Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

 
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qanday qo’yiladi ? 

 
260
2. Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Eyler  usulini 
tushintirib bering. 
3.  Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Runge-Kutta 
usulini tushintirib bering. 
 
 
9. IKKINChI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI 
TAQRIBIY YeChISh 
 
Ishdan  maqsad:    Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamani  progonka  usulida  yechishni 
talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: 
  Hosilalarni chekli ayirmalarda ifodalash. 
  differensial tenglamaning chekli ayirmali ifodalanishi; 
  differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash;  
  hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish;  
  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Masalani  qo’yilishi. 
 
         Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglama  berilgan  bo’lsin: 
0
)
,
,
,
(
''
'

y
y
y
x
F
                                  (7.1) 
Ikki   nuqtali  chegaraviy    masala   (7.1)  uchun   quyidagicha   qo’yiladi:     


b
a,
    kesma 
ichida  (7.1)  tenglamani qanoatlantiruvchi    va   kesmaning  oxirida  esa 
                                   











0
)
(
),
(
0
)
(
),
(
'
2
'
1
b
y
b
y
a
y
a
y


                                        (7.2) 
 
chegaraviy  shartlar  qanoatlantiruvchi 
 
x
y
y 
 funksiyani topish talab qilinadi. 
(7.1)    tenglama    va    (7.2)    chegaraviy    shartlar    chiziqli    bo’lgan  holni  qaraylik.  Bunday  
chegaraviy    masala    chiziqli    chegaraviy    masala    deyiladi.    U  holda    differensial  tenglama    va  
chegaraviy  shartlarni  quyidagicha  yozish  mumkin: 
                        
)
(
)
(
)
(
'
''
x
f
y
x
q
y
x
p
y



                               (7.3) 
                         









B
b
y
b
y
A
a
y
a
y
)
(
)
(
)
(
)
(
'
1
0
'
1
0




                                   (7.4) 
bu    yerda 
   
 
x
f
x
q
x
p
,
,
  -     


b
a,
        kesmada  uzluksiz  bo’lgan  berilgan            funksiyalar, 
B
A,
,
,
,
,
1
0
1
0




 -  berilgan  o’zgarmaslar bo’lib  
             
0
1
0




             va                 
0
1
0




 
shartni qanoatlantiradi. 
Agar  
0

 B
A
  bo’lsa,  u  holda   (7.4) chegaraviy  shart bir  jinsli  deyiladi. 
       Qaralayotgan  chegaraviy    masalaning  taqribiy    yechimini  topish  usullari    ikki    guruhga  
bo’linadi:  analitik va ayirmali usullar. 
       Chegaraviy  masalalarni  yechishning  eng  sodda   usullaridan  biri  chekli  ayirmalar  usulidir. 

 
261
 
Usulning  yoritilishi 
 
             


b
a,
    kesmani    uzunligi  
h
   bo’lgan  
n
   ta  teng  kesmalarga  ajratamiz,  bu  yerda    
n
a
b
h


. 
 
 
 
Bo’linish 
 
 
nuqtalarining 
 
absissasi  
b
x
a
x
n
i
ih
x
x
n
i






,
),
1
,...,
3
,
2
,
1
(
,
0
0
  kabi  bo’ladi.  Bo’linish   nuqtalari  
i
x
  lar uchun 
)
( x
y
y 
  funksiya  va    uning         
)
(
),
(
''
'
x
y
x
y
      hosilalarini   
)
(
),
(
'
'
i
i
i
i
x
y
y
x
y
y


  kabi  
belgilaymiz.  Bulardan  tashqari  quyidagicha  belgilashlar  kiritamiz:   
                 
)
(
),
(
),
(
i
i
i
i
i
i
x
f
f
x
q
q
x
p
p



 
Har  bir ichki  tugunlarda    
)
(
),
(
''
'
i
i
x
y
x
y
   hosilalarni taqribiy  chekli  ayirmalar  
               
2
1
2
''
1
'
2
,
h
y
y
y
y
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i








                            (7.5) 
kesmaning chetlarda  esa   
              
h
y
y
y
h
y
y
y
n
n
n
1
'
0
1
'
0
,





                                  (7.6) 
chekli  ayirmalar bilan almashtiramiz. 
              (7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni  (7.3) tenglama va (7.4)  chegaraviy  shartlarga qo’yib 
quyidagi  tenglamalar  sistemasini  hosil  qilamiz: 
      























B
h
y
y
y
A
h
y
y
y
f
y
q
h
y
y
p
h
y
y
y
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
1
2
,
2




                (7.7) 
        Agar   
)
(
'
i
x
y
      va   
)
(
''
i
x
y
  lar  o’rniga  markaziy    ayirmalarni    qo’llasak  yanada  aniqroq 
formulalarni hosil qilamiz, ya’ni 
2
1
1
''
1
1
'
2
,
2
h
y
y
y
y
h
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i









 
U  holda   
  
,
,
2
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
2
1
1
























B
h
y
y
y
A
h
y
y
y
f
y
q
h
y
y
p
h
y
y
y
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i




