Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
22 
























8
,
10
3
,
9
8
,
13
6
,
6
5
,
3
7
,
8
2
,
6
4
,
12
7
,
3
8
,
5
4
,
12
7
,
7
6
,
5
2
,
4
3
,
8
8
,
6
2
,
6
4
,
4
3
,
8
2
,
13
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
23 























1
,
27
5
,
3
9
,
9
7
,
1
3
,
1
1
,
2
3
,
2
10
8
,
1
7
,
1
7
,
1
4
,
3
2
,
7
7
,
1
1
,
1
10
7
,
1
1
,
9
2
,
1
1
,
8
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
24 
























1
,
2
3
,
3
2
,
2
7
,
1
70
10
5
,
4
20
1
,
1
10
2
,
2
2
,
2
3
,
1
1
,
21
8
,
1
1
,
1
7
,
1
10
2
,
2
3
,
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
25 
























7
,
1
20
3
,
3
7
,
0
3
,
3
8
,
1
5
,
0
2
,
30
20
10
1
,
2
1
,
1
1
,
30
5
,
0
20
7
,
1
7
,
1
20
9
,
9
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
26 























10
1
,
1
3
,
1
1
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
1
2
,
1
3
,
3
5
,
3
1
,
1
3
,
1
3
,
1
10
10
2
,
2
2
,
1
1
,
1
3
,
1
7
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  Zeydel  usulini 
tushuntirib bering. 
2. Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishning  Zeydel  usulining 
yaqinlashish shartini tushuntirib bering. 
 
 
7. FUNKSIYaLARNI INTERPOLYaSIYaLASh  
 
Ishning  maksadi:  Interpolyasion  ko’phadlar  va  ularni  qurish,  berilgan  nuqtada 
funksiyaning  qiymatini  taqribiy  hisoblashni  o’rganish,  masalani  yechish  algoritmini  tuzish  va 
EHMda ijro etish. 
 
Masalaning qo’yilishi 
 
x
f
y 
  funksiya  berilgan  bo’lsa, 
x
  ning  mumkin  bo’lgan  ixtiyoriy  qiymatiga 
y
  ning 
qiymati  mos  qo’yilgan  bo’ladi. 
 
x
y
  ni  aniqlash  har  doim  ham  oson  bo’lmaydi.  Masalan,  agar 
x
 
parametr o’rnida  kelsa 
 
x
y
  marakkab  masalaning  yechimi  deb  qaralishi  mumkin  yoki 
 
x
y
  ning 
qiymatlari  qimmat  turuvchi  taqiqotlar  natijasida  aniqlangan  bo’lsa.  Bunda  funksiyaning  qiymatlar 
jadvalini  tuzishimiz  mumkin,  lekin  argumentning  juda  ko’p    qiymatlarida  buni  bajarish  imkoni 
bo’lmaydi. 
Bunday hollarda odatda interpolyasion formulalar qo’llaniladi. 
 


b
a,
  kesmada 
n
x
x
x
,....,
,
1
0
      argumentning 
1

n
  ta  har  xil  qiymatiga  mos  keluvchi 
 
x
f
y 
funksiyaning  qiymatlari 
 
0
0
y
x
f

, 
 
1
1
y
x
f

,…, 
 
n
n
y
x
f

    berilgan  bo’lsin. 

 
249
n
x
x
x
,....,
,
1
0
  berilgan  tugunlarda 
 
x
f
y 
funksiya  bilan  bir  xil  qiymat  qabul  qiladigan  va 
darajasi 
n
 dan oshmaydigan 
 
х
n

 ko’pxadni qurish talab qilinsin, ya’ni 
 


.
,...,
2
,
1
,
n
i
y
х
i
i
n



 
 
х
n

-  interpolyasion  ko’pxad, 
n
x
x
x
,....,
,
1
0
  interpolyasiya  tugunlari,  haralayotgan 
masala esa interpolyasiya masalasi deb yuritiladi. 
Geometrik nuqtai nazardan bu   


i
i
y
х ,
 nuqtalardan o’tuvchi 
 
х
y
n


 chiziqni topishni 
bildiradi (Rasm 1). 
 
Rasm 1. 
 
Interpolyasiya  masalasi  cheksiz  ko’p  yechimga  ega  bo’lishi  yoki  umuman  yechimga  ega 
bo’lmasligi mumkin.  
 
Ko’pincha  interpolyasion  formulalar  argumentning  oraliq  qiymatlari  uchun 
 
x
f
y 
 
funksiyaning qiymatini topishda foydalaniladi.  
Bunda  nuqta 
х
 


n
х
х ,
0
oraliqda  yotganda 
interpolyasiya, 


n
х
х ,
0
kesmadan tashqarida yotganda ekstropolyasiyalash masalasi deb yuritiladi. 
 
Interpolsion  ko’pxadning  umumiy  ko’rinishdagi  turli  ifodalanishlari  mavjud:  Nyuton, 
Lagranj, Gauss, Sterling, Bessel va boshqalar.  
Nyuton,  Lagranj  formulalari  hisoblashlarda 
qulay bo’lib EHMda va qo’lda hisoblashlarda aniqlikni nazorat qilishni ta’minlaydi, qolgan boshqa 
formalar interpolyasiya tugunlari joylashishining xususiy xollarida o’rinli. 
Usulning yoritilishi. 
 
