Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

3.  Galyorkin usuli 
 
Bu erda vaznli funktsiyalar sifatida bazis funktsiyalarning o`zi tanlanadi, ya`ni 

 
83
l
l
N
W 
. 
Ushbu holda  
,



dx
N
W
k
m
l
lm
 
.
)
(






dx
N
f
l
l
 
 
Bu  erda 
   matritsaning  simmetrikligi  hisoblash  usullarining  yutuғini  ta`minlashini 
ta`kidlab o`tish lozim. 
 
Quyida  
 
 
 
 
 
0
da



r
Z
)
(
B



 
chegaraviy shartli 
0
da



p
L
)
(
A



, 
differentsial tenglamani qaraymiz. Bunda 
Z
L,
 - chiziqli differentsial operatorlar,  
r
p,
 lar  
  dan 
boғliq emas. 
 
(9)  ifodani 
   da 
r
Z



,     
0

m
ZN
  shartlar  bilan  aniqlaymiz.  Shuning  uchun 
  
avtomatik ravishda chegaraviy shartni qanoatlantiradi. 
 
Tafovut quyidagicha aniqlanadi 
 
 
 
.
)
(
1
p
LN
a
L
p
L
A
R
M
m
m
m














 
 
Vaznli tafovutlar usuliga muvofiq 
 
.
0
1




















d
p
LN
a
L
W
d
R
W
M
m
m
m
l
l
 
 
 
(11) 
 
Har bir 
M
l
,...,
2
,
1

 lar uchun (11) ni qo`llab ChATSni olamiz 
,
f
Ka 
 
 
 
 
 
     (12) 
bunda 
,
,
1
,
,
M
m
l
d
N
W
k
m
l
lm





 
.
,
1
,
M
l
d
p
W
d
L
W
f
l
l
l











 
 
(12) ni echib 
m
a  larni aniqlaymiz. 
 
O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 
 
1.  ODT uchun chegaraviy masalalarni echishning qanday usullari mavjud?  
2.  2-tartibli ODT uchun umumiy ChM qanday qo`yiladi ?  
3.  Bazis funktsiyalar va ularning sistemasi qanday xossalarga ega ?  
4.  Tafovut funktsiyasi qanday tuziladi ? 
5.  Kollokatsiya,  eng  kichik  kvadratlar,  vaznli  tafovutlar  usullarining  asosida  qanday  asosiy 
g`oyalar yotadi ? 
 
 

 
84
10 – ma`ruza  
 
CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR (CHAS) TO`G`RISIDA TUSHUNCHALAR. 
DIFFERENTSIAL OPERATORNING CHEKLI AYIRMALI (CHA) 
APPROKSIMATSIYASI. CHA MASALANING QO`YILISHI. APPROKSIMATSIYA, 
KORREKTLIK, TURG`UNLIK, YAQINLASHISH VA ULAR O`RTASIDA BOG`LANISH 
 
Ma`ruza rejasi 
1.  Sohani diskretlash, tekis va notekis to`rlar; 
2. 
0
H   va  
h
H  funktsional fazolar, ularning elementlarini taqqoslash;  
3.  Oddiy differentsial operatorlar (ODO)ning ayirmali approksimatsiyasi;  
4.  To`rda approksimatsiya xatoligi;  
5.  Sxemalar yaqinlashishi va aniqliligi;  
6.  Chekli ayirmalarning turg`unligi;  
7.  Ayirmali masalalarning korrektligi; 
8.  Turg`unlik, approksimatsiya va yaqinlashishi orasidagi bog`liklik.  
 
Kalit so`zlar: to`r, to`r qadami, to`r funktsiyalar fazosi, ayirmali xosilalar, approksimatsiya, 
turg`unlik, yaqinlashish  
 
1.  To`rlar va to`r funktsiyalar 
 
Berilgan  differentsial  tenglamani  taqribiy  ifodalovchi  ayirmali  sxemalarni  yozish  uchun 
quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak. 
1.  
Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak; 
2.  
Differentsial  operatorni  qandaydir  chekli  ayirmali  operatorga  almashtirish,  bundan  tashqari 
chegaraviy shartlar va boshlang`ich ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak. 
Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz. 
 
