Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Hisoblash  xatosining  iterasion  jarayonning  yaqinlashishiga  ta’siri.  Biz  oldingi 
punktlarda  iterasion  jarayonning  ideal  modelini  ko’rib  chiqqan  edik.  Bu  modelda 
 
n
x   ketma-
ketlikniig  barcha  elementlari  absolyut  aniq  hisoblangai  deb  faraz  qilingan  edi.  Aslida  esa  qulda 
hisoblanayotganda  ham,  mashinada  hisoblanayotganda  ham,  biz  amamalarni  chekli  miqdordagi 
raqamlar  ustida  bajaramiz.  Buning  natijasida,  ya’ni  yaxlitlash  hisobidan,  hisoblash  xatosi  kelib 
chiqadi. Iterasiyaning birinchi qadamida 
)
(
0
1
x
x


 o’rniga unga yaqinroq bo’lgan 
1
x  hosil qilamiz. 
Bu  yerda 
0
0
1


 x
x
  hisoblash  xatosi  hosil  bo’ladi.  Ikknnchi  qadamda  esa  xato  ikki      sababga   
ko’ra  hosil      bo’ladi:  birinchidan 
)
(x

  funksiyada 
1
x   o’rniga 
1
x   qo’yiladi,  ikkinchidan 
)
(
1
x

 
yaxlitlash  xatosi  bilan  hisoblanadi.  Demak,  topilgan 
2
x   qiymat  faqat  taqribiy  ravishda 
)
(
1
x

  ga 
teng: 



1
1
1
2
,
)
(


 x
x
 hisoblash xatosidir. 
Shunday qilib, iterasiya metodiki qo’llayotganda 
.)
.
.
2
,
1
,
0
( 
n
 ketma-ketlik o’rniga 
.)
.
.
,
1
,
0
(
,
)
(
~
1




n
x
x
n
n
n


 
ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda 
n
  - hisoblash xatosi. 
Yuqorida  isbot    qilingan      teoremaning  xulosasi 
}
{
n
x
  ketma-ketlikka  taalluqli  bo’lgani 
uchun, agar biz qo’shimcha shart qo’ymasak, bu xulosa 
}
~
{
n
x
 ketma-ketlik uchun o’rinli bo’lmaydi, 
xatto bu ketma-ketlik    ildizga yaqinlashmasligi ham mumkin. Shuning uchun quyidagi teoremani 
isbot qilamiz. 
Nyuton metodi sonli tenglamalarni yechishning juda ham effektiv metodidir. Bu metodning 
afzalligi shundan iboratki, hisoblash sxemasi murakkab bo’lmagan holda ketma-ket yaqinlashishlar 
ildizga  tez  yaqinlashadi.  Nyuton  metodi  iterasiya  metodi  kabi  universal  metoddir.  Bu  metod 
yordamida  sonli  tenglamalarning  haqiqiy  va  kompleks  ildizlarini  topish  hamda  keng  sinfdagi 
chiziqli  bo’lmagan  funksional tenglamalarni  yechish  mumkin.  Formal  nuqtai  nazardan qarlaganda 
Nyuton  metodi  iterasiya  metodining  xususiy  holidir, aslida esa  bu  metodning  asl g’oyasi  iterasiya 
metodining  g’oyasidan  tamoman  farqlidir.  Bu  metod  chiziqli  masalalarning  ketma-ketligini 
yechishga olib keladi. Buning uchun berilgan tenglamadan uning bosh chiziqli qismi ajratib olinadi. 
Biz avval bita sonli tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga 
  
0
)
(

x
f
                                                              (25) 
tenglama  va  uning  ildiziga  dastlabki  yaqinlashish  qiymati 
0
x  berilgan  bo’lsin.  Bu  yerda 
)
(x
f
  ni 
yetarlicha  silliq  funksiya  deb  olamiz.  Odatdagidek,  (25)  tenglamaning  aniq  ildizini     orqali 
belgilaymiz.  Endi 
h
x 

0

  deb  olib, 
)
(x
f
  funksiyaning 
0
х   nuqta  atrofidagi    Teylor  qatori 
yoyilmasidagi dastlabki ikkita hadini olib nolga tenglashtirsak,  h  ga nisbatan quyidagi 
h
x
f
x
f
h
x
f
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0





 
  
chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib,  h  xatoning taqribiy qiymatini topamiz: 

 
47
)
(
)
(
0
0
0
x
f
x
f
h



. 
 
