Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

 
2. Laplas operatorini notekis «xoch» shablondagi approksimatsiyasi 
 
Ikki o`lchamli holda (r=2) shablon  
 (x
1
-h
1-
, x
2
), (x
1
+h
1+
, x
2
), (x
1
, x
2
), (x
1
, x
2
-h
2-
), (x
1
, x
2
+h
2+
), 
beshta nuqtadan iborat bo`ladi , bu erda  h
1
>0, h
2
>0, xech bo`lmaganda bir   uchun h

+
h

-
. 
Har bir L
1
 i L
2
 operatorlarni uch nuqta bo`yicha approksimatsiyalaymiz 
        (x
1
-h
1-
, x
2
), (x
1
+h
1+
, x
2
), (x
1
, x
2
), 
 
 
(3, 1, 0 nuqtalar) 
       (x
1
, x
2
-h
2-
), (x
1
, x
2
+h
2+
), (x
1
, x
2
).             (4, 2, 0 nuqtalar) 
                                2 
                                        h
2+ 
            3       h
1-
      0             h
1+
       1 
                                        h
2- 
                              4 
 
Buning uchun quyidagi ifodalardan foydalanamiz: 
,
h
)
h
x
,
x
(
v
)
x
,
x
(
v
h
)
x
,
x
(
v
)
,
h
x
,
x
(
v
v
~
v
L
,
h
)
x
,
h
x
(
v
)
x
,
x
(
v
h
)
x
,
x
(
v
)
x
,
h
x
(
v
v
~
v
L
*
*


































2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1


           (12) 
bu erda   
.
,
),
h
h
(
,
2
1
5
0










 
Laplas ayirmali operatori notekis shablonda quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi 
2
2
1
1
2
1
x
€
x
x
€
x
*
*
v
v
v
v
v
*







   
 
 
(13) 
              x
(-1)     
      x              x
(+1)     
       
                        h
- 
          h
+
 
 
Agar, misol uchun,  h
1-
= h
1+
=h
1
 bo`lsa, unda 
1
1
1
1
x
x
*
v
v
v




  va xakozo.  

 
122
Ushbu 
,
,
),
x
(
v
v
),
x
(
v
v
),
x
(
v
v
),
h
x
,
x
(
x
)
x
,
h
x
(
x
),
x
,
h
x
(
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
,
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1

























 
belgilashlarni kiritamiz. 
*


 uchun  
2
1
5
0
1
1
1
,
),
h
h
(
,
,
h
v
v
h
v
v
v
v
)
(
)
(
x€
x
*



































   
 
(14) 
ifodani yozish mumkin. 
v
Lv


 bo`lganligi uchun 
  


x
x
h
v
v
h
)
h
x
(
v
)
x
(
v
h
)
x
(
v
)
h
x
(
v
v
L


















1
 
bo`ladi. 
 
Ushbu 
,
)
h
(
O
v
h
)
x
(
v
h
)
x
(
v
h
)
x
(
v
)
h
x
(
v
,
)
h
(
O
v
h
)
x
(
v
h
)
x
(
v
h
)
x
(
v
)
h
x
(
v
4
3
2
4
3
2
6
2
6
2






























 
yoyilmalarni hisobga olib 
,
)
h
(
O
v
h
)
x
(
v
h
v
v
,
)
h
(
O
v
h
)
x
(
v
h
v
v
x
x
3
2
3
2
6
2
6
2






















 
)
(
O
v
h
h
v
v
v
v
L
x
x
h
2
2
2
6














 
ifodalarga ega bo`lamiz. 
U holda  
)
(
O
)
(
O
v
h
h
Lv
v
L
h













2
3
. 
Tafovut uchun quyidagiga ega bo`lamiz  


)
(
O
x
v
h
h
v
L
v
*
2
3
3
3
1
















  .  
 
(15) 
SHuday  qilib,  (13)  formula  bo`yicha  aniqlanuvchi  *  ayirmali  operator  notekis  shablonda 
Laplas operatorini birinchi tartibda approksimatsiya qiladi. 
Bizga  Laplas  operatorini  notekis  shablonda  approksimatsiya  qilishning  ikkinchi  usuli  ham 
kerak bo`ladi.  (14) formula o`rniga  





















h
v
v
h
v
v
h
v
)
(
)
(
*
1
1
1
,   
)
h
,
h
max(
h






, 
 
 (16) 

 
123
ega bo`lamiz va demak  







x
€
x
*
v
h
v

. 
Bu holda 
*


 operator nolinchi tartibli lokal approksimatsiyaga ega bo`ladi 
)
(
O
u
L
u
*
1








. 
Haqiqatdan ham (15) ni hisobga olib, quyidagini olamiz: 



 





































































)
(
O
u
L
h
h
h
h
,
h
max
)
(
O
u
L
h
h
h
)
(
O
x
u
h
h
h
u
L
h
u
L
u
*





2
2
2
1
3
1
2
3
3
 
,
)
(
O
)
(
O
u
L
h
h
h
1
2













 
chunki 


.
)
(
O
v
h
h
h
v
h
)
(
O
v
h
h
v
h
h
h
)
(
O
v
h
v
h
v
)
(
O
v
h
v
h
v
h
h
v
v
u
x
x
*
2
3
2
2
3
2
3
2
6
2
1
6
2
6
2
1





















































































 
 (16) approksimatsiyadan qanday holatda foydalanishni quyidagi misolda ko`rsatamiz. 
Misol. Ushbu  
0
1
0
0
1
0







)
(
u
,
)
(
u
,
x
),
x
(
f
u
 
birinchi jinsli chegaraviy masalani qaraymiz. 
Approksimatsiya uchun chegara yaqinida tekis bo`lmagan 


2
1
1
1
1
1
2
1
h
x
x
,
N
,...,
,
i
,
h
x
x
,
h
x
,
x
€
N
N
i
i
i
h











 
to`rni tanlaymiz, 
1
1
2
1
2
1






h
)
N
(
h
h
,
h
h
,
h
h
. Ichki x
i
, 1 regulyar tugunlarda 
2
1
1
2
h
u
u
u
u
~
u
i
i
i
i
,
x
x
i






, 
chegaraviy tugunlarda esa 


























h
u
u
h
u
u
h
u
~
u
,
h
u
u
h
u
u
h
u
~
u
N
N
N
N
N
*
N
*
1
2
1
1
0
1
1
2
1
1
1
1
 
approksimatsiyalarga ega bo`lamiz.  
Natijada quyidagi chekli ayirmali sxemaga ega bo`lamiz 
.
y
y
),
x
(
f
y
),
x
(
f
y
,
N
i
,
h
)
i
(
h
x
),
x
(
f
y
N
N
N
*
*
i
i
x
x
0
1
1
1
0
1
1
1
















   
(17) 
z=u-u uchun  
,
z
z
,
x
),
x
(
z
N
0
1
0
1
0









 
 
 
 
(18) 

 
124
tenglamaga  ega  bo`lamiz,  bu  erda  x
1

i

N
  bo`lganda 
x
x
z
z 

,  i=2,  3,  ...,N-1  bo`lganda 
,
z
z
,
z
z
N
*
N
*






1
1
 
)
h
(
O
i
2


 , i=1, N da esa 
)
(
O
i
1


. 
Sxema  i=1,  N  chegaraviy  tugunlarda  approksimatsiyaga  ega  bo`lmasa  ham,  (17)  sxema  S 
fazoda ikkinchi tartibli aniklikga ega:  
)
(
2
h
O
z
c

. 
Bu baxoni olish uchun (18) tenglamani x=x
1
,  x
N   
da
 
yozamiz 
,
h
z
z
h
z
z
h
,
h
z
z
h
z
z
h
N
N
N
N
0
1
0
1
1
2
1
1
0
1
1
2






















 
bu erda  
N
N
hh
z
,
hh
z





2
1
1
1
0
.  SHunday qilib, (18) masala  
,
z
,
x
x
x
),
x
(
z
*
N
i
x
x
0
1
1







 
,
hh
z
,
hh
z
,
z
N
N
N
*







2
1
1
0
0
 
masalaga ekvivalent bo`ladi. 
Ushbu  


 





N
i
N
k
k
N
c
h
h
z
,
z
max
z
1
1
1
0

, 
aprior bahodan foydalanamiz. 
Bundan  
2
1
2
1
1
Mh
max
hh
hh
u
y
z
i
N
i
N
c
c











, 
kelib chiqadi, ya`ni (17) sxema ikkinchi tartibli aniqlikga ega. 
 
