Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
№ 6 























1
,
12
7
,
3
34
,
1
6
,
7
3
,
6
6
,
8
7
,
12
4
,
7
3
,
8
4
,
5
5
,
2
5
,
5
5
,
3
4
,
4
4
,
2
5
,
15
1
,
14
2
,
23
1
,
12
3
,
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 7 
























3
,
7
8
,
23
7
,
6
8
,
8
6
,
5
4
,
9
3
,
14
5
,
6
2
,
13
3
,
6
6
,
6
1
,
2
4
,
5
2
,
14
4
,
23
4
,
14
7
,
12
3
,
14
3
,
5
4
,
14
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 8 























8
,
1
7
,
1
4
,
20
1
,
20
10
9
,
1
1
,
5
4
,
4
7
,
7
3
,
3
1
,
2
4
,
5
1
,
2
7
,
1
1
,
3
1
,
3
1
,
2
3
,
1
10
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 9 























10
2
,
5
1
,
4
3
,
1
1
,
7
20
8
,
1
6
,
1
4
,
1
2
,
1
19
7
,
1
5
,
1
3
,
4
1
,
1
10
4
,
57
9
,
1
8
,
1
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 10 























2
,
2
1
,
2
2
9
,
1
8
,
1
7
,
4
8
,
4
9
,
4
5
1
,
5
2
,
4
8
,
3
2
,
2
5
,
1
1
,
1
5
,
6
4
,
6
3
,
6
2
,
6
1
,
6
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
11 























6
,
1
5
,
4
4
,
1
3
,
1
2
,
1
1
,
1
6
,
9
5
,
8
4
,
7
2
,
6
10
5
,
1
4
,
1
2
,
2
3
,
1
01
,
6
1
,
5
2
,
4
1
,
3
2
,
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 12 























8
,
20
4
,
3
1
,
7
10
3
,
6
7
,
1
1
,
7
5
,
6
8
,
1
7
,
11
8
,
12
5
,
23
7
,
11
5
,
7
1
,
27
5
,
0
8
,
11
5
,
34
1
,
2
8
,
35
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
13 
























1
,
1
10
1
,
2
4
,
31
10
2
,
1
8
,
4
9
,
3
7
,
1
8
,
2
1
,
11
2
,
1
1
,
1
1
,
21
2
,
45
5
,
7
8
,
2
5
,
37
7
,
1
1
,
35
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 14 
























1
,
1
1
,
2
8
,
1
5
,
7
7
,
1
20
10
1
,
1
3
,
1
5
,
7
1
,
1
1
,
20
1
,
30
1
,
1
3
,
3
3
,
1
1
,
13
1
,
11
2
,
11
1
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
15 

























1
,
1
10
1
,
2
4
,
31
10
2
,
1
8
,
4
9
,
3
7
,
1
8
,
2
5
,
1
4
,
1
20
3
,
1
10
1
,
1
7
,
7
1
,
2
8
,
1
5
,
7
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 16 
























7
,
1
3
,
3
5
,
3
1
,
2
1
,
2
10
1
,
17
1
,
7
1
,
21
7
,
1
3
,
1
5
,
7
3
,
1
1
,
11
5
,
17
10
5
,
1
10
4
,
1
1
,
30
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
17 
























2
,
6
2
,
14
3
,
3
5
,
11
4
,
2
2
,
6
5
,
2
3
,
4
4
,
5
2
,
8
5
,
21
2
,
9
3
,
8
2
,
6
5
,
11
8
,
8
7
,
6
7
,
12
1
,
8
3
,
7
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 18 
























2
,
1
8
,
2
2
,
6
4
,
14
6
,
8
15
4
,
14
5
,
4
1
,
21
15
6
,
4
7
,
8
4
,
12
7
,
31
22
5
,
3
7
,
9
3
,
6
5
,
12
8
,
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 

 
243
№ 
19 
























5
,
6
2
,
12
5
,
6
2
,
5
2
,
13
4
,
5
8
,
8
3
,
18
7
,
7
6
,
8
1
,
17
2
,
6
3
,
14
3
,
8
8
,
5
23
,
2
42
3
,
8
2
,
7
4
,
6
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 20 
























5
,
8
7
,
12
4
,
6
7
,
13
7
,
2
4
,
6
7
,
4
2
,
5
3
,
22
4
,
8
4
,
4
8
,
5
7
,
12
3
,
4
3
,
6
2
,
13
5
,
8
2
,
4
2
,
3
2
,
14
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
21 
























2
,
9
7
,
3
3
,
8
2
,
12
5
,
7
4
,
12
7
,
8
4
,
14
6
,
6
6
,
15
6
,
6
6
,
6
5
,
12
7
,
7
7
,
10
8
,
5
3
,
14
8
,
3
4
,
12
3
,
7
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 22 
























