Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Ikkinchi  xos  son  va  unga  mos  keladigan  xos  vektorni  topish.  Faraz  qilaylik,  A 
matrisaning xos sonlari quygidagi shartni kanoatlantirsin: 
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
3
2
1
n








, 
ya’ni A matrssaning bir-biridan farqli bo’lgan ikkita modullari bo’yicha eng katta xos soni mavjud 
bo’lsin.  Bunday  vaqtda  1-holda  ko’rilgan  usulga  o’xshash  usulni  qo’llab, 
2
   va  unga  moo 
keladigan 
)
2
(
x
 xos vektorni topish mumkyan. (22) formulaga ko’ra 
,
.
.
.
)
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
)
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y







   
 
 (33) 
.
.
.
.
)
(
1
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
)
1
(
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
x
b
y











 
 
                          (34) 
Bu tengliklarda 
1
 , ni yo’qotish uchun (33) ni 
1
  ga ko’paytirie (34) dan ayiramiz. Natijada 
)
(
1
)
2
(
1
2
2
2
)
(
1
)
1
(
)
(
.
.
.
)
(
n
n
k
n
n
k
k
k
x
b
x
b
y
y














 
 
(35) 
ga ega bo’lamiz. 
Yozuvni qisqartirish maqsadida 
)
(k
y
 ning   -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi 
)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
y
y
y






 
belgilashni  kiritamiz.  Agar 
0

b
  bo’lsa  u  holda 


k
  da  (35)  da  birinchi  qo’shiluvchi 
yigindiping bosh qismi buladi va biz 
)
2
(
1
2
2
2
)
(
)
(
1
x
b
y
k
k







   
 
 
(36) 
taqribiy tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan esa 
)
2
(
1
2
1
2
2
)
1
(
)
(
1
x
b
y
k
k









. 
 
 
(37) 
Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz: 
)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
2
1
1









k
j
k
j
k
j
k
k
j
k
j
y
y
y
y
y
y





. 
 
 
(38) 

 
68
Bu  formula  yordamida 
2
  ni topishimiz  mumkin. Bir-biriga  yaqin  sonlar 
)
(k
j
y
  va 
)
1
(
1

k
j
y

  hamda 
)
1
( 
k
j
y
  va 
)
(
1
k
j
y

  bo’lganligi  uchun  aniqlik  yo’qoladi.  Shuning  uchun  ham,  praktikada 
2
   ni 
aniqlaidigan  iterasiya  nomeri  m   ni 
1
   ni  aniqlaydigan  nterasiya  nomeri  k   Dan  kichikroq  qilib 
olish, ya’ni 
2
  ni quyidagicha aniqlash ma’quldir: 
)
(
)
1
(
1
)
(
)
(
1
)
1
(
2
k
m
y
y
y
y
m
j
m
j
m
j
m
j









. 
 
 
(39) 
Agar  l  yetarlicha katta bo’lsa, 
l
2
  ning 
.)
.
.
,
4
,
3
( 
j
l
j

 dan ortiqligi sezilib qoladi,  m  sifatida shu 
l   larning  eng  kichigini  olish  kerak.  Umuman  aytganda,  (39)  formula 
2
   ning  qo’pol  qiymatini 
beradi.  Shu  usul  bilan  qolgan  xos  sonlarni  ham  topish  mumkin,  lekin  natija  yana  ham  qo’polroq 
chiqadi. 
(36) dan ko’rinib turibdiki, 
)
(
)
2
(
1
m
y
x


 dan faqat o’zgarmas ko’payuvchiga farq qilyapti, 
shuning uchun ham 
)
(
)
2
(
1
m
y
x



 
deb olishimiz mumkin. 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari. 
2.  Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi. 
3.  Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar. 
4.  Moduli bo’yicha eng katta xos soni hisoblashning iterasion usullari  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
69
6-ma’ruza 
INTERPOLYATSIYA MASALASI. LOGRANJ INTERPOLYSTSION KO`PHADI. 
NYUTON INTERPOLYSTSION KO`PHADI. 
Reja: 
1.  Interpolyasiyalash masalasi. 
2.  Logranj interpolyasion formulasi. 
3.  Nyuton interpolyasion formulalari 
 
Tayanch iboralar: Interpolyasiyalash, boshlang’ich qiymat, tugun nuqta, funksiya, ko’phad, 
xato. 
 