 
3. To`g`ri to`rtburchakda Dirixle ayirmali masalasi 
 


2
2
1
1
0
0
0
l
x
,
l
x
G





 tomonlari  l
1
  i l
2
 bo`lgan to`g`ri to`rtburchak bo`lsin, G – 
uning chegarasi. 



0
0
G
G
 da Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz: 
)
x
(
u
,
G
)
x
,
x
(
x
),
x
(
f
u








0
2
1
.   
 
(1’) 
0
G
 da  
1
1
1
N
/
l
h 
  va   
2
2
2
N
/
l
h 
 qadamlar bilan 
h

 to`rni quramiz, bu erda N
1
>0 va 
N
2
>0  -  butun  sonlar.  Buning  uchun 
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
2
1
N
,
i
,
h
i
x
,
N
,
i
,
h
i
x
)
i
(
)
i
(




  ikki 
to`g`ri chiziqlar oilasini quramiz. 
 
    x
2                                                 
(i
1
h
1
, i
2
h
2
) 
 
 
    l
2 
 
 
 
                                                              
        0                                         l
2 
 

 
125
 
Bu    to`g`ri  chiziqlarning  i
1
h
1 
va    i
2
h
2   
koordinatalardagi    kesishish  nuqtasini  x=(i
1
h
1
,  i
2
h
2
)  
tugun deb ataymiz. Umumiy ichki tugunlar soni (N
1
-1)(N
2
-1) ga teng. 
To`g`ri to`rtburchak chegarasida yotuvchi tugun (i
1
=0,N
1
 yoki i
2
=0,N
2
 bo`lganda), quyidagi 
to`rtta (0,0), (0,l
1
), (0,l
2
), (l
1
,l
2
) nuqtadan tashqari nuqtalarni chegaraviy tugunlar deb ataymiz. Ular 


)
h
,
i
,
h
,
i
(
h
2
2
1
1


    to`plamni  tashkil  qiladi.  Barcha  ichki  va  chegaraviy  tugunlar  to`plamini 
h
h
h





 to`r deb ataymiz.  
Har  bir 
h
x


    ichki  tugunda  besh  nuqtali  «xoch»  regulyar  shablonni  qurish  mumkin, 
bunda 
)
(
x

1

=1,  2  tugunlar 
h

  (ya`ni,    yoki 
h

,    yoki 
h

)
 
da  yotadi.  SHuning  uchun  u 
Laplas operatorini barcha ichki tugunlarda  
2
2
1
1
x
x
x
x
u
u
u



 
ayirmali operator bilan almashtirish mumkin.  
(1’)  tenglamaning  o`ng  qismi-  f(x)  ni   
(x)    to`r  funtsiya  bilan  shunday  approktsimatsiya 
qilish  mumkinki 
 
)
(
C
)
x
(
f
,
h
O
)
x
(
f
)
x
(
2
2




 bo`ladi.  f(x)  funktsiyaning uzluksizligini 
hisobga olib,  
(x)=f(x) deb faraz qilamiz. 
(1') masalaga mos keluvchi ayirmali Dirixle masalasini qo`yamiz: ichki tugunlarda (
h

da) 
2
2
1
1
x
x
x
x
y
y
y
),
x
(
f
y






 
 
 
 
 
  
(19) 
tenglamani qanoatlantiruvchi 
h

 da aniklangan va 
h
 chegarada  
                             y(x)=
(x),     x
h
.
         
