Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 
 
1.  ODT uchun CHM o`q otish usuli yordamida  qanday masalaga keltiriladiq 
2.  2-tartibli ODT va umumiy chegaraviy shartlar qanday approksimatsiyalanadiq 
3.  Ayirmali tenglamalar sistemasini echish uchun qaysi usullarni qo`llash mumkinq 
4.  Qanday shart bajarilganda progonka usulini qo`llash mumkinq 
5.  Progonka usuli nechta bosqichdan iboratq  
6.  Progonka usuli turғunligi etarlilik shartlari qandayq  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
105
12 - ma`ruza  
BIR O`LCHAMLI ISSIQLIK O`TKAZUVCHANLIK TENGLAMASINI SONLI YECHISH 
Ma`ruza rejasi  
1.  Masalaning berilishi; 
2.  Olti nuqtali sxemalar oilasi; 
3.  Olti nuqtali sxemalarning xususiy hollari; 
4.  Approksimatsiya aniqligi; 
5.  Uch qatlamli sxemalar. 
 
Tayanch  so`zlar:  berilgan  masala,  olti  nuqtali  shablon,  oshkor  AS,  oshkormas  AS, 
approksimatsiya tartibi, uch qatlamli sxemalar, Richardson sxemasi, Dyuffort-Frenkel sxemasi 
 
1.  Masalaning berilishi 
  
Bir o`lchamli nostatsionar issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha bo`ladi  
,
f
x
u
k
x
t
u
c















                              
 
           (1) 
bunda 
)
,
( t
x
u
u 
  -  temperatura,  s  –  birlik  massa  issiqlik  sig`imi,    ρ  -  zichlik,  k  –  issiqlik 
o`tkazuvchanlik koeffitsienti,   f   - issiqlik manbalari zichligi, ya`ni birlik vaqtda birlik uzunlikdan 
ajralib chiquvchi  issiqlik.  Agar 
)
,
,
(
u
t
x
c
c 
, 
)
,
,
(
u
t
x
k
k 
  bo`lsa tenglama kvazichiziqli  deb 
ataladi. Agar s=const, k=const bo`lsa tenglama quyidagicha bo`ladi 
c
f
f
~
,
c
k
a
,
f
~
x
u
a
t
u










2
2
2
2
,               
 
           (2) 
bu erda 
2
a
- temperatura o`tkazuvchanlik koeffitsienti. 
 
Umumiylikdan ajralmagan holda 
1

a
 deb hisoblash mumkin, u holda (2) dan quyidagini 
hosil qilamiz 
.
2
2
f
x
u
t
u






                                              (3) 
 
Birinchi chegaraviy masala (I): 


T
t
,
x
D





0
1
0
 da uzluksiz bo`lgan quyidagi 
masalaning 
)
,
( t
x
u
 yechimini topamiz  
.
T
t
),
t
(
u
)
t
,
(
u
),
t
(
u
)
t
,
(
u
,
x
),
x
(
u
)
,
x
(
u
,
T
t
,
x
),
t
,
x
(
f
x
u
t
u

















0
1
0
1
0
0
0
1
0
2
1
0
2
2
 
 
2. Olti nuqtali sxemalar oilasi 
 
 
Quyidagi to`rni kiritamiz 




J
,...,
,
j
,
j
t
,
I
,...,
,
i
,
ih
x
j
i
h
1
0
1
0










 

 
106
va 
D
 to`rni 




J
,...,
,
j
,
I
,...,
,
i
,
j
,
ih
h
h
1
0
1
0











 
ko`rinishda   
J
T
,
I
h


 1
qadamlar  bilan  kiritamiz,  bunda 

j
i
y
 


h
  da  aniqlangan 
bo`lib, y  funktsiyaning 


j
i
t
,
x
 tugundagi  qiymati. 
 
Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz 


J
j
,
I
i
,
y
)
(
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i











0
0
1
1
1





,             (4) 
bunda 
2
1
1
2
h
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
x
x
j
i







,  

 – haqiqiy parametr. 
 
