Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
 
Grafiklarning kesishish  nuqtalari,  ya’ni  tenglamaning  ildizlari   [-4;-3],  [-2;-1] va  [-1; 0] 
oraliqlarda yotar ekan. 
 
2.  Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari. 
 
 
Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni Vatarlar, Nyuton (urinmalar) va oddiy 
iterasiya usullari yordamida taqribiy yechish mumkin. 
 
Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalarni  yechishdan  avval  ularning  ildizlarini  ajratib  olish  kerak 
bo’ladi.  Ildizlarni  ajratish  deganda  taqribiy  ildizlar  yotadigan  oraliqlarni  aniqlash  tushuniladi. 
Ildizlarni ajratish uchun ildizlarni ajratishning grafik yoki analitik usullaridan foydalanish mumkin. 
Tenglamaning  ildizlarni  ajratib  olganimizdan  so’ng  quyidagi  usullarning  biridan  foydalanib 
tenglamaning yechimini topish mumkin. Faraz qilaylik, ildiz 


b
a,
 oraliqda yotsin. 
 
Vatarlar usuli. 

 
231
a) Agar [a, b] oraliqda 
 
0

a
f
 bo’lsa, u holda  
 
 
 


n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x




1
, 
bunda 
a
x 
0
. 
 
b) Agar [a, b] oraliqda 
 
0

a
f
, u holda 
 
 
 


a
x
a
f
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n




1
 
bunda 
b
x 
0
. 
 
 
Nyuton  usuli  (Urinmalar  usuli).  Agar  [a,  b]  oraliqda 
   
0
"

x
f
a
f
  bo’lsa,  u  holda 
a
x 
0
;  agar 
   
0
"

x
f
b
f
  bo’lsa,  u  holda 
b
x 
0
  bo’ladi  va  quyidagi  formula  bilan 
xisoblanadi. 
 
 


,...
2
,
1
,
0
'
1




n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
. 
 
Iterasiya  usuli. 
 
0

x
f
  tenglamani 
 
x
x


  tenglama  ko’rinishiga  keltirish  kerak. 
Masalan quyidagicha 
 
 
k
x
f
x
x
'



. 
k  –ni  shunday  tanlash  kerakki, 
2
Q
k 
  qanoatlantirsin,  bunda 
 
x
f
Q
b
a
'
max
]
,
[

. 
k
-ning  ishorasi 
[a,  b]  oraliqda 
 
x
f '
  funksiyaning  ishorasi  bilan  mos  tushsin.  Iterasion  jarayon  [a,  b]  oraliqda 
 
1
'

 x
 shartga asosan yaqinlashadi. Ildizlar quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi. 
 
,...,
2
,
1
,
0
,
1




n
x
x
n
n
 
0
x
 
ning kiymati [a, b] oraliqdan olingan.  
 
Aniq yechimni quyidagi munosabatdan foydalanib baholash mumkin. 
0
1
*
1
x
x
M
M
x
x
n
n




, 
bunda x* - ildizning aniq kiymati, 
 
x
M
b
a



]
,
[
max
. 
 
 
 
0
20
56
40
4
2
3
4






x
x
x
x
x
f
 tenglamaning ildizlarini Vatarlar usulida 
hisoblash dasturni qaraymiz. 
 
Masalaning Paskal dasturi 
Program Tenglama; 
Uses Crt; 
const 
   n=3; Eps=0.001; 
var 
  i,j: integer; 
  a1,a2,a3,a4: real; 
  a,b : array[1..5] of real; 
  x   : array[0..100] of real; 
  f1  : text; 
Function F(x1:real): real; 