Uzluksiz  argumentning  barcha  qiymatlari  uchun  ayirmali  masalani  echib  bo`lmaydi. 
SHuning  uchun  bu  sohada  qandaydir  chekli  sondagi  nuqtalar  to`plami  olinadi  va  faqat  shu 
nuqtalarda taqribiy echim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa 
to`r tugunlari deb ataladi.  
 
To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi. 
 
SHunday  qilib  differentsial  tenglama  echimlari  fazosini  to`r  funktsiyalar  fazosi  bilan 
almashtirdik. 
 
1 misol. Kesmada tekis to`r. 
 
1
,
0
 kesmani 
N
 ta teng bo`lakga bo`lamiz. 
N
x
x
h
i
i
1
1




 
to`r  qadami  deb  ataladi.  Bo`linish  nuqtalari 
ih
x
i

  -  to`r  tugunlari  deyiladi.  Barcha  tugunlar 
to`plami 


1
,
1
,




N
i
ih
x
i
h

  to`rni  tashkil  qiladi.  Bu  to`plamga 
1
,
0
0


n
x
x
  chegaraviy 
nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni  


N
i
ih
x
i
h
,
0
, 



 deb belgilaymiz. 
 
2  misol.  Tekislikda  tekis  to`r. 


T
t
x
D





0
,
1
0
  sohada  aniqlangan  ikki 
o`zgaruvchili 
 
t
x
u ,  funktsiyalar to`plamini qaraymiz. 
x  o`qining 
 
1
,
0
  va  t   o`qining 


T
,
0
  kesmalarini  mos  ravishda 
1
N
 
va 
2
N   ta  bo`laklarga 
bo`lamiz. 
2
1
,
1
N
T
N
h



  bo`lsin.  Bo`linish  nuqtlaridan  o`qlarga  parallel  to`g`ri  chiziqlar 

 
85
o`tkazamiz.  Natijada  bu  to`g`ri  chiziqlar  kesishishidan 


j
i
t
x ,
  tugunlarni  hosil  qilamiz,  ular  




D
t
x
j
i
h


,


 to`rni tashkil qiladi. 
(x
i
, t
j
) 
x
i
 
1 
x 
t
j
=
j 
T 
t 
0 
 
Bu to`r 
x  va  t  yo`nalishlar bo`yicha  
h
 va 
  qadamlarga ega. 
 
SHunga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin. 
 


2
1
, x
x
x 
 tekislikda 
  chegarali murakkab ko`rinishli 
G
 soha berilgan bo`lsin. 
 
G 
0 
x
1
 
x
2
 
 
,
jh
x
,
ih
x
j
i
2
2
1
1


0
2
1
0
2
1




h
,
h
,...,
,
,
j
,
i
  to`g`ri  chiziqlar  o`tkazamiz.  U  holda 


2
1
, jh
ih
  to`rni  hosil  qilamiz.  «

»  bilan  ichki,  «
 »  bilan  esa  tashqi  nuqtalar  belgilangan.  Ichki 
nuqtalar to`plamini 
h
  bilan, chegaraviy  nuqtalar to`plamini 
h
  bilan  belgilaymiz. Shunday qilib 
h
  to`r 
2
1
, ox
ox
 yo`nalishlar  bo`yicha tekis, ammo  G  soha uchun  
h
h
h





 to`r esa chegara 
yaqinida notekis. 
 
Uzluksiz 
G
x 
  argumentli 
)
(x
u
  funktsiyalar  o`rniga 
)
(
i
x
y
  to`r  funktsiya  olinadi. 
)
(
i
x
y
 
to`r funkiyani vektor ko`rinishda berish mumkin. 
 
Odatda 
 
h

  to`r  to`plami 
h
  qadamga  bog`liq  bo`ladi.  Mos  ravishda 
)
(x
y
h
  to`r 
funktsiyalar  ham 
h
  parametrdan  bog`liq  bo`ladi.  Agar  to`r  notekis  bo`lsa 
h
  sifatida 


n
h
h
h
h
,...,
,
2
1

 vektor qaraladi. 
 
Uzluksiz argumentli 
G
x
x
u

),
(
 funktsiyalar qandaydir 
0
H  funktsional fazo elementlaridan 
iborat. 
)
(x
y
h
  to`r  funktsiyalar  esa 
h
H   fazoning  elementlari.  SHunday  qili  chekli  ayirmalar  usuli 
0
H  fazoni 
)
(x
y
h
 to`r funktsiyalarning 
h
H  fazosiga o`tkazadi. 
 
0
H  fazodagi 
0

 norma kabi 
h
H  chiziqli fazoda 
h

 norma kiritiladi. 
 
Bir qator normalarni keltiramiz 

 
86
1) 
C
 da normaning to`r ko`rinishi: 
)
(
max
x
y
y
h
x
c



 yoki  
i
N
i
c
y
y



0
max
. 
2) 
2
L  da normaning to`r ko`rinishi: 
2
1
1
1
2










N
i
i
h
y
y
 yoki 
2
1
1
2









N
i
i
h
y
y
. 
 
Taqribiy  usullar  nazariyasining  asosiy  e`tibori 
h
y   ning 
)
(x
u
  ga  yaqinligini  baholashga 
qaratiladi. Biroq 
h
y  va 
)
(x
u
lar turli fazolarning vektorlaridir. 
Baholashning ikkita imkoniyati mavjud: 
1.  
 
G
h

  da  berilgan 
h
y   funktsiya 
G
  sohaning  barcha  nuqtalarida  aniqlanadi  (masalan,  chiziqli 
interpolyatsiya  yordamida).  Natijada 
G
x 
  uzluksiz  argumentli 


h
x
y
,
~
  funktsiyani  olamiz. 


)
(
,
~
x
u
h
x
y

  ayirma 
0
H   ga  tegishli  bo`ladi. 
h
y   ning 
u   ga  yaqinligi 


0
)
(
,
~
x
u
h
x
y

  bilan 
xarakterlanadi, bunda  
0

-  
0
H  dagi norma. 
2.  
0
H   fazo 
h
H   ga  akslantiriladi.  Har  bir 
0
)
(
H
x
u

  funktsiyaga  mos   
h
h
x
x
u


),
(
  to`r 
funktsiyaga o`tkaziladi, ya`ni  
h
h
h
H
u
u



. Bunda 
h
  - 
0
H  dan 
h
H  ga o`tkazuvchi chiziqli 
operator. Bu moslikni turli yo`llar bilan amalga oshirish mumkin (
h
  turli operatorlarni tanlash 
bilan).  Agar 
)
(x
u
  uzluksiz  funktsiya  bo`lsa, 
)
(
)
(
x
u
x
u
h

  deyish  mumkin,  bu  erda 
h
x


. 
Ba`zan 
h
i
x


 tugunda 
)
(
i
h
x
u
 berilgan 
h
i
x


 tugunning qandaydir atrofi bo`yicha 
)
(x
u
 ning 
o`rta  integral  qiymati  bilan  aniqlanadi.  Bundan  keyin 
)
(x
u
  -  uzluksiz  funktsiya  va  barcha 
h
i
x


 lar uchun 
)
(
)
(
i
i
h
x
u
x
u

 bo`ladi deb faraz qilamiz. 
h
u  to`r funktsiyaga ega bo`lib, 
h
H  fazoning vektori bo`lgan 
h
h
u
y 
 ayirmani hosil qilamiz. 
h
y   ning 
u   ga  yaqinligi 
h
h
h
u
y 
  bilan  xarakterlanadi,  bunda 
h

- 
h
H   dagi  norma.  Bunda 
h
H  
fazodagi norma 
0

 normani barcha 
0
H
u 
 vektor uchun  approksimatsiyalaydi 
0
0
lim
u
u
h
h
h


 
deb  faraz qilish tabiiydir. Bu  shartni 
h
H  va 
0
H   fazodagi  normalarning o`zaro kelishganlik sharti 
deb ataymiz. 
Biz bundan keyin ikkinchi yo`ldan foydalanamiz. 
 
Oddiy differentsial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi 
 
 
Lv
 chiziqli differentsial operator bo`lsin. 
Lv
 ga kiruvchi hosilalarni ayirmali munosabatlar 
bilan  almashtiramiz, 
Lv
  o`rniga  shablon  deb  ataluvchi  biror  to`r  tugunlari  to`plamida 
h
v   to`r 
funktsiya qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat 
h
h
v
L
ni hosil qilamiz: 
 

  



)
(
,
x
Ш
h
h
h
h
v
x
A
x
v
L



 
yoki 



  



)
(
,
i
j
x
Ш
x
j
h
j
i
h
i
h
h
x
v
x
x
A
v
L
, 

 
87
bu erda 



,
x
A
h
 - koeffitsientlar, 
h
 - to`r qadami, 
)
(x
Ш
 - 
x  nuqtadagi shablon. 
Lv
 ni 
h
h
v
L
 ga 
bunday  taqribiy  almashtirish  differentsial  operatorni  ayirmali  operator  bilan  approksimatsiyalash 
deyiladi (yoki 
L
 operatorning ayirmali approksimatsiyasi deyiladi). 
 
L
  operatorni  ayirmali  approksimatsiyaga  keltirishda  shablon  tanlash  zarur,  ya`ni 
L
 
operatorni  approksimatsiyalash  uchun  qo`llash  mumkin  bo`lgan 
)
(x
v
  to`r  funktsiyaning 
qiymatlaridan bog`liq bo`lgan 
x  tugun bilan qo`shni tugunlar to`plamini ko`rsatish kerak. 
 
Quyidagi misollarni qaraymiz. 
1.  
dx
dv
Lv 
. 
x  nuqtani fiksirlaymiz va 
h
x
h
x

 ,
 nuqtalarni olamiz, bu erda 
0

h
. 
Lv
 approksimatsiya qilish 
uchun quyidagi ifodalardan biridan foydalanish mumkin 
 


 
x
h
v
h
x
v
h
x
v
v
L





,  
 
 
 
 
 
(1) 
 
 


x
h
v
h
h
x
v
x
v
v
L





. 
 
 
 
 
 
(2) 
(1) ifoda o`ng ayirmali  hosila, (2) esa chap ayirmali  hosilani tasvirlaydi.  Ayirmali  ifodalar 
ikki nuqtada aniqlangan.  
Yana quyidagi ifodani olish mumkin 


x
x
h
v
v
v
L






1
, 
bunda 
   -  ixtiyoriy  haqiqiy  son.  Xususiy  holda 
5
,
0


  bo`lganda  markaziy  ayirmali  hosilani 
olamiz 
 






h
h
x
v
h
x
v
v
v
v
x
x
x
2
2
1







. 
 
 
 
 
(3) 
 
(1),  (2),  (3)  approksimatsiyalarda  qanday  xatolikga  yo`l  qo`yildi  va 
x   nuqtada 
0

h
  da 
 
 
 
x
Lv
x
v
L
x
h



 ayirma qay holda o`zini tutadi kabi savollarga javob berish muhimdir. 
 
x

 
miqdor 
x  nuqtada 
Lv
 ayirmali approksimatsiya xatoligi deyiladi. 
 
 
x
v
 ni Teylor qatoriga yoyamiz 


 
 
 
 
3
2
2
h
O
x
v
h
x
v
h
x
v
h
x
v







. 
 
Bu ifodani (1), (2), (3) larga qo`yamiz 
)
(
)
(
2
)
(
2
h
O
x
v
h
x
v
v
x





,   
)
(
)
(
2
)
(
2
h
O
x
v
h
x
v
v
x





,   
)
(
)
(
2
h
O
x
v
v
x




. 
 
Bundan ko`rinib turibdiki 
 
 
h
O
x
v
v
ψ
x




,  
 
 
h
O
x
v
v
ψ
x




,   
 
 
h
O
x
v
v
ψ
x





. 
 
V
  -   
h
L   ayirmali  operatorning 
0
h
h 
  o`lganda 
)
,
( h
x
Ш
  shablondan  iborat 
x   nuqtaning 
)
,
(
0
h
x
Ш
 atrofida berilgan etarlicha silliq funktsiyalar 
V
v 
 sinfi bo`lsin. 
 
Agar  
 
 
 
 
m
h
h
O
x
Lv
x
v
L
x




 
bo`lsa 
h
L   operator 
L
  differentsial  operatorni 
x   nuqtada 
0

m
  tartib  bilan  approksimatsiyalaydi 
deymiz. 
 
2 misol. 
2
2
dx
v
d
v
Lv



. 

 
88
 
Uch nuqtali shablonda  


 


2
2
h
h
x
v
x
v
h
x
v
v
L
h





. 
 


h
x
v
x
v
x
x


,  
 
 


 


 
x
v
x
v
h
x
v
h
h
x
v
x
v
v
L
x
x
x
x
x
x
h






1
. 
 
Ushbu holda approksimatsiya tartibi ikkiga teng bo`ladi, ya`ni 
 
 
 
2
h
O
x
v
x
v
x
x



. 
 