Nyuton  interpolyasion  formulalari  teng  uzoqlikda  joylashgan  tugunlar  uchun  qaralayotgan 
oraliqning boshi va oxiridagi nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblash uchun qulay.  
 
Ixtiyoriy  joylashgan  tugunlarda  interpolyasiyalashda  Lagranj  interpolyasion  formulasidan 
foydalaniladi. 
 


n
i
х
i
,...,
1
,
0

  ixtiyoriy  tugunlar  va  bu  tugunlarda 
 
x
f
y 
  funksiyaning 
 
i
i
x
f
y 
  
qiymatlarii  berilgan  bo’lsin. 
i
х
  tugunlarda 
i
y
  qiymatlarni  qabul  qiladigan 
n
-darajali  ko’pxadni 
Lagranj interpolyasion ko’phadi yordamida qurishni qaraylik. 
 
 

x
L
n

 

 


 

 

n
i
i
i
i
n
i
i
i
n
i
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
y

















1
1
0
1
0
0
 
Formulaning qoldiq hadi  
 
 


 




 

n
n
n
х
х
х
х
х
х
n
х
R







1
0
1
1


 

 
250
kabi bo’ladi. Bu yerda 
  


mn
i
х
i
1
,
0

 tugunlar va 
х
 nuqta o’z ichiga oladigan eng kichik oraliqda 
yotadi.. 
 
 
 
















n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
n
i
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
L



















1
1
1
0
1
1
1
0
 
ifoda Lagranj koefisentlarii deb nomlanadi. 
 
Bu holda (4,1) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi. 
 
 




n
i
i
n
i
n
y
х
L
х
L
1
 
 
Lagranj koeffisentlarini hisoblash uchun quyida keltirilgan sxemadan foydalanish mumkin. 
 
i 
)
(
j
i
x
x
j
i


 
i
D  
i
y  
i
i
D
y
 
0 
0
x
x 
 
1
0
x
x 
 
2
0
x
x 
 
..... 
n
x
x 
0
 
0
D  
0
y  
0
0
D
y
 
1 
0
1
x
x 
 
1
x
x 
 
2
1
x
x 
 
..... 
n
x
x 
1
 
1
D  
1
y  
1
1
D
y
 
2 
0
2
x
x 
 
1
2
x
x 
 
2
x
x 
 
..... 
n
x
x 
2
 
2
D  
2
y  
2
2
D
y
 
3 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
..... 
... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







n
i
i
n
x
x
x
П
0
1
 



n
i
i
i
D
y
S
0
 
 
 
 
 
Birinchi satr elementlari yig’indisini  
0
D , ikkinchi satr elementlari yig’indisini 
1
D  va 
hakozo  kabi  belgilaymiz.  Tagi  chizilgan  diogonal  elementlarning  yig’indisini 
 
x
П
n 1

  orqali 
belgilaymiz. Bundan esa  
 
 
 


n
i
D
х
х
L
i
n
n
i
,
,
1
,
0
1





 bo’lishi kelib chiqadi. 
Demak  
 
 





n
i
i
i
n
n
D
y
х
х
L
1
1
o’rinli bo’ladi. 
Misol. 
 
х
y
ln

funksiyaning 
103
,
102
,
101
,
100

х
  nuqtalardagi  qiymatini  berilgan  bo’lsin.  Bu 
funksiyaning 
5
,
100

х
 bo’lgandagi qiymatini toping va xatolikni baholang. 
 
Yechish:  Qulaylik uchun hamma hisoblashlarni jadvalga joylashtiramiz.! 
i 
)
(
j
i
x
x
j
i


 
i
D  
i
y  
i
i
D
y
 
0 
0,5 
-1 
-2 
-3 
-3,0 
4,60517 
-1,53500 
1 
1 
-0,5 
-1 
-2 
-1,0 
4,61512 
-4,61512 
2 
2 
1 
-1,5 
-1 
3,0 
4,62797 
 1,54365 
3 
3 
2 
1 
-2,5 
-1,5 
4,63473 
-3,08582 
 


375
,
9
0
1







n
i
i
n
x
x
x
П
 
769834
0





n
i
i
i
D
y
S
 
Bu holda  

 
251
 


 



21156
.
8
69834
.
7
375
.
9
5
.
100
3
0
4








i
i
i
D
х
y

 
Lagranj formulasi qoldiq hadi 
3

n
bo’lganda  
 
 
 





.
!
4
3
2
1
0
3
х
х
х
х
х
х
х
х
f
х
R
iv






 
kabi bo’ladi.  
Biz 
qarayotgan 
misolda 
5
,
100
,
103
,
102
,
101
,
100
3
2
1
0





x
x
x
x
х
 
va 
103
100



. 
 
х
x
f
ln

bo’lgani uchun 
 
4
6
x
f
iv



 bo’ladi. Demak 




8
4
3
10
23
,
0
5
,
3
5
,
2
5
,
1
5
,
0
!
4
100
6
5
,
100









R
. 
 