 
 
 
 
 
 
  (20) 
qiymatlari berilgan u(x) to`r funktsiyani topish kerak.  
2
1
h
h 
 da 
)
G
(
h
0

 to`r to`g`ri to`rtburchakli, h
1
=h
2
=h da esa kvadrat to`r deyiladi. 
y uchun kvadrat to`rda to`liq ifodani yozamiz 


y
y
y
y
y
h
y
)
l
(
)
l
(
)
l
(
)
l
(
4
1
2
2
1
1
2










. 
0


 bo`lsin. 
0

y
  tenglamani u ga nisbatan echamiz: 


)
l
(
)
l
(
)
l
(
)
l
(
y
y
y
y
y
2
2
1
1
4
1








. 
SHablon  markazidagi  u  ning    qiymati  qolgan  to`rtta  tugundagi  u  larning  o`rta  arifmetik 
qiymatiga  teng  bo`ladi.  Bu  formula  garmonik  funktsiya  uchun  o`rta  qiymat  formulasining  chekli 
ayirmali analogi bo`ladi.   
 (19),  (20)  dan  ko`rinib  turibdiki,  (x)  larning  to`g`ri  to`rtburchakning  uchlaridagi 
qiymatlaridan foydalanilmaydi. Bu esa  
h
  ni qanday tarzda tanlaganimizni izohlab beradi.
 
Uchinchi 
chegaraviy  masala  xolatida 
 
4
h
O
sxema  
h
  chegaraning  barcha  nuqtalaridan  tashkil  topadi 
(to`rtburchak uchilarining nuqtalari ham kiradi).  
(N
1
-1)(N
2
 -1) tartibli(19) algebraik tenglamalar sistemasini sonli echish usullari keyin ko`rib 
chiqiladi. (19)-(20) ayirmali sxema aniqligini baxolash uchun z=y–i ayirmani tuzamiz, bu erda u – 

 
126
(19), (20) masalaning echimi, i - (1’) masalaning echimi. y=z+u ni (1’) ga quyib, z uchun quyidagi 
masalaga ega bo`lamiz  
да
h

: 
,
z
,
z
h
0
эса
 
да






 
 
 
 
 
 
 
 
(21) 
bu  erda 
f
u 



  -  (1’)  tenlamani  approoksimatsiyalashdagi  (19)  sxema  xatoligi. 
Lu
u
Lu
Lu
f
u









  bo`lganda  Lu+f=0    bo`ladi,  ya`ni 
Lu
u 



.  (8) 
dan  kelib  chiqadiki,  u
C
(4)
  bo`lganda   
4
2
4
2
2
4
1
4
2
1
12
12
x
u
h
x
u
h







,  bu  erda  yuqori  chiziqcha 
argumentlarning mos ravishda (x
1
-h
1
, x
2
), (x
1
+h
1
, x
2
)  va (x
1
, x
2
-h
2
), (x
1
, x
2
+h
2
)  intervallardagi ba`zi 
o`rtacha nuqtadagi qiymatlari olinganini bildiradi. 
  
4
4
,
4
max


x
u
M
G



 deb belgilab,  
12
2
4
h
M


 ga ega bo`lamiz. 
To`g`ri to`rtburchakda  


2
1
0
1
0
0
2
1
2
1
,
,
l
x
,
x
,
N
,...,
,
i
),
x
,
x
(
x
€
)
N
(
)
(
)
i
(
)
i
(
i
h














 
)
i
(
)
i
(
)
i
(
)
i
(
)
i
(
)
i
(
x
x
h
,
x
x
h
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1






 qadamlar bilan notekis to`r ham kiritilishi mumkin. 
Bu xolatda (13) ayirmali operatordan foydalanib (19), (20) o`rniga  
)
x
(
y
,
€
x
,
y
y
y
),
x
(
f
y
h
x
€
x
x€
x











2
2
1
1
   
 (22) 
masalani olamiz. 
Bu sxema birinchi lokal tartibli approksimatsiyaga ega bo`ladi 




























2
1
2
3
3
1
3
1
2
2
1
1
)
(
O
)
(
O
x
u
h
h
)
x
(
f
u
u
)
x
(
f
u
)
i
(
)
i
(
i
x€
x
x€
x
i
i


,  
2
2
2
1
2





.