 (4) sxema ba`zan vaznli sxema deb ataladi. 
 
CHegaraviy va boshlang`ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi: 
,
,
2
1
0
j
j
I
j
j
u
y
u
y


                                                   (5) 
).
x
(
u
)
,
x
(
y
y
i
i
i
0
0
0 

                                                   (6) 
 
Bunda 
j
i

 – (3) tenglama o`ng tarafi  f  ni approksimatsiyalovchi funktsiya, masalan 


.
,
t
t
,
t
,
x
f
j
,
j
,
j
i
j
i


5
0
5
0
5
0





 
 
(4)-(6) ni (II) ayirmali masala deb ataymiz. 
 
 (4) AS quyidagi olti nuqtali shablonda yozilgan 

 
 
 

.
,
,
,
,
,
,
,
1
1
1
1
j
i
j
i
j
i
j
i
t
x
t
x
t
x
t
x




 
 
(4)  tenglama  ichki  tugunlar  deb  ataluvchi 


1
,

j
i
t
x
   
,
I
,...,
,
i
1
1
0


 
J
,...,
j
1
1 

 
tugunlarda 
echiladi. 


h
 
dagi 
barcha 
ichki 
tugunlar 
to`plamini  


J
j
,
I
i
),
t
,
x
(
j
i
h






1
1
1
   
   


 ko`rinishida belgilaymiz. 
(5), (6) boshlang`ich va chegaraviy shartlar 


h
 ning chegaraviy nuqtalarida yoziladi. t=t
j
  
to`g`ri  chiziqda  yotuvchi 


h
  to`r  tugunlari  odatda  qatlamlar  deb  ataladi.  (4)  da 
j
i
y
  qiymatlar 
ikkita qatlamda yotadi va shuning uchun bunday sxemalar ikki qatlamli sxemalar deb ataladi. 
=0 
da 
(x
i
,t
j+1
), 
(x
i
,t
j
), 
(x
i±1
,t
j
) 
shablonda 
aniqlanuvchi 
to`rt 
nuqtali  
j
i
j
i
j
i
j
i
y
y
y






1
 sxemani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz 
.
h
     
,
)
y
y
(
y
)
(
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
2
1
1
1
2
1














  
 
 
 
 
(7) 
t=t
j+1 
  qatlamning  har  bir  nuqtasidagi 
1

j
i
y
  qiymat  (7)  formula  yordamida  t=t
j
  qatlamdagi 
j
i
y
 
qiymatlar  orqali  oshkor  ko`rinishda  ifodalanadi.  SHunday  qilib  t=0  da 
)
x
(
u
y
i
i
0
0

  berilsa,  u 
holda (7)  formula  bo`yicha ketma-ket ixtiyoriy qatlamdagi y  ning qiymatlarini aniqlay olamiz. (7) 
sxema  oshkor sxema deb ataladi.  

 
107
 
Agar 
0


 bo`lsa, u holda (7) sxema oshkormas ikki qatlamli sxema deb ataladi. 
0


 
da 
1

j
i
y
larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi 
1
2
1
1
1
0






j
j
I
j
i
j
u
y
,
u
y
   
, 
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
 
,
F
y
y
j
i
j
i
j
i








1
1
1
  
 
 
 
(8) 


,
y
y
F
j
i
j
i
j
i
j
i










1
1
1
1
 
i=1,…,I-1. 
(8) ayirmali tenglama echimi progonka usuli bilan topiladi.  
 
1


 da sof oshkormas sxemaga ega bo`lamiz  
.
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i








1
1
  
 
 
 
(9) 
5
0,


 da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz  


,
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i









1
1
2
1
 
 
 
(10) 
ba`zan bu sxema  Krank-Nikol’son sxemasi deb ataladi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
             (7) oshkor sxema shabloni                              (9) sof oshkormas sxema shabloni 
 
 
 
 
 
 
 
 
(8) ikki qatlamli oshkormas va (10) Krank-Nikol’son sxemalari shabloni 
 
3.  Approksimatsiya aniqligi 
(i, j+1) 
(i+1,j) 
(i-1,j) 
(i, j) 
(i, j+1) 
(i+1,j+1) 
(i-1, j+1) 
(i, j) 
(i, j+1) 
(i+1, j+1) 
(i-1, j+1) 
(i,j) 
(i+1, j) 
(i-1, j) 

 
108
(4)-(6)  sxemalar  aniqligi  haqidagi  savolga  javob  berish  uchun  (4)-(6)  masala  echimi 
j
i
y
y 
 ni (I)  masala echimi u=u(x,t) bilan taqqoslash kerak. Shunday qilib  u(x,t) (I)  masalaning 
uzluksiz yechimi bo`lsin, u holda 
)
,
(
j
i
j
i
t
x
u
u 
qo`yamiz va 
j
i
j
i
j
i
u
y
z


 ayirmani qaraymiz. 
 
j
i
z
 ni baholash uchun quyidagi normalardan birini tanlaymiz 
2
/
1
1
1
2
0
      
,
max














I
i
i
i
I
i
C
h
z
z
z
z
z
. 






/
)
y
y
€
(
y
     
,
y
€
y
    
,
y
y
t
j
i
j
i
1
 
indekssiz 
belgilashlar 
yordamida 
(4)-(6) 
masalani quyidagi ko`rinishda yozamiz  










h
t
)
t
,
x
(
    
,
)
y
)
(
y
€
(
Λ
y
1
, 
 
 
 
 





t
),
t
(
u
)
t
,
(
y
),
t
(
u
)
t
,
(
y
   
    
2
1
1
0
, 
 
 
     (II) 
                    
x
x
h
y
Λy
    
,
x
    
),
x
(
u
)
,
x
(
y




0
0
.   
 
 
 
u
z
y


 ni (II) ga qo`yib va u ni berilgan funktsiya deb  z  uchun quyidagi masalani hosil 
qilamiz 










)
t
,
x
(
    
,
)
y
)
(
y
€
(
Λ
y
z
1
, 





t
,
)
t
,
(
z
)
t
,
(
z
      
0
1
0
, 
,
x
,
)
,
x
(
z
h


     
0
0
 
bunda 









t
u
)
u
)
(
u
€
(
Λ
1
  –  (I)  tenglama  u(x,t)  yechimida  (II)  sxemaning 
approksimatsiya xatoligi. 
Ta`rif.  (II)  sxema  (I)  tenglamani  (m,n)  tartib  bilan  approksimatsiyalaydi  yoki  (I)  tenglama 
u=u(x,t) 
yechimda 
)
h
(
O
n
m


 
approksimatsiyaga 
ega 
deyiladi, 
agar 
)
h
(
O
)
t
,
x
(
n
m




2
  yoki   
)
h
(
M
n
m




2
  tengsizliklar  barcha 



t
  lar  uchun 
bajarilsa, M  esa  h  va  τ  dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas, 
2
 
 
 – 
h

 to`rdagi qandaydir 
norma.  
 
 u=u(x,t) dan x  va  t bo`yicha kerakli  hosilalarni  qo`yib, (II) ning approksimatsiya tartibini 
baholaymiz. Quyidagi belgilashlardan foydalanamiz 

5
0
5
0
5
0
,
t
t
t
),
t
,
x
(
u
u
,
x
/
u
'
u
,
t
/
u
u
j
,
j
,
j
i












    
   
    

. 
u(x,t)  ni  (x
i
, t
j+0.5
) nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz. 
Ushbu formulalarni qo`llab  
,
u
 