Bu tenglamani 
h
x 

0

 ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish 
)
(
)
(
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x



 
ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash 
.)
.
.
,
1
,
0
(
)
(
)
(
1





n
x
f
x
f
x
x
n
n
n
n
                                              (26) 
  
ketma-ket  yaqinlashishlarni  hosil  qilamiz.  Bu  formulalar  yordamida  Nyuton  ketma-ketligini  hosil 
qilish uchun 
n
x  lar 
)
(x
f
 funksiyaning aniqlanish sohasida yotish va ular uchun 
0
)
(


n
x
f
 bo’lishi 
kerak. 
 
Nyuton  metodi  judda  ham  sodda  geometrik  ma’noga  ega.  Haqiqattan  ham, 
)
( x
f
y 
 
funksiyani  
)
)(
(
)
(
n
n
n
x
x
x
f
x
f
y




                           (27) 
to’g’ri  chiziq  bilan  almashtiramiz,  bu  to’g’ri  chiziq  esa 
))
(
,
(
n
n
n
x
f
x
M
  nuqtada 
)
( x
f
y 
  egri 
chiziqqa  o’tkazilgan  urinmadir.  Nyuton  metodi  urinmalar  metodi  deb  ham  yuritiladi.  Nyuton 
metodini  iterasiya  metodidan  keltirib  chiqarish  ham  mumkin,  buning  uchun  (25)  tenglamaning 
)
( x
x


 kanonik ko’rinishida 
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
x




 
deb olish kifoyadir. 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Dastlabki yaqinlashishni topish. 
2.  Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 
3.  Iterasion usullarning asosiy mohiyati. 
4.  Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi. 
5.  Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
48
3-ma’ruza 
 
CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI. 
GAUSS, ODDIY ITERATSIYA, ZEYDEL METODILAR 
Reja: 
1.  Gauss metodi.  
2.  Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 
3.  Oddiy iterasiya metodi. 
4.  Zeydel metodi. 
 
Tayanch iboralar: oddiy va iterasion usullar, uchburchakli matrisa, to’g’ri va teskari yo’l, 
Ermit matrisasi. 
 
 
Gauss  metodi.  Bu  metod  bir  necha  hisoblash  sxemalariga  ega.  Shulardan  biri  Gaussning 
kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin: 






















.
,
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
...
,
,
...
1
2
2
1
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
1
2
12
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
                                            (1) 
 
Faraz  qilaylik, 
0
11

a
  (yetakchi  element)  bo’lsin,  aks  holda  tenglamalarning  o’rinlarini 
almashtirib, 
1
х  oldidagi koeffisiyenti noldan farqli bo’lgan tenglamani birinchi o’ringa ko’chiramiz. 
Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini 
11
a  ga bo’lib, 
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
2
)
1
(
12
1
...





n
n
n
b
x
b
x
b
x
                                               (2) 
ni hosil qilamiz, bu yerda  
).
2
(
11
1
)
1
(
1


j
a
a
b
j
j
 
(2)  tenglamadan  foydalanib,  (1)  sistemaning  qolgan  tenglamalarida 
1
x   ni  yo’qotish  mumkin. 
Buning  uchun  (2)  tenglamani  ketma-ket 
...
,
,
31
21
a
a
  larga  ko’paytirib,  mos  ravishda  sistemaning 
ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo’ladi: 













.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
)
1
(
1
,
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
1
,
2
)
1
(
2
2
)
1
(
22
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
                                                 (3) 
bu yerda 
)
1
(
j
i
a
 koeffisiyentlar  
)
2
,
(
)
1
(
1
1
)
1
(



j
i
b
a
a
a
j
i
ij
ij
. 
formala  yordamida  hisoblanadi.  Endi  (3)  sistema  ustida  ham  shunga  o’xshash  almashtirishlar 
bajaramiz. 
 
Buning  uchun  (3)  sistemadagi  birinchi  tenglamaning  barcha  koeffisiyentlarini  yetakchi 
element 
)
1
(
22
a
 ga bo’lib, 
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
...





n
n
n
b
x
b
x
b
x
                                                 (4) 
ni hosil qilamiz, bu yerda  

 
49
)
3
(
)
1
(
22
)
1
(
2
)
2
(
2


j
a
a
b
j
j
. 
 
(4)  tenglama  yordamida  (3)  sistemaning  keyingi  tenglamalarida  yuqoridagidek 
2
x   ni 
yo’qotib, 













)
2
(
1
,
)
2
(
3
)
2
(
3
)
2
(
1
,
3
)
2
(
3
3
)
2
(
33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
 
sistemaga kelamiz, bu yerda  
)
3
,
(
,
)
2
(
2
)
1
(
2
)
1
(
)
2
(



j
i
b
a
a
a
j
i
ij
ij
. 
 