Aksariyat  hisoblash  metodlari  masalaning  qo’yilishida  qatnashadigan  funksiyalarni  unga 
biror, muayyan  ma’noda  yaqin  va tuzilishi  soddaroq bo’lgan  funksiyalarga almashtirish g’oyasiga 
asoslangan. 
Ushbu  mavzuda  funksiyalarni  yaqinlashtirish  masalasining  eng  sodda  va  juda  keng 
qo’llaniladigan qismi — funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi qaraladi. 
Dastlab  interpolyasiyalash  deganda  funksiyaning  qiymatlarini  argumentning  jadvalda 
berilmagan  qiymatlari  uchun  topish  tushunilar  edi.  Bu  holda  interpolyasiyalashni  «satrlar 
orasidagilarni  o’qiy  bilish  san’ati»  deb  ham  ta’riflash  mumkin.  Hozirgi  vaqtda  interpolyasiyalash 
tushunchasi  juda  keng  ma’noda  tushuniladi.  Interpolyasiya  masalasining  mohiyati  quyidagidan 
iborat.  Faraz  qilaylik, 
]
,
[
b
a
  oraliqda 
)
( x
f
y 
  funksiya  berilgan  yoki  hyech  bo’lmaganda  uning 
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
1
0
n
x
f
x
f
x
f
  qiymatlari  ma’lum  bo’lsin.  Shu  oraliqda  aniqlangan  va  hisoblash  uchun 
qulay  bo’lgan  qandaydir  funksiyalar  {
)
( x
P
}  sinfini,  masalan,  ko’phadlar  sinfini  olamiz.  Berilgan 
)
( x
f
y 
  funksiyani 
]
,
[
b
a
  oraliqda  interpolyasiyalash  masalasi  shu  funksiyani  berilgan  sinfning 
shunday 
)
( x
P
 funksiyasi bilan taqribiy ravishda  
)
(
)
(
x
P
x
f

 
almashtirishdan  iboratki, 
)
( x
P
  berilgan 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
  nuqtalarda 
)
(x
f
  bilan  bir  xil  qiymatlarni 
qabul qilsin: 
)
,
0
(
)
(
)
(
n
i
x
f
x
P
i
i


. 
Bu yerda ko’rsatilgan 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
 nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi, 
)
( x
P
 
esa  interpolyasiyalovchi  funksaya  deyiladi.  Agar  {
)
( x
P
}  sinfi  sifatida  darajali  ko’phadlar  sinfi 
olinsa,  u  holda  interpolyasiyalash  algebraik  deyiladi.  Algebraik  interpolyasiyalash  apparati 
hisoblash  matematikasining  ko’p  sohalarida  qo’llaniladi,  chunonchi,  differensiallash  va 
integrallashda,  transsendent,  differensial  va  integral  tenglamalarni  yechishda,  funksiya 
ekstremumini  topishda,  hamda  funksiya  jadvalini  tuzishda.  Teylor  yoyilmasi  klassik  analizda  qay 
darajada  ahamiyatga  ega  bo’lsa,  algebraik  interpolyasiyalash  ham  hisoblash  matematikasida 
shunday ahamiyatga egadir.  Ayrim  hollarda  interpolyasiyalashning  boshqa ko’rinishlarini qo’llash 
maqsadga  muvofiqdir.  Masalan, 
)
(x
f
  Davriy  funksiya  bo’lsa,  u  holda  {
)
( x
P
}  sinfi  sifatida 
trigonometrik  funksiyalar  sinfi  olinadi;  agar  interpolyasiyalanadigan  funksiya  berilgan  nuqtalarda 
cheksizga  aylanadigan  bo’lsa,  u  holda  {
)
( x
P
}  sinfi  sifatida  rasional  funksiyalar  sinfini  olish 
ma’quldir. 
Lagranj  interpolyasion  formulasi.  Biz  asosan  algebraik  interpolyasiyalash  bilan 
shug’ullanamiz.  Masalaning  qo’yilishi  quyidagichadir.  Darajasi  n   dan  yuqori  bo’lmagan  shunday 
ko’phad qurilsinki, u berilgan (
1

n
) ta 
n
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
 nuqtalarda berilgan 

 
70
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
1
0
n
x
f
x
f
x
f
 
qiymatlarni  qabul  qilsin.  Bu  masalani  geometrik  ta’riflash  ham  mumkin:  darajasi  n   dan 
ortmaydigan 
shunday 
)
( x
P
 
ko’phad 
qurilsinki, 
uning 
grafigi 
berilgan 
(
1

n
) 
ta 
)
,
0
(
))
(
,
(
n
k
x
f
x
M
k
k
k

 nuqtalardan o’tsin. 
Demak, 
m
c  koeffisiyentlarni shunday aniqlash kerakki, 
n
n
x
c
x
c
c
x
P




.
.
.
)
(
1
0
  
 
 
 
(1) 
ko’phad uchun ushbu 
n
k
x
f
x
P
k
k
,
.
.
.
,
1
,
0
),
(
)
(


   
 
    
 
(2) 
tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib  yozsak, 
)
,
0
(
n
m
c
m

  larga  nisbatan (
1

n
) noma’lumli 
(
1

n
) ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi: 






















).
(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
),
(
.
.
.
),
(
.
.
.
2
2
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
0
2
0
2
0
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
c
x
c
x
c
c
x
f
x
c
x
c
x
c
c
x
f
x
c
x
c
x
c
c
 
 
 
 
 