8
,
10
3
,
9
8
,
13
6
,
6
5
,
3
7
,
8
2
,
6
4
,
12
7
,
3
8
,
5
4
,
12
7
,
7
6
,
5
2
,
4
3
,
8
8
,
6
2
,
6
4
,
4
3
,
8
2
,
13
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
23 























1
,
27
5
,
3
9
,
9
7
,
1
3
,
1
1
,
2
3
,
2
10
8
,
1
7
,
1
7
,
1
4
,
3
2
,
7
7
,
1
1
,
1
10
7
,
1
1
,
9
2
,
1
1
,
8
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 24 
























1
,
2
3
,
3
2
,
2
7
,
1
70
10
5
,
4
20
1
,
1
10
2
,
2
2
,
2
3
,
1
1
,
21
8
,
1
1
,
1
7
,
1
10
2
,
2
3
,
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 
25 
























7
,
1
20
3
,
3
7
,
0
3
,
3
8
,
1
5
,
0
2
,
30
20
10
1
,
2
1
,
1
1
,
30
5
,
0
20
7
,
1
7
,
1
20
9
,
9
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 26 























10
1
,
1
3
,
1
1
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
3
5
,
3
1
,
1
3
,
1
3
,
1
10
10
2
,
2
2
,
1
1
,
1
3
,
1
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  taqribiy  yechish  usullari  necha 
turga bo’linadi? 
2. Chiziqli  tenglamalar  sistemasi  yechishning  Gauss  usulini 
tushuntirib bering. 
3. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishda Gaussning bosh elementni 
tanlash usulini tushuntirib bering. 
 
 
6. ZEYDEL USULI YoRDAMIDA ChIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR 
SISTEMASINI TAQRIBIY YeChISh. 
 
Ishning  maksadi:  Oddiy  iterasiya  usulining  modifikasiyasi  xisoblangan  Zeydel  usuli 
yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish; masalani yechish algoritmini tuzish va 
EHMda ijro etish. 
 
M A S A L A N I       Q U R I Sh 
Faraz qilaylik quyidagi sistema berilgan bo’lsin: 
1
1
2
12
1
11
...
b
x
a
x
a
x
a
n
n




, 
2
2
2
22
1
21
...
b
x
a
x
a
x
a
n
n




,  
 
 
 
 
(3.1) 
……………………….. 
n
n
nn
n
n
b
x
a
x
a
x
a




...
2
2
1
1
. 
Takribiy yechish usullari orqali sistemaning yechimini aniqlaymiz (ya’ni shunday usullarni 
qo’llash lozimki hisoblashlarni yaxlitlanmasdan yechim 


n
x
x
x
,...,
,
2
1
 ni ma’lum bir aniqlikda topish 
lozim). 
 
Agar  (3.1)  ning  noma’lumlari    soni  ko’p  bo’lsa,  uning  aniq  yechimini  topish  qiyinlashadi. 
Bunday  hollarda  sistemaning  yechimlarini  topish  uchun  taqribiy  usullardan  foydalaniladi.  Bu  esa 

 
244
yechimni  topish  vaqtini  20-30%  kamaytiradi.  Yaxlitlash  xatoliklari  esa  aniq  usullar  yordamida 
yechganga qaraganda kamroq ta’sir qiladi, bundan tashqari hisoblash vaqtidagi xatoliklar yechimni 
topishning keyingi qadamida tuzatiladi. 
 
Algebraik  tenglamalar  sistemasini  takribiy  yechishning  keng  tarqalgan  usullaridan  biri 
Zeydel usulidan iboratdir. 
USULNING MAZMUNI 
 
Faraz  kiliylik  (3.1)  sistema  berilgan  bo’lsin  va  undagi  diogonal  koeffisentlar  noldan  farqli 
bo’lsin,  ya’ni 


n
i
a
ii
,...,
2
,
1
0


.  Sistemaning  birinchi  tenglamasini 
1
x   ga,  ikkinchisini 
2
x   ga 
nisbatan yechib quyidagi sistemaga ega bo’lamiz. 
n
n
x
x
x
x
1
3
13
2
12
1
1
...









, 
                             
n
n
x
x
x
x
2
3
23
2
22
2
2
...









                   (3.2) 
……………………………… 
1
1
,
2
2
1
1
...







n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x




. 
Bu yerda 
ii
ij
ij
ii
i
i
a
a
d
a
b
/




,  
j
i 
 da  va 
0

ij

, 


n
j
i
j
i
,...,
2
,
1
, 

 da.  
(3.2) sistemani ketma-ket yakinlashish usulida yechamiz. 
 
Nolinchi  yakinlashish  sifatida 
 
 
 
0
0
2
0
1
,...,
,
n
x
x
x
  larni  shunday  tanlaymizki,    ular 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
 
larga iloji boricha yaqin bo’lsin. 
 