Besh nuqtali shablonda 


h
x
h
x
x
h
x
h
x
2
,
,
,
,
2




   
 
 
 
 
 
(4) 
 
4
v
Lv 
 hosila uchun  


 








 






h
x
v
h
x
v
x
v
h
x
v
h
x
v
h
h
x
v
x
v
h
x
v
h
v
v
L
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h
















4
6
4
2
1
2
1
4
2
 
olinadi. 
 
Approksimatsiya tartibi ikkiga teng, ya`ni 
 
 
 
4
6
2
4
6
h
O
v
h
v
v
x
x
x
x





. 
h
 daraja bo`yicha 
Lv
v
L
h



 
approksimatsiya xatoligi yoyilmasidan approksimatsiya 
tartibini oshirish uchun foydalanish mumkin. SHunga binoan  
 
 
 
4
2
4
4
2
12
12
h
O
v
h
h
O
v
h
v
v
x
x
x
x
x
x






 
ga ega bo`lamiz. 
 
Bundan (4) shablonda aniqlangan  
x
x
x
x
x
x
h
v
h
v
v
L
12
2


 
operator 
v
Lv


 ni to`rtinchi tartib bilan approksimatsiya qilishi kelib chiqadi. 
 
 
Lemma. Agar 
 


h
x
h
x
C
v



,
2
 bo`lsa 


 


 
1
,
,
2
2














h
x
v
h
h
x
v
x
v
h
x
v
v
x
x
, 
va agar 
 


h
x
h
x
C
v



,
4
 bo`lsa 
 
 
 
1
,
,
12
1
1
4
2










h
x
v
h
x
v
v
x
x
, 
formulalar o`rinli bo`ladi. 
 
Isbot. Integral shakldagi qoldiq hadi bilan olingan Teylor formulasidan foydalanamiz 
 
 
  
  


 
 
 
x
R
a
v
r
a
x
a
v
a
x
a
v
x
v
r
r
r
1
!
...









, 
 
 
(5) 
bunda  
 


 





















1
0
1
1
1
1
1
!
!
1
ds
a
x
s
a
v
s
r
a
x
d
v
x
r
x
R
r
r
r
x
a
r
r
r



. 
 
Integral uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llaymiz  

 
89
 






 

1
1
1
!
1






r
r
r
v
r
a
x
x
R
, 
bunda 
  - 


x
a,
 kesmada 
x  ning o`rta qiymati, 













1
0
1
1
1
,
1
0
,
r
ds
s
a
x
a
r



. 
 
(5)  da 
x   ni 
h
x 
  va  a  ni 
x   bilan  almashtirib, 
1

r
  va 
3

r
  uchun  mos  ravishda 
quyidagilarni olamiz 
 


 
 

 










1
0
2
1
ds
sh
x
v
s
h
x
v
h
x
v
h
x
v
, 
 
 
 
(6) 
 


 
 
 
 


 















1
0
4
3
4
3
2
1
6
6
2
ds
sh
x
v
s
h
x
v
h
x
v
h
x
v
h
x
v
h
x
v
.  (7) 
 
Bu erda 
h
 ni 
h

 ga, 
s  ni 
s
  almashtirib 
 


 
 

 











0
1
2
1
ds
sh
x
v
s
h
x
v
h
x
v
h
x
v
, 
 
 
 
(8) 
 


 
 
 
 


 
















0
1
4
3
4
3
2
1
6
6
2
ds
sh
x
v
s
h
x
v
h
x
v
h
x
v
h
x
v
h
x
v
  (9) 
formulalarni olamiz. 
 
(6), (8) dan quyidagini olamiz 


 


  











1
1
2
2
2
ds
sh
x
v
s
g
h
h
x
v
x
v
h
x
v
v
x
x
, 
bunda  
 











.
s
s
,
s
s
s
g
да
1
0
агар
1
да
0
1
агар
1
2
 
 
 
0
2

s
g
 bo`lganligidan o`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanish mumkin, natijada 


 


 
1
1
,
1
1
2

















v
x
x
v
ds
s
g
h
x
v
v
x
x
, 
bu erda 
  - 


h
x
h
x

 ,
 kesmada o`rta nuqta. 
 