Masalaning dasturi 
  Program Int_Pol; 
  const 
     n=4; 
  var 
     i,j,k     : integer; 
     p,xx,Lx :  real; 
     txt1,txt2            : text; 
     a                    : array[1..n,1..n] of real; 
     x,y,d                : array[0..n] of real; 
 
     BEGIN 
          xx:=100.5; 
          assign(txt1,'Int_pol.dat');   reset(txt1); 
 
      For i:=0 to n-1 do read(txt1,x[i],y[i]); 
                              close(txt1); 
 
        assign(txt2,'Int_Pol.otv');   rewrite(txt2); 
          Writeln(txt2,' Nuyton interpolyatsion formulasi'); 
          Writeln(txt2,' X va Y ning berilgan qiymatlari'); 
          Writeln(txt2,'      x            y'); 
           For i:=0 to n-1   do  begin 
            write(txt2,x[i]:10:2,'   ',y[i]:10:5); 
                              writeln(txt2); end; 
            p:=1; 
          For i:=0 to n-1 do Begin 
          d[i]:=(xx-x[i]); 
          For j:=0 to n-1 do  if i<>j then d[i]:=d[i]*(x[i]-x[j]); 
                     p:=p*(xx-x[i]);End; 
          Lx:=0; 
          For i:=0 to n-1 do   Lx:=Lx+P*y[i]/d[i]; 
            write(txt2,'Lx=',Lx:10:5); 
              close(txt2); 
   END. 
 

 
252
Int_pol.dat faylida berilgan qiymatlarning joylashishi 
100.0   4.60517 
101.0   4.61512 
102.0   4.62797 
103.0   4.63473 
 
Dasturning natijasi 
Nuyton interpolyatsion formulasi 
 X va Y ning berilgan qiymatlari 
      x           y 
    100.00      4.60517 
    101.00      4.61512 
    102.00      4.62797 
    103.00      4.63473 
 
 Lx=   4.60922 
 
 
Laboratoriya ishi №6 
Teng  uzoklikda  joylashgan  tugunlarda 
y
  funksiyaning  qiymatlari  berilgan.    Nyutonning 
birinchi va ikkinchi interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va 
х
 nuqtadagi qiymatini 
hisoblang. 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
1,375 
1,380 
1,385 
1,390 
1,395 
1,400 
5,04192 
5,17744 
5,32016 
5,47069 
5,62968 
5,79788 
1 
1,3832 
0,115 
0,120 
0,125 
0,130 
0,135 
0,140 
8,65729 
8,29729 
7,95829 
7,64893 
7,36235 
7,09613 
2 
0,1264 
3 
1,3926 
4 
0,1315 
5 
1,3862 
6 
0,1232 
7 
1,3934 
8 
0,1334 
9 
1,3866 
10 
0,1285 
11  1,3795 
12 
0,1356 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
1,415 
1,420 
1,425 
1,430 
1,435 
1,440 
1,445 
0,888551 
0,889599 
0,890637 
0,891667 
0,892687 
0,893698 
0,894688 
13 
1,4179 
0,150 
0,155 
0,160 
0,165 
0,170 
0,175 
0,180 
6,61659 
6,39989 
6,19658 
6,00551 
5,82558 
5,65583 
5,42667 
14 
0,1521 
15 
1,4258 
16 
0,1611 
17 
1,4396 
18 
0,1662 
19 
1,4236 
20 
0,1542 
21 
1,4315 
22 
0,1625 
23 
1,4215 
24 
0,1711 
25 
1,4277 
26 
0,1753 
 
 
Teng  uzoklikda  joylashmagan  tugunlarda 
y
  funksiyaning  qiymatlari  berilgan.  
Lagranj interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va 
х
 nuqtadagi qiymatini hisoblang. 
 
x 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
0,43 
1,63597 
1 
0,702 
0,02 
1,02316 
2 
0,102 
0,48 
1,73234 
3 
0,512 
0,08 
1,09590 
4 
0,114 
0,55 
1,87686 
5 
0,645 
0,12 
1,14725 
6 
0,125 
0,62 
2,03345 
7 
0,736 
0,17 
1,21483 
8 
0,203 
0,70 
2,22846 
9 
0,608 
0,23 
1,30120 
10 
0,154 

 
253
0,75 
2,35973 
11  0,478 
0,30 
1,40976 
12 
0,087 
 
 
X 
y 
№ 
x 
 
x 
y 
№ 
x 
0,35 
2,73951 
13 
0,526 
0,68 
0,80866 
14 
0,896 
0,41 
2,30080 
15 
0,453 
0,73 
0,89492 
16 
0,812 
0,47 
1,96864 
17 
0,482 
0,80 
1,02964 
18 
0,774 
0,51 
1,78776 
19 
0,552 
0,88 
0,20966 
20 
0,955 
0,56 
1,59502 
21 
0,436 
0,93 
1,34087 
22 
0,715 
0,64 
1,34310 
23 
0,635 
0,99 
1,52368 
24 
0,984 
0,69 
1,16321 
25 
0,667 
1,07 
1,75826 
26 
0,845