Algebra, geometriya, matematik analiz

1-m i s o l. halqaning har qanday ideali halqaning (umuman olganda e birlik elementni o’z ichiga olmaydigan) qismhalqasi bo’lishi qismhalqaning ta’rifidan kelib chiqadi. ■
2-m i s o l. Har qanday qismhalqa ham ideal bo’lavermaydi. Haqiqatan, butun koeffisiyentli ko’phadlar halqasi haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlar halqasi ning qismhalqasi. Ammo halqa ning ideali emas, chunki masalan ko’phad ga tegishli, unga karrali bo’lgan

ko’phad kasr koeffisiyentlarga ega va shuning uchun ga tegishli emas. ■
3-m i s o l. Ozod hadi nol bo’lgan ko’phadlarning to’plami va o’zgaruvchilarning haqiqiy koeffisiyentli ko’phadlari halqasi ning ideali bo’lishini ko’rsating.
Yechish.Haqiqatan, agar va ko’phadlarning ozod hadlari nolga teng bo’lsa ko’phadning ozod hadi va shuningdek (bu yerda ) ko’rinishdagi har qanday ko’phadning ham ozod hadi nolga teng bo’ladi. Boshqacha qilib aytganda agar va bo’lsa, bo’ladi; va bo’lganda esa, bo’ladi. Demak, to’plam halqada ideal. Bu ideal bosh ideal emas. Haqiqatan va ko’phadlar ga tegishli bo’lgani holda da ham, ham karrali bo’ladigan birorta ham ko’had mavjud emas. ■
4-m i s o l. halqaning ikkita chap ideallarining kesishmasi halqaning chap ideali bo’lishini isbotlang.
Yechish. va bo’lsin. U holda . da ideal bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda ko’rsatiladi va shuning uchun Va yana, agar va bo’lsa, bo’ladi va to’plam da chap ideal bo’lgani uchun bo’ladi. Xuddi shu tarzda hosil qilinadi. Shuning uchun Bundan ning da chap ideal ekanligi kelib chiqadi. ■