Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Matrisaning  xos  vektorlarini  topish.  Endi  xos  vektorlarni  topish  masalasiga  o’tamiz. 
Faraz qilaylik, 
i
  
m
m
m
m
c
q
q
q







.
.
.
)
(
2
2
1
1
)
0
(





 
minimal ko’phadning  ildizi  bo’lsin (keyingi  mulohazalar 
n
m   va 
n
m   hollar uchun  bir  xil).  A 
matrisaning 
i
   xoc  soniga  mos  keladigan 
)
(l
x
  xoc  vektorini  oldingi  punktda  topilgan 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
 vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz: 
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
)
(
.
.
.





m
im
i
i
l
c
c
c
x



. 
 
 
(18) 
Bu tenglikni A ga ko’paytirib va 
)
1
(
)
(


j
j
c
A
c
 ham 
)
(
)
(
i
i
i
x
x
А


 tengliklarni hisobga olib, 
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
.
.
.
)
.
.
.
(
m
im
i
i
m
im
i
i
i
c
c
c
c
c
c















 
(19) 
ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana 
0
.
.
.
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
(
)
0
(
)
0
(








c
q
c
q
c
q
c
c
A
m
m
m
m
c

 
ni hisobga olsak, u holda (19) ni 
)
.
.
.
(
.
.
.
)
.
.
.
(
)
0
(
)
1
(
1
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
1
,
)
2
(
2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
0
(
1
c
q
c
q
c
q
c
q
c
c
c
c
c
c
m
m
m
m
im
m
m
i
i
i
m
im
i
i
i



























 
yoki 

 
63
0
)
(
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
1
(
1
1
,
)
2
(
2
2
,
1
,
)
1
(
1
1
2
)
0
(
1



















m
im
m
i
im
i
m
im
m
i
m
i
i
m
im
i
i
i
m
im
i
i
c
q
c
q
c
q
c
q















 
ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
 vektorlarning chiziqli erkliligini 
hisobga olsak, 
0
,
0
.
.
.
.
.
.
.
,
0
,
0
1
1
,
2
2
,
1
,
1
1
2
1















q
q
q
q
im
m
i
im
i
im
m
i
m
i
i
m
im
i
i
i
m
im
i
i















 
tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket 
ik
  larni topamiz: 
.
0
)
.
.
.
(
,
)
.
.
.
(
.
.
.
.
.
.
.
.
,
)
(
,
)
(
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
,
1
1
,



















im
m
m
i
m
i
im
m
m
i
m
i
i
im
i
i
m
i
im
i
m
i
q
q
q
q
q
q
q














 
Oxirgi tenglik barcha 
im
  lar uchun o’rinlidir, chunki  
0
.
.
.
)
(
1
1






m
m
i
m
i
i
c
q
q




. 
Bu  tenglikdan  hisoblashni  kontrol  qilish  uchun  foydalanish  mumkin.  Hisoblashni  soddalashtirish 
maqsadida 
1

im

 deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi: 
























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
,
1
1
,
m
m
i
m
i
i
i
i
m
i
i
m
i
im
q
q
q
q
q









 
 
 
 
(20) 
Bularny  hisoblashda  Gorner  sxemasidan  foydalanish  ma’quldir.  Agar  berilgan 
i
   xos  songa  A 
matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni 
tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin. 
Eng katta xos son va unga  mos  keladigan  xos  vektorni topishda darajali metod. Faraz 
qilaylik,  A  matrisa  oddiy  strukturaga  ega  va  uning  xos  sonlari 
n



,
.
.
.
,
,
2
1
  bo’lib,  ularga  mos 
keladigan  chiziqli  erkli  xos  vektorlar 
)
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
n
x
x
x
  bo’lsin.  Bu  yerda  to’rt  holni  ko’rib 
chiqamiz: 
1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka 
zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin: 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








. 
 