 
232
  Begin 
   F:=sqr(sqr(x1))+a1*sqr(x1)*x1+a2*sqr(x1)+a3*x1+a4; 
  end; 
Begin 
    ClrScr; 
        assign(f1,'c:\L.otv');   rewrite(f1); 
      a1:=-4;  a2:=-40;  a3:=-56; a4:=-20; 
      a[1]:=-4; a[2]:=-2; a[3]:=-1; a[4]:=0; 
      For j:=1 to n do BEGIN 
           if F(a[j])<0 then Begin 
             x[0]:=a[j]; i:=0; 
              Repeat 
                x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(a[j+1])-F(x[i])))*(a[j+1]-x[i]); 
                i:=i+1; 
              until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End 
           else Begin 
                x[0]:=a[j+1]; i:=0; 
              Repeat 
                x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(x[i])-F(a[j])))*(x[i]-a[j]); 
                i:=i+1; 
              until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End; 
       Writeln(f1,'Ildiz yotgan oraliq  [',a[j]:6:4,' ; ',a[j+1]:6:4,']'); 
       Writeln(f1,'Tenglamaning ildizi = ',x[i]); 
       END; 
         Close(f1); 
   End. 
 
Dasturning natijasi 
Ildiz yotgan oraliq     [-4.0000 ; -2.0000] 
Tenglamaning ildizi = -2.41666666666788E+0000 
Ildiz yotgan oraliq     [-2.0000 ; -1.0000] 
Tenglamaning ildizi = -1.04761904761835E+0000 
Ildiz yotgan oraliq     [-1.0000 ; 0.0000] 
Tenglamaning ildizi = -9.52380952380736E-0001 
 
Laboratoriya ishi № 2 
 
Berilgan tenglamani vatarlar va Nyuton usullarida yeching 
1. 
0
2
2
2
3


 x
x
 
14. 
0
10
9
3
2
3




x
x
x
 
2. 
0
2
2
3


 x
x
 
15. 
0
1
3
3


 x
x
 
3. 
0
3
3


 x
x
 
16. 
0
6
,
1
6
,
0
4
,
0
2
3




x
x
x
 
4. 
0
4
,
1
4
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
17. 
0
4
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
5. 
0
3
12
3
2
3




x
x
x
 
18. 
0
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
6. 
0
2
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3





x
x
x
 
19. 
0
5
6
3
2
3




x
x
x
 
7. 
0
4
,
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
20. 
0
4
2
3


 x
x
 
8. 
0
12
12
3
2
3




x
x
x
 
21. 
0
8
,
0
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
9. 
0
6
4
3


 x
x
 
22. 
0
2
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
10. 
0
1
6
3
2
3




x
x
x
 
23. 
0
5
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
11. 
0
2
6
3
2
3




x
x
x
 
24. 
0
2
,
1
3
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 

 
233
12. 
0
9
12
3
2
3




x
x
x
 
25. 
0
2
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
13. 
0
1
3
3


 x
x
 
26. 
0
2
,
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamaning  ildizlarini  ajratish  usullari 
g’oyasini tushuntirib bering? 
2.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalarni  taqribiy  yechish  usullarini 
tushuntirib bering? 
3.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalarni  taqribiy  yechish  usullari  xatoligi 
qanday baholanadi? 
 
4. ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASINI 
 SONLI YeChISh. 
 
Ishning  maqsadi:  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalar  sistemasining  yechimlarini  taqribiy 
hisoblash  usullarini  o’rganish,  hisoblash  ishlarini  bajarish,  hisoblash  dasturini  tuzish  va 
natijalarni tahlil qilish. 
 
Chiziqli  bo’lmagan    tenglamalar  sistemasini  taqribiy  yechishda  Nyuton  va  oddiy  iterasiya 
usullari  qo’llaniladi.    Nyuton  va  oddiy  iterasiya  usullarinng  chiziqli  bo’lmagan  ikkita  tenglama 
sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik. 









