi har qanday ko’phad koordinata boshida nolga aylanadi. ko’phad (0,0) nuqtada nolga aylansin. U holda bo’ladi va, demak

isbot tugadi.
Endi butun fazo bilan ustma-ust tushsin. Demak, 1-§ dagi 5-lemmaga ko’ra cheksiz bo’lganda
.
(Bu yerda 0- dagi nol ko’phadni aniqlaydi). Shuni tasdiqlaymizki, 1-§ dagi 5-lemma yuqorida keltirilgan tasdiqqa ekvivalentdir.
Buralgan kubika eng muhim misol hisoblanadi.

ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun avvalo ixtiyoriy ko’phadni
(2)
ko’rinishda ifodalash mumkinligini ko’rsatamiz, bunda esa faqat dan bog’liq. monom bo’lsin. U holda binom formulasiga ko’ra
ni saqlovchi hadlar) ni saqlovchi hadlar) va o’xshash hadlarni ixchamlab, ba’zi bir ko’phadlar uchun

ga ega bo’lamiz. boshqacha aytganda (2) tasdiq bu holda o’rinli. Har qanday ko’phad monomlarning chiziqli kombinatsiyasi bo’lganligi sababli, (2) doim to’g’ri bo’ladi.
Endi ni isbot qilishimiz mumkin. Avvalo, buralma kubika ta’rifiga ko’ra ekanligiga e’tibor beramiz, ideal sabali bo’lishini ko’ramiz. Demak, . Endi teskari munosabatni ko’rsatamiz
va -
(2) formulada ko’rsatilgan yoyilma bo’lsin. tenglikni isbotlash uchun kubikaning parametrizatsiyasidan foydalanamiz. ko’phad da nolga teng bo’lgani uchun

( faqat dan bog’liq ekanligini eslatamiz) ixtiyoriy haqiqiy son bo’lishi mumkin bo’lganligi sababli, 1-§dagi 5-lemmaga ko’ra nol ko’phad bo’ladi. Lekin agar bo’lsa, u holda talab qilingan ko’rinishga ega bo’ladi va

(2) da bajargan ishimiz ko’phadlarni bo’lishni eslatadi, lekin biz bitta ko’phadga emas, birdan ikkita ko’phadga bo’lamiz.
Biz mulohazalarimizning ajoyib bir natijasini aytib o’tamiz: agar bo’lsa, u holda bo’lishining zaruriy va yetarli sharti ko’phad aynan nolga teng bo’lishidir. Bu ko’phadni idealga tegishli bo’lish masalasini yechishning effektiv algoritmini beradi. Lekin bu usul parametrizatsiya bilan bog’liq. ni parametrizatsiyasiga suyanmasdan bu savolga javob berish mumkinmi? Gryobner bazisi va bo’linish haqidagi umumlashgan algoritmdan foydalanib buni qanday qilish kerakligini bilib olamiz.
Buralgan kubika haqidagi misol-masalani umumiy ko’rinishda qanday ifodalash kerakligini o’rgatadi. Avvalo biz va ko’phadlarni oldik, ularning yordamida affin ko’pxilligini aniqladik va so’ngra bu ko’pxillikda nolga aylanuvchi funksiyalar idealini qaradik va natijada shu ikki ko’phadlar yordamida hosil qilingan idealni hosil qiladi. Bular har vaqt ham to’g’rimi, degan savolni berish tabiiydir. bo’lsin. Quyidagiga ega bo’lamiz.
Ko’phadlar ko’pxillik ideal

degan tabiiy savol tug’iladi. Lekin bu savolga javob har doim ham ijobiy emas. Bizning eng yaxshi javob berishimiz mumkin bo’lgani:
7-lemma. bo’lsin. U holda bo’lib, lekin bu ikki ideal har doim usma-ust tushmaydi.
Isbot. bo’lsin. U holda lar da nolga aylanganligi sababli, ham da nolga aylanadi, demak,
ideal idealdan qat’iy katta bo’lganga misol keltiramiz.

munosabat tenglik emasligini isbot qilamiz. Avvalo idealni qarab chiqamiz. tenglamalar sistemasi faqat bitta nuqtadan iborat bo’lgan ko’pxillikni aniqlaydi. Bundan oldin ko’pxillikning ideali ligi, ya’ni ekanligini ko’rgan edik. Bu ideal idealdan qat’iy katta ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ekanligiga ishonch hosil qilish yetarli , chunki ko’phadning barcha hadlari ikkidan kam bo’lmagan darajaga ega.
Ixtiyoriy maydonlar holida va ideallar orasidagi bog’lanish ancha murakkab bo’lishi mumkin. Lekin agar maydon algebraik yopiq bo’lsa, xuddi kabi, u holda bu ideallar orasidagi bog’lanish yetarlicha sodda bo’ladi. Umumiy holda ideal ga teng bo’lmasada, ko’pxillikning ideali ko’pxillikni bir qiymatli aniqlaydi.
8-lemma. va lar dagi affin ko’pxilliklari bo’lsin. U holda
(i) munosabat faqat va faqat munosabat bajarilgandagina o’rinli;
(ii) faqat va faqat bo’lgandagina bajariladi
Isbot. Avvalo bo’lsin. U holda da nolga teng bo’lgan har qanday ko’phad, da ham nolga aylanadi, demak bo’ladi.
Endi bo’lsin. ko’pxillik ko’phadlar orqali aniqlangan bo’lsin. U holda demak, lar da nolga aylanadi. Lekin ko’phadlarning umumiy nollari to’plami bo’ladi, demak bo’ladi.
Affin ko’pxilliklari va ideallar orasidagi bog’lanish murakkab va har xil ko’rinishdadir. Biz bu yerda uning bir tomoninigina ko’rsatdik. Xususiy holda ideallar haqidagi teoremalar har xil geometrik natijalarga egaligini ko’ramiz. Endi dagi ideallarga taaluqli uchta teoremani aytib o’tamiz:
(Idealni tasvirlash). ideallardan biri chekli hosil qilinuvchimi? Ya’ni ba’zi bir lar uchun bo’ladimi?
(Idealga tegishlilik). bo’lsin. ko’phadning idealga tegishlilik masalasini yechuvchi algoritm mavjudmi?
(Nollar haqidagi teorema) bo’lsin. va lar orasidagi aniq bog’lanish qanday ko’rinishga ega.

Xulosa.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent, «O’zbekiston», 2001
   
2. 
   Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
   
3. 
   Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
   
4. 
   Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
   
5.