 
 
(21) 
Biz 
1
 , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli 
)
0
(
y
 vektorni olib, 
uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: 
)
(
)
2
(
2
)
1
(
1
)
0
(
.
.
.
n
n
x
b
x
b
x
b
y




. 
Bu  yerdan 
i
b   lar o’zgarmas  sonlar bo’lib, ayrimlari nol bo’lishi  ham  mumkin. 
)
0
(
y
  vektor  ustida 
k
A  matrisa yordamida almashtirish bajaramiz: 

 
64




n
j
j
k
j
k
k
x
A
b
y
A
y
1
)
(
)
0
(
)
(
. 
Bu yerdan 
)
(
)
(
j
k
j
j
k
x
x
A


 ekanligini hisobga olib, 



n
j
j
k
j
j
k
x
b
y
1
)
(
)
(

 
 
 
 
 
(22) 
ga ega bo’lamiz.  
Endi  n  o’lchovli vektorlar fazosi 
n
R  da ixtigriy 
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
 bazis olamiz. Shu bazisda 
)
,
.
.
.
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(


k
n
k
k
k
y
y
y
y
,  
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
(


nj
j
j
j
x
x
x
x
 
bo’lsin. (22) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz: 
)
,
1
(
1
)
(
n
i
x
b
y
n
j
k
j
ij
j
k
i





   
 
 
    (23) 
Shunga o’xshash 





n
j
k
j
ij
j
k
i
x
b
y
1
1
)
1
(

   
 
 
 
 (24) 
Bu yerda 
ij
j
ij
х
b
c 
 deb belgilab, (24) ni (23) ga bo’lamiz:  
k
n
in
k
i
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
k
i
c
c
c
c
c
c
y
y

















.
.
.
.
.
.
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
)
(
)
1
(
. 
 
 
(25) 
Faraz qilaylik, 
0
1

i
c
 bo’lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor 
)
0
(
y
 va 
n
e
e
e
,
.
.
.
,
,
2
1
 bazisni 
kerakli ravishda tanlash kerak. Endi 
1
i
ij
ij
c
c
d 
 va 
1
1



i

 deb (25) ni quyidagicha yozamiz: 
k
n
in
k
i
k
n
in
k
i
k
i
k
i
d
d
d
d
y
y















.
.
.
1
.
.
.
1
2
2
1
1
2
2
1
)
(
)
1
(
. 
 
     (26) 
Bu yerdan esa (21) ni hisobga olsak, 


k
 da 
0
.
.
.
2



k
k
n


 kelib chiqadi. 
Demak, (26) ni quyidagicha yozishimiz mumkin: 
)
|
|
(
0
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
)]
|
|
(
0
1
[
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
1
(
k
k
a
k
k
k
i
k
i
y
y
















. 
Bu yerdan esa yetarlicha katta  k  lar uchun 
)
(
)
1
(
1
k
i
k
i
y
y



    
 
 
 
(27) 
deb  olishimiz  mumkin.  Odatda 
)
1
(
x
  vektorning  bir  necha  koordinatalari  noldan  farqli  bo’ladi. 
Shuning  uchun  (27)  da  nisbatni 
i
  ning  bir  necha  qiymatida  hisoblash  mumkin.  Agar  bu  nisbatlar 
yetarli  aniqlikda  ustma-ust  tushsa,  u  holda  biz 
i
 ,  ni  yetarli  aniqlik  bilan  topgan  bo’lamiz. 
Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi 
2
  ning kichikligiga bog’liqdir. 
Eslatma.  Yuqoridagi  iterasion  jarayonning  yaqinlashishini  tezlashtirish  uchun  ayrim 
hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir: 

 
65
.
.
.
.
.
.
,
,
1
2
1
2
2
2
2
4
2








m
m
m
A
A
A
A
A
A
A
A
A
 
Bu yerdan esa 
m
k
2

 deb olib, 
)
0
(
)
(
y
A
y
k
k

 
va 
)
(
)
1
(
k
k
y
A
y


 
ga ega bo’lamiz. 
Topilgan  eng  katta  xos  son 
i
   ga  mos  keladigan  xos  vektor  sifatida 
)
(k
y
  ni  olishimiz 
mumkin. Haqiqatan ham, (22) formuladan 