Nolinchi  yakinlashish  sifatida  ko’pchilik  hollarda 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
  larning  taqribiy  qiymatlari 
olinadi.  K-chi  yakinlashishni  ma’lum  deb,  (K+1)  yakinlashishni  quyidagi  formula  orqali 
aniqlaymiz. 


 





n
j
k
j
j
k
x
x
1
1
1
1
1


; 




 









n
j
k
j
j
n
j
k
j
j
i
k
x
x
x
2
1
1
1
1
1
1



;  
 
 
 
(3.3) 




 


,...
2
,
1
,
0
1
1
1
1
1








k
x
x
x
n
j
k
n
nn
k
j
j
n
k



 
 
Bu  usulning  mazmuni  shundan  iboratki,  (K+1)  chi  yakinlashishda  noma’lum 
i
x   ning 
ifodasida undan oldingi hadlarning (K+1) chi yaqinlashishlari  ko’llaniladi. 
 
Bu keltirilgan yaqinlashishning zaruriy sharti quyidagi teorema orqali beriladi. 
 
Teorema. Agar (3.2) sistema uchun kuyidagi tengsizliklarning  
1) 



n
j
ij
1
1
|
|

 


n
i
,...,
2
,
1

 
yoki 
2) 



n
j
ij
1
1
|
|

 


n
i
,...,
2
,
1

 
birortasi  bajarilsa  (3.3)  iterasiya  jarayoni  sistemaning  yechimiga  yakinlashadi  va  u  nolinchi 
yaqinlashishga bog’liq bo’lmaydi. 
Natija:  Quyidagi sistema uchun 



n
j
i
j
ij
b
x
a
1
 


n
i
,...,
2
,
1

 
iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda 


n
i
a
a
j
i
ij
ii
,...,
2
,
1
|
|




 
tengsizlik  bajarilsa,  ya’ni  har  bir  tenglamada  diogonal  koeffisiyentlarning  moduli  qolgan  boshqa 
koeffisiyentlar modullarining yig’indisidan katta bo’lsa( ozod hadlarni hisobga olmaganda). 

 
245
 
Zeydel usulini qo’llab quyidagi sistemaning yechimini topaylik: 
6
5
,
0
5
,
0
5
3
2
1



x
x
x
; 
5
,
6
5
,
0
5
3
2
1



x
x
x
; 
 
 
 
 
(3.4) 
7
5
3
2
1



x
x
x
. 
 
Yechish: Berilgan sistemani (3.2) ko’rinishdagi sistemaga keltiramiz: 
3
2
1
1
,
0
1
,
0
2
,
1
x
x
x



; 
3
1
2
1
,
0
2
,
0
3
,
1
x
x
x



; 
 
3
1
3
2
,
0
2
,
0
4
,
1
x
x
x



. 
 
Haqiqitan ham bu sistema uchun zaruriy shart bajariladi: 













2
1
2
1
2
1
1
4
,
0
|
|
,
1
3
,
0
|
|
,
1
2
,
0
|
|
j
ij
j
ij
j
ij
a
a
a
 
Nolinchi yakinlashish sifatida 
 
 
 
.
4
,
1
;
3
,
1
;
2
,
1
0
3
0
2
0
1



x
x
x
 
U holda Zeydel usulining keyingi yaqinlashishi quyidagicha bo’ladi: 
 
9300
,
0
4
,
1
1
,
0
3
,
1
1
,
0
2
,
1
1
1






x
; 
 
9740
,
0
4
,
1
1
,
0
9300
,
0
2
,
0
3
,
1
1
2






x
; 
 
192
,
1
9740
,
0
2
,
0
9300
,
0
2
,
0
4
,
1
1
3







x
; 
K=2 bo’lganda 
 
00068
,
1
0192
,
1
1
,
0
9740
,
0
1
,
0
2
,
1
2
1






x
; 
 
997944
,
0
0192
,
1
1
,
0
00068
,
1
2
,
0
3
,
1
2
2






x
; 
 
0002752
,
1
997944
,
0
2
,
0
00068
,
1
2
,
0
4
,
1
2
3






x
; 
Jadval 3.1 
(3.4) sistema noma’lumlarining qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan: 
K 
 
k
x
1
 
 
k
x
2
 
 
k
x
3
 
0 
1,2000 
1,3000 
1,4000 
1 
0,9300 
0,9740 
1,0192 
2 
1,0006 
0,9979 
1,0002 
3 
1,0001 
0,9999 
0,9999 
4 
1,0000 
1,0000 
0,9999 
5 
1,0000 
1,0000 
1,0000 
6 
1,0000 
1,0000 
1,0000 
Bu yerda sistemaning haqiqiy yechimi quyidagichadir: 
.
1
;
1
;
1
3
2
1



x
x
x