               (7.8) 
sistemani  hosil  qilamiz. Shunday  qilib,  har  ikkala  holda  ham  
1

n
   ta  noma’lumlarga  ega  
bo’lgan 
1

n
 chiziqli  algebraik  tenglamadan iborat bo’lgan sistemaga ega bo’ldik.  Agar  ushbu  
sistemani    yechish    mumkin    bo’lsa,    u    holda    izlanayotgan  funksiyaning  taqribiy  qiymatlarini 
jadval  shaklida hosil qilamiz. 
 (7.3) - (7.4) chegaraviy masalaga chekli  ayirmalar usulini qo’llash xatoligi quyidagicha bo’ladi:  
2
2
)
(
96
)
(
a
b
M
h
x
y
y
i
i



 
Bu  yerda   
)
(
i
x
y
 - 
i
x
x 
 bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va 
)
(
max
)
4
(
]
,
[
x
y
M
b
a

. 
 
KO’RGAZMALI  MISOL. 
Chekli ayirmalar  usulini  qo’llab quyidagi chegaraviy  masalaning  yechimini  aniqlang: 

 
262
                   









0566
,
0
)
4
,
1
(
0
)
1
(
1
'
''
2
y
y
xy
y
x
                                                          (7.9) 
YeChISh. 
 (7.8)    formulani    qo’llab,    (7.9)    tenglamalar    sistemasini    chekli    ayirmalar    orqali  
quyidagicha  yozamiz: 
1
2
2
1
1
2
1
1
2









h
y
y
x
h
y
y
y
x
i
i
i
i
i
i
i
 
O’xshash  hadlarni ixchamlab 
 
2
2
1
2
2
1
2
)
2
(
4
)
2
(
h
hx
x
y
y
x
hx
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i







                        (7.10) 
hosil  qilamiz. 
h
    qadamni    0,1    deb  tanlasak  uchta    ichki    tugunlarni    hosil    qilamiz.  


3
,
2
,
1
1
1
,
0



i
i
x
i
.  (7.9)  tenglamani  har  bir  tugun  uchun  yozsak   
            














02
,
0
51
,
3
76
,
6
25
,
3
02
,
0
00
,
3
76
,
5
76
,
2
02
,
0
53
,
2
84
,
4
31
,
2
4
3
2
3
2
1
2
1
0
y
y
y
y
y
y
y
y
y
                                    (7.11) 
sistemani  hosil  qilamiz. 
Chegaraviy    tugunlarda     
0566
,
0
,
0
4
0


y
y
  ekanini  bilgan  holda,  (7.11)    sistemani  
yechamiz  va  izlanayotgan funksiyaning quyidagi qiymatlarini  hosil  qilamiz: 
0345
,
0
,
0167
,
0
,
0046
,
0
3
2
1



y
y
y
 
(7.9)    tenglamaning  aniq  yechimi 
x
y
2
ln
2
1

funksiyadan  iborat.    Aniq  yechimning 
tugunlardagi qiymatlari   
0344
,
0
)
(
;
0166
,
0
)
(
;
0047
,
0
)
(
3
2
1



x
y
x
y
x
y
 
kabi  bo’ladi.  Bu  qiymatlardan  ko’rinib  turibdiki,  taqribiy  va  aniq  yechimning  tugunlardagi 
qiymatlari orasidagi farq 
0001
,
0
 dan oshmaydi. 
Tugunlar  soni 
n
  kata  bo’lganda      uchun    (7.7)-(7.8)    tenglamalar    sistemasini  yechish 
murakkablashadi. Quyida bunday hollar uchun mo’ljallangan  ancha  sodda  usulni  qaraymiz. 
 
PROGONKA   USULI. 
 Usulning  g’oyasi  quyidagicha.  (7.7)  sistemaning  dastlabki 
1

n
    tenglamalarini  yozib 
olamiz: 
i
i
i
i
i
i
f
h
y
k
y
m
y
2
1
2





                                           (7.12) 
 
bu  yerda   
q
h
hp
k
hp
m
i
i
i
i
2
1
;
2






. 
 (7.12)ni   quyidagi  ko’rinishda yozish mumkin: 
                 
)
(
2
1




i
i
i
i
y
d
c
y
                                              (7.13) 
Bu yerdagi  
i
i
d
c ,
   - lar   ketma – ket quyidagi formulalardan hisoblanadi:   
  
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
,
)
(
h
f
h
Ah
k
k
h
m
h
c















 ,    
0

i
 bo’lganda       (7.14) 
    
1
1
2
1
,
1








i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
c
k
h
f
d
c
k
m
c
,   
2
,...,
2
,
1


n
i
 bo’lganda        (7.15) 
Hisoblash  quyidagi tartibda bajariladi: 

 
263
To’g’ri  yo’l.   (7.12)  formuladan  
i
i
k
m ,
 -  qiymatlarni  hisoblaymiz.  
0
0
, d
c
  larni (7.14) 
formulalardan aniqlaymiz va (7.15) rekkurent   formulalardan   
i
i
d
c ,
  larni  hisoblaymiz. 
Teskari  yo’l.  (7.13)  tenglamadan  agar 
2

 n
i
  bo’lsa,  (7.7)  tenglamalar    sistemasini  
quyidagicha  yozish  mumkin. 
             