n
j
j
k
j
j
k
k
x
b
x
b
y
2
)
(
)
1
(
1
1
)
(


 
ga ega bo’lamiz. Bu yerdan 










n
j
j
k
j
j
k
k
x
b
b
x
b
y
2
)
(
1
)
1
(
1
1
)
(


. 
Agar biz 
0



k
k
j

 ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan  
)
1
(
1
1
)
(
x
b
y
k
k


 
ga ega bo’lamiz, ya’ni 
)
(k
y
 xos vektor 
)
1
(
х
 dan sonli ko’paytuvchi bilan farq qilyapti va, demak, u 
1
  xoc songa mos keladigan xos vektordir.  
2-hol. A matrisa xos sonining moduli bo’yicha eng kattasi karrali bo’lsin. Faraz qilaylik, 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
,
.
.
.
2
1
1
2
1
n
s
s
s
















 
bo’lsin. Bu holda (25) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 
k
n
in
k
s
s
i
k
is
i
k
n
in
k
s
s
i
k
is
i
k
i
k
i
c
c
c
c
c
c
c
c
y
y

























.
.
.
)
.
.
.
(
.
.
.
)
.
.
.
(
1
1
,
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
)
(
)
1
(
. 
 
(28) 
Bu yerda ham 
0
.
.
.
1



is
i
c
c
 deb faraz qilamiz va  
1
1
),
(
.
.
.



i
i
is
i
ij
ij
s
j
c
c
c
d





 
belgilashlarni kiritib, (28) ni quyidagicha yozamiz: 
k
n
in
k
s
s
i
k
n
in
k
s
s
i
k
i
k
i
d
d
d
d
y
y



















.
.
.
1
.
.
.
1
1
1
,
1
1
1
1
,
1
)
(
)
1
(
. 
Bundan esa, 
0
0
1



k
k
s

 ni hisobga olib, 
)
|
(|
0
1
)
(
)
1
(
1
k
s
k
i
k
i
y
y






 
ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o’rinlidir. 1) holdagidek 
A matrisaning 
i
 , xos soniga mos keladigan xos vektor sifatida taqribiy ravishda 
)
(k
y
 ni olishimiz 
mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki 
)
0
(
y
 vektorni tanlab boshqa 
)
0
(
y
A
k
 xos vektorga ega 
bo’lamiz. Shunday kilib, 
i
  ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin.  

 
66
3-hol. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 
p
r
r
r
i













.
.
.
.
.
.
1
 
va 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
.
.
.
|
|
1
1
n
p
r
p
r












. 
Bu  yerda  yuqoridagi  iterasion  jarayonni  qo’llab  bo’lmaydi.  Haqiqatan  ham,  (23)  tenglikni 
quyidagicha yozish mumkin: 
.
.
.
.
)
1
(
.
.
.
)
)(
.
.
.
(
)
.
.
.
(
1
1
,
1
1
,
1
1
1
1
,
1
1
,
1
,
1
1
1
1
)
(
k
n
in
k
p
r
p
r
i
k
k
r
i
k
i
k
n
in
n
k
p
r
p
r
i
p
r
k
p
r
i
p
r
r
i
r
k
ir
r
i
k
i
d
d
d
d
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
y








































 
Bu yerda 
k
i
d
1
1
  va 
k
k
r
i
d
1
1
,
)
1
(



 hadlar bir xil tartibga ega bo’lib,  k  ning o’zgarishi bilan ikkinchisi 
o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak, 
)
(
)
1
(
k
i
k
i
y
y

 
nisbat 


k
  da  limitga  ega  bo’lamaydi.  Lekin  bu  yerda 
)
2
( k
i
y
  va 
)
2
2
(

k
i
y
  yoki 
)
1
2
(

k
i
y
  va 
)
1
2
(

k
i
y
 
dan foydalanib, 
2
1
  ni topishimiz mumkin: 
).
|
|
(
0
),
|
|
(
0
2
1
2
1
)
1
2
(
)
1
2
(
2
1
2
1
)
2
(
)
2
2
(
k
p
k
k
i
k
i
k
p
k
k
i
k
i
y
y
y
y