(3) 
Bu  sistemaning  determinanti  Vandermond  determinantidir: 
)
,
.
.
.
,
,
(
1
0
n
x
x
x
W
.  Masala 
mazmunidan  ravshanki, 
k
x   nuqtalar  bir-biridan  farqli,  demak  bu  determinant  noldan  farqlidir. 
Shuning  uchun  ham  (3)  sistema  va  shu  bilan  birga  qo’yilgan  interpolyasiya  masalasi  yagona 
yechimga  ega.  Bu  sistemaii  yechib, 
m
c   larni topib (1) ga qo’ysak, 
)
( x
P
  ko’phad  aniqlanadi.  Biz 
)
( x
P
 ning oshkor ko’rinishini topish uchun boshqacha yo’l tutamiz, avvalo fundamental ko’phadlar 
deb ataluvchi 
)
(x
Q
nj
 larni, ya’ni 







булганда
j
i
булганда
j
i
x
Q
j
i
i
nj
,
1
,
,
0
)
(

 
shartlarni qanoatlantiradigan p- darajali ko’phadlarni quramnz. U holda 



n
j
nj
j
n
x
Q
x
f
x
L
0
)
(
)
(
)
(
 
 
 
 
 
 
(4) 
izlanayotgan interpolyaiion ko’phad bo’ladi. Haqiqatan ham, barcha 
n
i
,
.
.
.
,
2
,
1
,
0

 uchun 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
i
n
j
j
i
j
n
j
i
nj
j
i
n
x
f
x
f
x
Q
x
f
x
L








 
va ikkinchi tomondan 
)
(x
L
n
  n  - darajali ko’phaddir. 
Endi 
)
(
,
x
Q
j
n
  ning  oshkor  ko’rinishini  topamiz, 
i
j    bo’lganda 
0
)
(
,

i
j
n
x
Q
,  shuning 
uchun  ham 
)
(
,
x
Q
j
n
  ko’phad 
i
j    bo’lganda 
i
x
x 
  ga  bo’linadi.  Shunday  qilib,  n -  darajali 
ko’phadning  n  ta bo’luvchilari bizga ma’lum, bundan esa 




j
i
i
j
n
x
x
C
x
Q
)
(
)
(
,
 
kelib chiqadi. Noma’lum ko’paytuvchi  C  ni esa 
1
)
(
)
(
,




 j
i
i
j
j
j
n
x
x
C
xl
Q
 
shartdan topamiz; natijada: 

 
71





j
i
i
j
i
j
n
x
x
x
x
x
Q
)
(
,
. 
Bu ifodani (4) ga qo’yib, kerakli ko’phadni aniqlaymiz: 







n
j
j
i
i
j
i
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
0
)
(
)
(
. 
 
 
 
     
(5) 
Bu ko’phad Lagranj interpolyasion ko’phadi deyiladi, 
Bu  formulaning  xususiy  hollarini  ko’raylik: 
1

n
  bo’lganda.  Lagranj  ko’phadi  ikki 
nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi: 
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
0
0
1
1
1
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
L






. 
Arap 
2

n
  bo’lsa,  u  vaqtda  kvadratik  interpolyasion  ko’phadga  ega  bo’lamiz,  bu  ko’phad  uchta 
nuqtadan o’tuvchi va vertikal o’qqa, ega bo’lgan parabolani aniqlaydi; 
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
1
2
0
2
1
0
1
2
1
0
1
2
0
0
2
0
1
0
2
1
2
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L















. 
Endi Lagranj interpolyasion formulasshshng boshqa ko’rinishini keltiramiz. Buning uchun 





n
i
i
n
x
x
x
0
1
)
(
)
(

 
ko’phadni kiritamiz. Bundan hosila olsak, 
 












n
k
j
i
i
n
x
x
x
0
1
)
(
)
(

. 
Kvadrat  qavs  ichidagi  ifoda 
j
x
x 
  va 
j
k 
  bo’lganda    nolga  lanadi,  chunki  (
i
j
x
х 
) 
ko’paytuvchi qatnashadi. Demak, 






j
i
i
j
j
n
x
x
x
)
(
)
(
1

. 
Shuning uchun ham, 




j
i
i
j
i
x
x
x
x
 Lagranj koeffisiyentini 
)
)(
(
)
(
1
1
j
j
n
n
x
x
x
x






 
ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa Lagranj ko’phadi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 







n
j
j
j
n
n
j
n
x
x
x
x
x
f
x
L
0
1
1
)
)(
(
)
(
)
(
)
(


. 
 
 
 
 
(6) 
Endi tugunlar bir xil uzoqlikda joylashgan:  
h
x
x
x
x
x
x
n
n







1
1
2
0
1
.
.
.
 
xususiy holni ko’ramiz. 
Bu holda soddalik uchun 
th
x
x


0
 almashtirish bajaramiz, u holda  
)
(
)
(
),
(
1
1
1
t
h
x
j
t
h
x
x
n
n
n
j










, 
bu yerda 
n
j
n
j
n
n
h
j
n
j
x
n
t
t
t
t
!
)
(
!
)
1
(
)
(
),
(
.
.
.
)
1
(
)
(
1
1













 
bo’lib, (2.6) Lagranj interpolyasion ko’phadi quyidagi ko’rinish-yai oladi: 










n
j
j
j
n
n
n
j
n
j
j
t
x
f
x
th
x
L
0
1
0
!
)
(
!
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(

.   
 
 
 
(7) 

 
72