Algebra, geometriya, matematik analiz

Ushbu:

1) har bir noldan farqli a elementiga manfiy bo’lmagan son mos qilib qo’yilgan;
2) ixtiyoriy bunda elementlar uchun shunday topiladikki, bo’ladi. Shu bilan birga yo yoki , shartlarni qanoatlantiradigan butunlik sohasi Yevklid halqasi deyiladi. Boshqacha qilib aytganda yevklidiy halqalarda qoldiqli bo’lish amalining o’xshashi bor.
9-m i s o l. Butun sonlar halqasi va bitta x o’zgaruvchining haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi yevklidiy fazolardir. halqada da esa uchun ning darajasini olish kerak. ■
10-m i s o l. Har qanday yevklidiy halqa bosh ideallar halqasi bo’lishini isbot qiling.
Yechish. halqaning nolmas idealida shunday a elementni tanlaymizki, eng kichik musbat qiymat qabul qilsin. (Bunday element mavjud chunki hamma qiymatlar nomanfiy butun sonlar). U holda dagi hamma elementlarni ifodalash mumkin. Chindan ham, aks holda, bo’lar edi. Shu bilan birga va bo’lgani uchun ham bo’ladi. Shunday qilib biz da shunday element topdikki, Bu esa a ning tanlab olinganiga ziddir. Demak, b ni shaklda ifodalash mumkin. Shuning uchun , bu yerda ning hamma sonlarini qabul qiladi. Shunday qilib bosh idealdir. ■
11-m i s o l. Oldingi misoldan va halqalar bosh ideallar halqalari ekanligi kelib chiqadi. ■
12-m i s o l. Butun gaussiy sonlar halqasi ning yevklidiy halqa ekanligini isbot qiling.
Yechish.Bu halqa kompleks sonlar halqasining qismhalqasi bo’lganligi uchun butunlik sohasidir. Shuning uchun yoki bo’lganda va faqat shu holdagina bo’ladi.
uchun bo’lsin. Shubhasizki va
son yevklidiy fazo ta’rifining ikkinchi shartini ham qanoatlantirishini isbot qilamiz. va bo’lsin. bo’ladigan son mavjud bo’lishini isbot qilamiz. Avval ni ga bo’lamiz:
bo’ladigan ga yaqinroq sonlarni va bilan belgilaymiz va deymiz. ayirmani bilan belgilasak bo’ladi.
va sonlarning tanlanishiga ko’ra:
va bo’lgani uchun . Demak, bu yerda Shuning uchun yevklidiy halqa va shu sababli bosh ideallar halqasi ham. ■