Algebra, geometriya, matematik analiz

6-m i s o l. halqada hatto nolmas vektor bo’lganda ham . ■
7-m i s o l. halqada ko’paytmasi nol bo’lgan ikki:

noldan farqli funksiyalar mavjud. ■
, ammo bo’lsa halqaning x va u elementlari nolning bo’luvchilari deyiladi. Bu holda x – nolning chap, u – esa o’ng bo’luvchisi (kommutativ halqalarda bunday farqlash o’rinli emas) deyiladi.
nolning bo’luvchilarisiz halqalar, va lar esa nolning bo’luvchilarili halqalardir.
Halqaning ta’rifiga ko’ra uning hamma elementlari to’plami qo’shishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa halqaning additiv gruppasi deyiladi. Birli halqaning a elementi uchun ham bo’lsa a element K ning teskarilanuvchi elementi deyiladi. Assosiativ birli to’plami ko’paytirishga nisbatan gruppadir. Bu gruppa halqaning multiplikativ gruppasi deyiladi.
Birli halqada teskarilanuvchi element birning bo’luvchisi ham deyiladi.
8-m i s o l. Agar halqa nolning bo’luvchilariga ega bo’lmasa ixtiyoriy uchun yoki dan kelib chiqadi, ya’ni tenglikning ixtiyoriy tomondan noldan farqli umumiy ko’paytuvchiga qisqartirish mumkin. Shuni isbot qiling.
Yechish. bo’lsin. U holda ammo . Shu sababdan nolning bo’luvchilari mavjud bo’lmagani sababli: ya’ni Xuddi shunday tartibda tenglikdan hosil qilinadi. ■
9-m i s o l. Birli assosiativ halqada nolning hyech qanday bo’luvchisi birning bo’luvchisi bo’laolmaydi.
Yechish.Masalan bo’lib, x esa teskari elementga ega bo’lsin ( u esa teskari elementga ega bo’lgan hol ham xuddi shunday tarzda qarab chiqiladi. Ammo u holda . Bundan assosiativlik qonuniga ko’ra, . Bu esa degan farazimizga ziddir. ■
Yagona elementdan iborat halqa (bu yagona element halqaning ham biri ham noli bo’lib xizmat qiladi) trivial halqa deyiladi. Agar halqada tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bu halqa trivial halqa bo’ladi; haqiqatan u holda ixtiyoriy uchun bo’ladi. Nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan birli notrivial assosiativ-kommutativ halqa butunlik sohasi (yoki butunlik halqasi) deyiladi. Masalan, shunday halqadir.