,
)
u
u
€
(
,
)
u
u
€
(
,
)
u
u
€
(
,
u
€
t








5
0
5
0
5
0
5
0
 
t
u
 
,
)
u
u
€
(
,
u




5
0
5
0
, 
t
u
 
)
,
(
)
u
u
€
(
,
u
)
(
u
€










5
0
5
0
1
 
ψ  ni quyidagicha yozamiz 












t
t
u
u
Λ
)
,
(
u
u
€
Λ
,
5
0
5
0
. 
Yuqoridagi ifodalarni bu erga qo`yib hamda 

 
109
,
x
u
Lu
   
),
h
(
O
u
L
h
Lu
)
h
(
O
u
h
u
u
)
(
2
2
4
2
2
4
4
2
12
12











 
),
(
O
u
u
 
,
u
u€
3
2
8
5
0










 
),
(
O
u
u
 
,
u
u
3
2
8
5
0










 
,
)
(
O
u
u
)
u
u€
(
,
3
2
8
5
0








 
)
(
2

O
u
u
t

 
 
ifodalardan foydalanib 
)
h
(
O
u
L
h
u
L
)
,
(
)
u
u
L
(
4
2
2
2
12
5
0















 
 
(12) 
ni hosil qilamiz. 
Bundan ko`rinadiki  
)
,
(
5
,
0



j
i
t
x
f
f

 da  
)
h
(
O
u
L
)
,
(
2
2
5
0









 
bunda  faqat   
f
Lu
u



. 
f
u
Lf
u
L
u
L
IV





)
(
2

    va     
Lf
u
L
u
L



2
  ekanini 
hisobga olib (12) dan quyidagini hosil qilamiz 


.
)
h
(
O
f
L
h
u
L
h
,
)
f
(
2
4
2
2
12
12
5
0




















 
 
(13) 
(13) da o`rta qavs ichidagi ifodani nolga tenglab ushbu tenglikka kelamiz 
*
h






12
2
1
2
. 
 
  
 
 
 
 
(14) 
*



  qiymatda  va 

  esa 
f
L
h
f
12
2



  bo`lganda  sxema  (II) 
)
h
(
O
4
2


 
approksimatsiyaga  ega.  Agar  biz 
f 
  ni 
f
f
x
x


  ifodaga  almashtirsak  sxema  approksimatsiya 
tartibi buzilmaydi, ya`ni 
f
h
f




12
2
 yoki quyidagiga kelamiz 




.
f
f
f
f
f
f
f
/
j
i
/
j
i
/
j
i
/
j
i
/
j
i
/
j
i
/
j
i
j
i
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
12
1
6
5
2
12
1



















    (15) 
)
(D
C
m
n
 – shunday funktsiyalar sinfi bo`lsinki, ularning  x  bo`yicha  m  va  t  bo`yicha  n  
tartibli hosilalari 
D
 da uzluksiz bo`lsin. (13) va (14) formulalardan ko`rinadiki (II) sxema quyidagi 
approksimatsiyalarga ega:  
1. 
f
,
,




    
5
0
  yoki 
)
(
2
2





h
O
f
da 
)
h
(
O
2
2


bo`ladi,  agar 
4
3
C
u 
 
bo`lsa; 

 
110
2. 
)
h
(
O
f
,
,







2
5
0     
  da 
)
h
(
O


2
  bo`ladi,  masalan, 
f€


  yoki 
f


bo`lganda, agar 
4
2
C
u 
 bo`lsa; 
3. 
*



  da  va   

  esa  (15)  formula  bilan  berilsa, 
)
h
(
O
2
4


bo`ladi,  agar   
6
3
C
u 
 
bo`lsa. 
(II)  sxema 
*



  va 
f
h
f




12
2
  da  odatda  yuqori  tartibli  aniqlikdagi  sxema  deb 
ataladi. 

  o`ng  tarafni  tanlash  berilgan 
   da  approksimatsiya  tartibiga  qo`yilgan  talablarga 
bo`ysungan bo`lishi kerak. 
SHunday qilib 
5
0,


 da 

 ni 
f
  
),
f
f€
(
,





5
0
 deb olish mumkin va і.k.  
 (13) dan ko`rinadiki 
)
(
2
2


h
O
 xatolikka 
5
0,


 da ham erishishi mumkin. Masalan 



/
h
,
2
5
0


deb  olish  mumkin,  bunda 

-    h    va   

  dan  bog`liq  bo`lmagan  ixtiyoriy 
o`zgarmas. 

 ni tanlash sxema turg`unligi sharti bilan chegaralangan.