(7) va (9) dan 
 
 
 








1
1
4
4
2
6
ds
sh
x
v
s
g
h
x
v
v
x
x
 
hosil qilamiz, bu erda 
 

















,
s
s
,
s
s
s
g
да
1
0
агар
1
да
0
1
агар
1
3
3
4
 
 



1
1
4
2
1
ds
s
g
. 
 
 
0
4

s
g
 va 
 
 
x
v
4
 uzluksizligidan, o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llab 
 
 


h
x
h
x
v
v
x
x





12
4
, 
1


 

 
90
ni olamiz va shu bilan lemma isbotlanadi. 
 
4 misol. 
2
2
x
v
x
v
Lv






, 
 
t
x
v
v
,

. 
 
 
t
x,   -  tekislikda  nuqta  bo`lsin.  SHablonni  aniqlaymiz.  U  to`rtta  nuqtadan  tashkil  topgan 
bo`lsin (a rasm). 
(x, t+
) 
(x+h, t) 
(x-h, t) 
(x, t) 
a) 
(x, t+
) 
(x+h, t+
) 
(x-h, t+
) 
(x, t) 
б) 
(x+h, t) 
(x-h, t) 
(x, t+
) 
(x+h, t+
) 
(x-h, t+
) 
(x, t) 
в) 
 

h
L  ni quyidagicha aniqlaymiz  
 


 


 


2
0
,
,
2
,
,
,
h
t
h
x
v
t
x
v
t
h
x
v
t
x
v
t
x
v
v
L
h











. 
 
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz 
 











t
x
v
v
t
x
v
v
t
x
v
v
,
,
,
,
,


. 
 
Unda 







v
v
t
x
v
t
x
v
v
t






,
,
 
va 
 
 
x
x
t
h
v
v
L


0

.  
 
 
 
 
(10) 
 
b rasmdagi shablondan foydalanilganda, 


t
 momentda 
x
x
v
 olinsa, u holda 
 
 
x
x
t
h
v
v
L



1

.  
 
 
 
 
(11) 
 
(10)  va  (11)  larning  chiziqli  kombinatsiyasini  olib, 
0


  va 
1


  bo`lganda  oltinuqtali 
shablonda (v rasm) aniqlangan chekli operatorlarning bir parametrli oilasini hosil qilamiz 
 




x
x
x
x
t
h
v
v
v
v
L








1

. 
 
 
 
(12) 
 
0

h
L
  operatorlar 
 
1

h
L
  ning  approksimatsiya  tartibiga  ega,  (12)  esa 
5
0,


  bo`lganda 




2
h
O
, 
5
,
0


 bo`lganda 


2
2


h
O
 approksimatsiya tartibiga ega. 
 
 
5 misol.  

 
91
2
2
2
2
x
v
t
v
Lv






. 
 
Quyidagi shablonlardan foydalanilamiz 
(x, t+

) 
(x+h, t+

) 
(x-h, t+

) 
(x, t) 
(x, t-

) 
(x, t+

) 
(x+h, t-

) 
(x-h, t-

) 
(x, t) 
(x, t-

) 
(x, t+

) 
(x+h, t) 
(x-h, t) 
(x, t) 
(x, t-

) 
(x+h, t-

) 
(x-h, t-

) 
(x, t+

) 
(x+h, t+

) 
(x-h, t+

) 
(x, t-

) 
(x+h, t) 
(x-h, t) 
(x, t) 
а) 
b) 
v) 
g) 
 
 
Approksimatsiyalardan biri (v rasm) 
 
x
x
t
t
h
v
v
L



, 
 
 
 
 
(13) 
bunda  


 




2
,
,
2
,








t
x
v
t
x
v
t
x
v
v
t
t
. 
 
a) shablonda: 
 
x
x
t
t
h
v
v
v
L




. 
 
 
 
 
(14) 
 
To`qqiznuqtali  shablonda  (g  rasm)  ayirmali  operatorlarning  ikkiparametrli  oilasini  yozish 
mumkin 
 






x
x
x
x
x
x
t
t
h
v
v
v
v
v
L


2
2
1
1
,
1
2
1













. 
 
 
(15) 
 
(15) dan 
0
2
1




 bo`lganda (13), 
1
,
0
1
2




 bo`lganda esa (14) kelib chiqadi. 
 
(13), (14), (15) ayirmali operatorlar 


2
2


h
O
 approksimatsiya tartibiga ega.