B
h
y
y
y
y
d
c
y
n
n
n
n
n
n
n









1
1
0
2
2
1
),
(


 
Ushbu  sistemani  
n
y
  ga  nisbatan  yechib,  quyidagini  hosil  qilamiz: 
                     
h
c
Bh
d
c
y
n
n
n
n
0
2
1
2
2
1
)
1
(










                                                      (7.16) 
Aniqlangan   
2
2
,


n
n
d
c
  larni    qo’llab   
n
y
    ni    topamiz.    So’ngra   
)
1
,...,
1
(

 n
i
y
i
    larni  
hisoblaymiz.  (7.13)  rekkurent  formulani ketma-ket  qo’llab  quyidagilarni  hosil  qilamiz: 
           


















).
(
),
(
),
(
2
0
0
1
1
3
3
2
2
2
1
y
d
c
y
y
d
c
y
y
d
c
y
n
n
n
n
n
n
n
n
                                               (7.17) 
0
y
 ni  (7.7)  sistemaning oxiridan ikkinchi tenglamasidan aniqlaymiz: 
               
h
Ah
y
y
0
1
1
1
0






                                                          (7.18) 
Progonka  usuli  bilan   bajarilgan  barcha  hisoblashlarni  7.1  jadvalda  ko’rsatish  mumkin. 
7.1-jadval             
     
 
i
 
 
i
x
 
 
i
m
 
 
i
k
 
 
i
f
 
To’g’ri yo’l 
Teskari 
yo’l 
i
c
 
i
d
 
i
y
 
0 
0
x
 
0
m
 
0
k
 
0
f
 
0
c
 
0
d
 
0
y
 
1 
1
x
 
1
m
 
1
k
 
1
f
 
1
c
 
1
d
 
1
y
 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
2

n
 
2

n
x
 
2

n
m
 
2

n
k
 
2

n
f
 
2

n
c
 
2

n
d
 
2

n
y
 
1

n
 
1

n
x
 
 
 
 
 
 
1

n
y
 
n
 
n
x
 
 
 
 
 
 
n
y
 
 
MISOL.  Progonka usulida 
x
y
y
x
y
4
2
2





                                      (7.19) 
tenglamaning 
 
 
 
718
,
3
1
1
,
0
0
0






e
y
y
y
                         (7.20) 
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini toping. 
 
YeChISh:    (7.19)-(7.20)  tenglamalarni 
1
,
0

h
  deb  olib  chekli  ayirmali  sitema  bilan 
almashtiramiz: 


8
,...,
2
,
1
,
0
,
4
2
1
,
0
2
01
,
0
2
1
1
2










i
x
y
y
y
x
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
 

 
264
718
,
3
,
0
1
,
0
10
0
1
0




y
y
y
y
 
O’xshash hadlarni ixchamlab 




i
i
i
i
i
i
x
y
x
y
x
y
4
01
,
0
2
,
0
98
,
0
2
,
0
2
1
2










 
formulani hosil qilamiz. Bundan 
i
i
i
i
i
i
x
f
x
k
x
m
4
,
2
,
0
98
,
0
,
2
,
0
2






, 
718
,
3
,
0
,
0
,
1
,
1
,
1
1
1
0
0







B
A




 
ekani kelib chiqadi. 
Hisoblashlarni yuqoridagi kabi jadvalga joylashtiramiz. 
 
 
i
 
 
i
x
 
 
i
m
 
 
i
k
 
 
i
f
 
To’g’ri yo’l 
Teskari 
yo’l 
Aniq 
yechim 
i
c
 
i
d
 
i
y
 
i
y
 
0 
0,0 
-2,00 
0,98 
0,0 
-0,9016 
0,0000 
1,117 
1,000 
1 
0,1 
-2,02 
1,00 
-0,4 
-0,8941 
-0,0040 
1,229 
1,110 
2 
0,2 
-2,04 
1,02 
-0,8 
-0,8865 
-0,0117 
1,363 
1,241 
3 
0,3 
-2,06 
1,04 
-1,2 
-0,8787 
-0,0228 
1,521 
1,394 
4 
0,4 
-2,08 
1,06 
-1,6 
-0,8706 
-0,0372 
1,704 
1,574 
5 
0,5 
-2,10 
1,08 
-2,0 
-0,8623 
-0,0550 
1,916 
1,784 
6 
0,6 
-2,12 
1,10 
-2,4 
-0,8536 
-0,0761 
2,364 
2,033 
7 
0,7 
-2,14 
1,12 
-2,8 
-0,8446 
-0,1007 
2,455 
2,332 
8 
0,8 
-2,16 
1,14 
-3,2 
-0,8354 
-0,1290 
2,800 
2,696 
9 
0,9 
 
 
 
 
 
3,214 
3,148 
10 
1,0 
 
 
 
 
 
3,718 
3,718