 
Shunday qilib, bu holda 
A
 matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonini topishimiz mumkin. A 
matrisaning 
1
  va 
1


 xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun 
)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



 va 
)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



 vektorlarni tuzamiz: 
)].
|
|
(
0
)
.
.
.
(
2
[
)
(
)],
|
|
(
0
)
.
.
.
(
2
[
)
(
.
.
.
)
(
)
.
.
.
(
2
1
)
(
)
1
(
1
1
1
)
(
1
)
1
(
1
)
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
(
1
)
1
(
1
1
1
1
)
(
)
1
(
1
1
1
)
(
1
)
1
(
k
p
r
p
r
p
r
r
r
k
k
k
k
p
r
r
r
k
n
n
k
n
n
p
r
k
p
r
p
r
p
r
r
r
k
k
k
x
b
x
b
y
y
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
y
y






















































 
A  matrisaning 
1
   xos  soniga 
)
(
)
1
(
1
.
.
.
r
r
x
b
x
b


  xoc  vektor  va 
1


  xoc  soniga 
)
(
)
1
(
1
.
.
.
p
r
p
r
r
r
x
b
x
b






  xos  vektor  mos  keladi.  Shuning  uchun  ham, 
1
  ga  mos keladigan  xos 
vektor sifatida 
)
(
1
)
1
(
k
k
y
y



 ni olshshshiz mumkin. Arap 
r
 va 
p
 yoki bularning birortasi birdan 
katta bo’lsa, u holda boshqa dastlabki 
)
0
(
y
 vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak. 
4-hol.  Bu  holga  A  matrisaning  moduli  bo’yicha  eng  katta  xos  sonlari  qo’shma  kompleks 
bo’lgan hol yoki modullari bilan o’zaro juda yaqin bo’lgan hol kirali. Faraz qilaylik, 
1
  va 
2
  xos 
sonlar qo’shma kompleks sonlar bo’lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin: 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








. 
Bu holda, quyidagi taqribiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin: 

















)
2
(
2
2
2
)
1
(
2
1
1
)
2
(
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
)
1
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
,
,
x
b
x
b
y
x
b
x
b
y
x
b
x
b
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k






 
 
 
 
 (29) 
Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:  
0
)
(
)
(
2
1
)
1
(
2
1
)
2
(






k
k
k
y
y
y




. 

 
67
Agar hisoblash jarayonida 
)
2
(
)
1
(
)
(
,
,


k
k
k
y
y
y
 vekterlar orasida 
0
)
(
)
1
(
)
2
(





k
k
k
y
q
y
p
y
   
 
 
 
(30) 
chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa, u holda 
1
  va 
2
  lar 
0
2



q
pu
u
 
 
 
 
 
(31) 
kvadrat  tenglamani  qanoatlantiradi.  Bu  tenglamaning 
p
  va 
q
  koeffisiyentlarini  quyidagi 
mulohazalar yordamida topish mumkin. (30) tenglikda komponentlarga o’tsak, 
0
,
0
)
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
1
(
)
2
(










k
j
k
j
k
j
k
i
k
i
k
i
qy
py
y
qy
py
y
 
bo’lib, 
j
i 
 deb olamiz. Bu  yerdan r va q  ni topib, (31) ga qo’ysak, u holda (31) ni quyidagicha 
yozsak bo’ladi: 
)
;
,
1
,
(
0
1
)
2
(
)
2
(
2
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
j
i
n
j
i
y
y
u
y
y
u
y
y
k
j
k
i
k
j
k
i
k
j
k
i

















.  
 
(32) 
(31)  tenglikdan 
1
   va 
2
   topilgandan  keyin  ularga  mos  keladigan  xos  vektorlarni  ham  topish 
mumkin, (29) dan 
)
1
(
2
1
1
1
)
(
2
)
1
(
)
2
(
1
2
2
2
)
(
1
)
1
(
)
(
,
)
(
x
b
y
y
x
b
y
y
k
k
k
k
k
k
















 
ga ega bo’lamiz. Bu  natijalarni,  modullari teng  yoki  yaqin  bo’lgan  xos sonlarning soni  bir  juftdan 
ko’p bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin.