Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari kafedrasi

Progonka usulining Paskal dasturi 
Program P1; 
    Uses Crt; 
  Const 
      n=10; 
  Var 
      i,j : integer; 
      A,B,A0,B0,Al0,Al1,Bet0,Bet1,h :  real; 
      M,K,C,D,Y,P,q,f,x     :  array[0..100] of real; 
      f1 : text; 
 
Procedure progonka; 
     BEGIN 
        for i:=0 to n-2 do Begin 
            M[i]:=-2+h*p[i]; 
            K[i]:=1-h*p[i]+h*h*q[i];  End; 
      c[0]:=(al1-al0*h)/(M[0]*(al1-al0*h)+K[0]*al1); 
      d[0]:=k[0]*A0*h/(al1-al0*h)+f[0]*h*h; 
       for i:=1 to n-2 do Begin 
         c[i]:=1/(m[i]-k[i]*c[i-1]); 
         d[i]:=f[i]*h*h-k[i]*c[i-1]*d[i-1]; End; 
     y[n]:=(B0*h-Bet1*c[n-2]*d[n-2])/(Bet0*h+Bet1*(1+c[n-2])); 
   for j:=1 to n-1 do  Begin 

 
265
        i:=n-j; y[i]:=c[i-1]*(d[i-1]-y[i+1]); End; 
        y[0]:=(al1*y[1]-A0*h)/(al1-al0*h); 
    END; 
 
BEGIN {Asosiy qism} 
     ClrScr; 
     assign(f1,'c:Progonka.otv');   rewrite(f1); 
     a:=0; b:=1; h:=(b-a)/n; Al0:=1; Al1:=-1; Bet0:=1; Bet1:=0; A0:=0; B0:=3.718; 
     for i:=0 to n do Begin 
       x[i]:=a+i*h;  p[i]:=-2*x[i]; q[i]:=-2; f[i]:=-4*x[i]; End; 
    Progonka; 
       for i:=0 to n do Begin 
       writeln(f1,'i=',i:2,'  x=',x[i]:6:4,'  M=',M[i]:6:4,'  K=',k[i]:6:4); End; 
      writeln(f1); 
      for i:=0 to n do Begin 
       writeln(f1,'i=',i:2,'  c=',c[i]:6:4,'  d=',d[i]:6:4,' y=',y[i]:6:4); End; 
    Close(f1); 
END. 
 
Dasturning natijalari 
 
i= 0  x=0.0000  M=-2.0000  K=0.9800 
i= 1  x=0.1000  M=-2.0200  K=1.0000 
i= 2  x=0.2000  M=-2.0400  K=1.0200 
i= 3  x=0.3000  M=-2.0600  K=1.0400 
i= 4  x=0.4000  M=-2.0800  K=1.0600 
i= 5  x=0.5000  M=-2.1000  K=1.0800 
i= 6  x=0.6000  M=-2.1200  K=1.1000 
i= 7  x=0.7000  M=-2.1400  K=1.1200 
i= 8  x=0.8000  M=-2.1600  K=1.1400 
i= 9  x=0.9000  M= 0.0000  K=0.0000 
i=10  x=1.0000  M=0.0000  K=0.0000 
 
i= 0  c=-0.9016  d=0.0000   y=1.1180 
i= 1  c=-0.8942  d=-0.0040  y=1.2297 
i= 2  c=-0.8866  d=-0.0116  y=1.3639 
i= 3  c=-0.8788  d=-0.0227  y=1.5213 
i= 4  c=-0.8707  d=-0.0372  y=1.7043 
i= 5  c=-0.8623  d=-0.0550  y=1.9168 
i= 6  c=-0.8536  d=-0.0761  y=2.1643 
i= 7  c=-0.8447  d=-0.1008  y=2.4548 
i= 8  c=-0.8354  d=-0.1291  y=2.7996 
i= 9  c=0.0000   d=0.0000   y=3.2137 
i=10  c=0.0000  d=0.0000   y=3.7180 
 
Laboratoriya ishi № 8 
 
Berilgan chegaraviy masalani progonka usulida yeching. 
1. 
5
cos
"
3
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
2. 
3
cos
"
2
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 

 
266
3. 
10
cos
"
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
4. 
2
cos
"
4
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
5. 
11
cos
"
y
x
y


 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
6. 
5
sin
"
2
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
7. 
3
sin
"
3
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
8. 
10
sin
"
3
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
9. 
3
sin
"
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
10. 
11
sin
"
y
x
y


 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
11. 
12
cos
"
3
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
12. 
2
cos
"
3
2
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
13. 
4
cos
"
3
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
14. 
5
sin
"
2
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
15. 
2
sin
1
"
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
16. 
10
9
"
2





x
y
y
x
y
 
 
4
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
17. 
4
9
6
3
"
3




x
x
xy
y
 
 
3
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
18. 
2
2
"
2




x
y
x
y
 
 
6
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
19. 
10
3
"
2






x
y
y
x
y
 
 
7
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
20. 
2
3
"
x
y
y
x
y





 
 
2
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
21. 
3
2
"
2






x
x
y
y
y
 
 
1
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
22. 
1
2
"
2







x
x
y
y
y
 
 
2
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
23. 
1
"
2





x
y
y
x
y
 
 
5
2
0

y
 
 
3
;
2

x
 
24. 
1
"
2





x
x
y
y
 
 
4
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
25. 
x
x
y
y
2
2
2
"
2




 
 
1
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
26. 
x
y
y
4
2
"




 
 
0
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 

 
267
1. Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamani  taqribiy  yechish  masalasi 
qanday qo’yiladi ? 
2. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilani chekli ayirmalarda ifodalang. 
3.  Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Progonka 
usulini tushintirib bering. 
 
 
 
10. ANIQ INTEGRALLARNI TAQRIBIY HISOBLASh 
 
Ishdan maqsad:  Aniq integrallarning qiymatini taqribiy hisoblashning trapesiya va 
Simpson formulalari hamda ularning qoldiq hadlarini baholashni o’rganish; hisoblash ishini 
tashkil qilish va bajarish;  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Quyidagi 
 
 


b
a
dx
x
f
f
I
                                           (1) 
aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda 
 
x
f
 - 


b
a,
 oraliqda uzluksiz 
bo’lgan funksiya. 


b
a,
 
integrallash 
oralig’ini 
n
 
ta 
uzunligi 
n
a
b
h


 
ga 
teng 
bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz.  
Agar tugunlarda 
 
x
f
 ning qiymatini 
  

n
i
x
f
y
i
i
,...,
2
,
1
,
0


 kabi belgilasak 
 
 















b
a
n
n
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
2
......
2
1
2
1
0
           (2) 
umumiy  trapesiyalar  formulasi  deyiladi.    Bu  formula  geometrik  nuktai-nazardan  integral  ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan 
iboratdir. 
 
Faraz  qilaylik 
m
n
2

  juft  son  bo’lsin. 


b
a,
  integrallash  oralig’ini 
n
  ta  uzunligi 
m
a
b
n
a
b
h
2




 ga teng bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz. 
 
 








2
2
4
2
1
2
3
1
2
0
......
2
......
4
3














m
b
a
m
m
y
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
                     (3) 
Simpson formulasi deyiladi.   
 (3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini 
har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir. 
 
Misol. 



1
0
1 x
dx
I
  integralning  qiymatini  trapesiyalar  va  Simpson  formulalari  yordamida  taqribiy 
hisoblang. 
 

 
268
Yechish. 
 
1
,
0
 kesmani 
10

n
 ta 

 



10
9
2
1
1
0
,
,.....,
,
,
,
x
x
x
x
x
x
kesmalarga ajratamiz. Har bir  
i
x
  nuqtada 
  

10
,...,
2
,
1
,
0


i
x
f
y
i
i
  qiymatlarni  hisoblaymiz  va  quyidagi  jadvalga 
joylashtiramiz. 
i 
x
i 
y
i
 
0 
0 
1,000 
1 
0,1 
0,909 
2 
0,2 
0,833 
3 
0,3 
0,769 
4 
0,4 
0,715 
5 
0,5 
0,667 
6 
0,6 
0,625 
7 
0,7 
0,588 
8 
0,8 
0,556 
9 
0,9 
0,526 
10 
1,0 
0,500 
 
Trapesiyalar formulasiga ko’ra  


694
,
0
938
,
6
1
,
0
25
,
0
526
,
0
556
,
0
588
,
0
625
,
0
667
,
0
715
,
0
769
,
0
833
,
0
909
,
0
5
,
0
1
,
0
2
......
2
1
1
0
10
9
2
1
0
































y
y
y
y
y
h
x
dx
I
T
 
Simpson formulasiga ko’ra  























8
6
4
2
1
0
9
7
5
3
1
10
0
2
4
3
1
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
h
x
dx
I
S
 












693
,
0
458
,
5
836
,
13
75
,
0
3
1
,
0
729
,
2
2
459
,
3
4
75
,
0
3
1
,
0
556
,
0
625
,
0
715
,
0
833
,
0
2
526
,
0
588
,
0
667
,
0
769
,
0
909
,
0
4
25
,
0
5
,
0
3
1
,
0


























 
 
Quyida  ushbu  integralni  trapesiya  va  Simpson  formulalarida  taqribiy  hisoblashning  Paskal 
dasturi va natijalarini keltiramiz. 
 