0
,
0
,
y
x
G
y
x
F
                                                                (1) 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar 



















n
n
n
y
n
n
n
n
n
x
n
n
y
x
J
y
y
y
x
J
x
x
,
,
1
1
                                                       (2) 
iterasion formulalardan hisoblanadi. 
Bu yerda  
















n
n
n
n
x
n
n
n
n
x
n
y
n
n
y
n
n
n
n
y
n
n
n
x
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
,
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
'
'




, 










0
,
,
,
,
,
'
'
'
'


n
n
y
n
n
x
n
n
y
n
n
x
y
x
G
y
x
G
y
x
F
y
x
F
y
x
J
 
Dastlabki yaqinlashish 


0
0
, y
x
 grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi. 
Misol.   Quyidagi 















0
4
,
0
1
2
,
3
2
3
y
xy
y
x
G
y
x
y
x
F
 
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. 
 
Yechish.    Grafik usulda  dastlabki yaqinlashish 
7
,
1
2
,
1
0
0


y
x
 aniqlangan bo’lsin. U 
holda 

 
234


1
3
2
6
,
2
3
2
0
0



xy
y
y
x
y
x
J
, demak     


910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1



J
 
(2) formulaga ko’ra 
 




















6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
 
Hisoblashlarni shu singari davom qilib 
6615
,
1
2343
,
1
2
2


y
x
 topamiz va hisoblashlarni 
talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz..  
 
Masalaning dasturi 
Program Nuton_Syst; 
  Const 
     Eps=0.0000001; 
  var 
   i  : integer; 
   F,G,Fx,Gx,Fy,Gy,J,Dx,Dy  : real; 
   x,y: array[0..100] of real; 
   Txt : text; 
Procedure Funk(xx:real;yy:real); 
  Begin 
     F:=2*xx*sqr(xx)-sqr(yy)-1; 
     G:=xx*sqr(yy)*yy-yy-4; 
     Fx:=6*sqr(xx);  Fy:=-2*yy; 
     Gx:=yy*sqr(yy);   Gy:=3*xx*sqr(yy)-1; 
     J:=Fx*Gy-Gx*Fy;  Dx:=F*Gy-G*Fy;  Dy:=Fx*G-Gx*F; 
  End; 
 
BEGIN 
        assign(Txt,'NU_S.otv');   rewrite(Txt); 
        x[0]:=1.2;  y[0]:=1.7; i:=0; 
        Repeat 
          Funk(x[i],y[i]); 
          x[i+1]:=x[i]-Dx/J; 
          y[i+1]:=y[i]-Dy/J; 
          i:=i+1; 
          Writeln(Txt,i:3,'   ', x[i]:10:7,'   ',y[i]:10:7); 
          Until (Abs(x[i]-x[i-1])       Close(Txt); 
END. 
Dasturning natijasi 
  1    1.2348763    1.6609797 
  2    1.2342747    1.6615263 
  3    1.2342745    1.6615265 
  4    1.2342745    1.6615265 
 
Oddiy iterasiya usuli. 
(1) sistemani 

 
235









y
x
y
y
x
x
,
,
2
1


                                                                (3) 
ko’rinishda yozib olamiz.  




y
x
y
x
,
,
,
2
1


 funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. 
Taqribiy yechimni topish algoritmi 




,.....
3
,
2
,
1
,
0
,
,
2
1
1
1








n
y
x
y
y
x
x
n
n
n
n
n
n


                                     (4) 
ko’rinishda beriladi. Bu yerda 


0
0
, y
x
 - birinchi yaqinlashish qiymatlari. 
(4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda 





















1
1
2
2
2
1
1
1
q
y
x
q
y
x




                                               (5) 
tengsizliklar bajarilsa. 
 
MISOL.  Quyidagi 











0
2
6
0
3
6
3
3
3
3
y
y
x
x
y
x
 
sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang. 
YeChISh.    Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani 













3
1
6
2
1
6
3
3
3
3
y
x
y
y
x
x
 
ko’rinishda yozib olamiz. 
 
1
0
,
1
0




y
x
 kvadrat sohani qaraylik. Agar 


0
0
, y
x
 shu sohaga qarashli  bo’lsa, u 
holda   




1
,
0
,
1
,
0
0
2
0
0
1




o
y
x
y
x


  o’rinli  bo’ladi.  Demak  shu  sohadan 


0
0
, y
x
 
ixtiyoriy    tanlaganimizda  ham 


n
n
y
x ,
  ham  o’sha  sohaga  tegishli  bo’ladi.  Bundan  esa  (5) 
yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni 
























1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x




 
o’rinli  bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada  yagona  yechim  mavjud  va uni  iterasiya usuli 
yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni 
2
1
,
2
1
0
0


y
x
 deb olaylik. 
;
333
,
0
6
8
1
8
1
3
1
;
542
,
0
6
8
1
8
1
2
1
1
1








y
x
 
;
354
,
0
6
1233
,
0
3
1
;
533
,
0
6
19615
,
0
2
1
2
2






y
x
 
Hisoblashlarni shu singari davom ettirib  

 
236
;
351
,
0
;
532
,
0
;
351
,
0
;
533
,
0
4
4
3
3




y
x
y
x
 
bo’lishini  aniqlaymiz.   
5
,
0
72
34
2
1


 q
q
  bo’lganligidan  va  uchinchi  va  to’rtinchi  taqribiy 
yechimlarning  kasr  qismidagi  uchta  raqamining  mos  kelishi  talab  qilingan  aniqlikka  erishilganini 
bildiradi. Taqribiy yechim sifatida 
;
351
,
0
;
532
,
0


y
x
 qiymatlarni olish mumkin. 
 
Laboratoriya ishi № 3 
1.  Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang. 
2.  Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring. 
3.  Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining taqribiy 
yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang. 
  
№ 1 










2
cos
2
2
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 2 










3
cos
5
,
0
1
cos
y
x
y
x
 
№ 3 










7
,
0
1
cos
2
2
sin
x
y
y
x
 
№ 4 










1
5
,
0
sin
2
5
,
1
cos
y
x
y
x
 
№ 5 













0
2
cos
1
5
,
0
sin
x
y
y
x
 
№ 6 










6
,
1
2
sin
8
,
0
5
,
0
cos
x
y
y
x
 
№ 7 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 8 











4
,
0
sin
0
1
cos
2
y
x
x
y
 
№ 9 










1
2
sin
2
5
,
0
cos
x
y
y
x
 
№ 10 













5
,
0
2
cos
5
,
1
2
sin
y
x
y
x
 
№ 11 










2
cos
2
2
,
1
1
sin
x
y
x
y
 
№ 12 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 13 










7
,
0
1
cos
2
2
sin
y
x
x
y
 
№ 14 










1
5
,
0
sin
2
5
,
1
cos
x
y
x
y
 
№ 15 













0
2
cos
1
5
,
0
sin
y
x
x
y
 
№ 16 










6
,
1
2
sin
8
,
0
5
,
0
cos
y
x
x
y
 
№ 17 













8
,
0
1
sin
3
,
1
1
sin
x
y
x
y
 
№ 18 











4
,
0
sin
0
1
cos
2
x
y
y
x
 
№ 19 










1
2
sin
2
5
,
0
cos
y
x
x
y
 
№ 20 













5
,
0
2
cos
5
,
1
2
sin
x
y
x
y
 
№ 21 










2
cos
2
1
1
sin
y
x
y
x
 
№ 22 










2
cos
8
,
0
1
cos
y
x
y
x
 
№ 23 










1
1
cos
6
,
1
2
sin
x
y
y
x
 
№ 24 










2
5
,
0
sin
2
2
,
1
cos
y
x
y
x
 
№ 25 













0
2
cos
2
,
1
5
,
0
sin
x
y
y
x
 
№ 26 










8
,
20
2
sin
1
51
,
0
cos
x
y
y
x