Program INTEG; 
  var 
     i,n            : integer; 
     a,b,h,s,s1,s2  : real; 
     x,y            : array [0..10] of real; 
     txt  :  text; 
 
   Procedure SIMP; 
      Begin 
              s1:=0;   s2:=0; 
        for i:=1 to n-1 do Begin 
          if i mod 2=0  then s1:=s1+2*y[i]; 
          if i mod 2<>0 then s2:=s2+4*y[i]; End; 
        s:=(h/3)*(y[0]+y[n]+s1+s2); 
      End; 

 
269
 
   Procedure Trap; 
      Begin 
        s:=0; 
        for i:=1 to n-1 do   s:=s+h*y[i]; 
         s:=s+h*(y[0]+y[n])/2; 
      End; 
 
  Begin 
       assign(txt,'Simp.otv');   rewrite(txt); 
        a:=0.0;  b:=1.0; n:=10; h:=(b-a)/n; 
        for i:=0 to n do Begin 
          x[i]:=a+i*h; y[i]:=1/(1+x[i]); End; 
          Trap; 
        writeln(txt,'Trapetsiyalar formulasi  I=',s:12:4); Writeln(txt); 
          SIMP; 
        writeln(txt,'Simpson formulasi  I=',s:12:4); 
        Close(txt); 
   END. 
 
 
Trapetsiyalar formulasi  I=      0.6938 
 
Simpson formulasi  I=      0.6932 
 
 
 
Laboratoriya ishi № 9 
 
 
Integrallarning  qiymatini  3  xona  aniqlikda  trapesiya  va  Simpson  formulalari  yordamida 
hisoblang. 
 
 
1. 


6
,
1
8
,
0
2
1
2x
dx
 
 
2. 


8
,
2
2
,
1
2
2
,
3
x
dx
 
 
3. 


2
1
2
3
,
1
2x
dx
 
 
4. 


2
,
1
2
,
0
2
1
x
dx
 
 
5. 


4
,
1
6
,
0
2
3
2x
dx
 
 
6. 


2
,
1
4
,
0
2
5
,
0
2
x
dx
 
 
7. 


4
,
2
4
,
1
2
1
3x
dx
 
 
8. 


4
,
2
2
,
1
2
5
,
0
x
dx
 
 
9. 


2
,
1
4
,
0
2
3
x
dx
 
 
10. 


6
,
1
6
,
0
2
2
1
x
dx
 
 
11. 


3
2
2
1
x
dx
 
 
12. 


5
,
1
5
,
0
2
2
x
dx
 
 
13. 


6
,
2
2
,
1
2
6
,
0
x
dx
 
 
14. 


2
,
2
4
,
1
2
1
3x
dx
 
 
15. 


8
,
1
8
,
0
2
4
x
dx
 
 
16. 


6
,
2
8
,
1
2
25
,
0
x
dx
 
 
17. 


6
,
1
6
,
0
2
8
,
0
x
dx
 
 
18. 


2
2
,
1
2
2
,
1
x
dx
 

 
270
 
19. 


2
,
2
4
,
1
2
6
,
0
2x
dx
 
 
20. 


2
,
4
2
,
3
2
1
5
,
0 x
dx
 
 
21. 


8
,
1
8
,
0
2
3
,
0
2x
dx
 
 
22. 


0
,
2
2
,
1
2
5
,
1
5
,
0 x
dx
 
 
23. 


1
,
3
1
,
2
2
3
x
dx
 
 
24. 


3
,
2
3
,
1
2
1
2
,
0 x
dx
 
 
25. 


4
,
1
4
,
0
2
5
,
0
12x
dx
 
 
26. 


3
,
2
3
,
1
2
4
,
0
3x
dx
 
 
27. 


8
,
2
4
,
1
2
7
,
0
5
,
1 x
dx