Noma’lumlarni yo’qotish jarayonini davom ettirib va bu jarayonni  m -qadamgacha bajarish 
mumkin deb faraz qilib,  m -qadamda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz: 




























,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
)
(
1
,
)
(
,
1
1
)
(
1
,
1
)
(
1
,
)
(
1
)
(
1
,
m
n
n
n
m
n
n
m
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
n
m
n
m
mn
m
m
m
m
m
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
b
x
b
x
b
x
                                        (5) 
bu yerda  
)
1
,
(
,
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(







m
j
i
b
a
a
a
a
a
b
m
j
m
m
m
i
m
ij
m
ij
m
mm
m
j
m
m
j
m
. 
Faraz  qilaylik,  m   mumkin  bo’lgan  oxirgi  qadamning  nomeri  bo’lsin.  Ikki  hol  bo’lishi  mumkin: 
n
m    yoki 
n
m  .  Agar 
n
m    bo’lsa,  u  vaqtda  biz  uchburchak  matrisali  va  (1)  sistemaga 
ekvivalent bo’lgan quyidagi  




















)
(
1
,
)
2
(
1
,
2
)
2
(
2
3
)
2
(
23
2
)
1
(
1
,
1
)
1
(
1
3
)
1
(
13
2
)
1
(
12
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
                                      (6) 
sistemaga ega bo’lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket 
1
1
,
.
.
.
,
,
x
x
x
n
n

 larni topish mumkin: 






















.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
)
1
(
1
2
)
1
(
12
)
1
(
1
,
1
1
)
1
(
,
1
)
1
(
1
,
1
1
)
(
1
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
b
x
b
b
x
x
b
b
x
b
x
                                             (7) 
(6) uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, (7) sistemani 
topish jarayoni teskari yurishi deyiladi. 
Oddiy iterasiya metodi. Faraz qilaylik, 
b
x
А 
                                                           (8) 
sistema biror usul bilan 
b
x
B
х


                                                         (9) 
ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, qanday keltirish kerakligini keyinchalik ko’rib o’tamiz va dastlabki 
yaqinlashish  vektori 
)
0
(
x
 bi-ror usul  bilan (masalan, 
c
x

)
0
(
 kabi) topilgan  bo’lsin.  Agar keyingi 
yaqinlashishlar 

 
50
.)
.
.
,
2
,
1
(
,
)
1
(
)
(




k
c
x
B
x
k
k
                                               (10) 
rekurrent  formulalar  yordamida  topilsa,  bunday  metod  oddiy  iterasiya  metodi  deyiladi.  (9)  dan 
ko’ramizki, oddiy iterasiya metodi bu birinchi tartibli to’liq qadamli iterasion metoddir. Agar (10) 
ketma-ketlikning  limiti 

x
  mavjud  bo’lsa,  (bu  limit  (10)  sistemaning,  (shu  bilan  (8)  sistemaning 
ham) yechimi bo’ladi. 
Haqiqatan ham, (10) tenglikda limitga o’tsak, 
c
x
B
х




 kelib chiqadi. 
Oddiy iterasiya metodining yaqinlashish shartini aniqlaylik. 
1-teorema.  (10)  oddiy  iterasiya  jarayoni  o’zining  ixtiyoriy  dastlabki  yaqinlashish  vektori 
)
0
(
x
 da yaqinlashuvchi bo’lishi uchun 
B
 matrisaning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lishi zarur 
va kifoyadir. 
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, ixtiyoriy dastlabki vektor uchun 



 x
x
k
k
)
(
lim
 limit mavjud 
bo’lsin. U holda 
c
x
B
x




 (10) ni bu tenglikdan ayirib, quyidagilarni hosil qilamiz: 
)
(
..
.
)
(
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
)
(
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
k
k
k
k














. 
Endi 
)
0
(
x
x 

 vektor  k  ga bog’liq bo’lmaganligi uchun 
)
(
)
0
(
)
(
x
x
B
x
x
k
k





 
tenglikda 


k
 limitga o’tsak, 
0
lim



k
k
B
 
kelib chiqadi, 
B
 matrisaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichikligi ko’rinadi.  
Kifoyaligi.  (10)  orqali  aniqlanadigan  barcha  yaqinlashishlarni  dastlabki  vektor 
)
0
(
х
  va 
c
 
orqali ifodalaymiz: 
.
)
...
(
.
.
.
)
(
)
(
1
)
0
(
)
2
(
2
)
2
(
)
1
(
)
(
c
B
B
E
x
B
c
B
E
x
B
c
c
x
B
B
c
x
B
x
k
k
k
k
k
k



















 
Endi, faraz qilaylik, 
B
 ning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lsin. U holda  
1
1
2
)
(
...
,
0











B
E
B
B
B
E
B
k
k
k
. 
Demak, 
)
0
(
x
 qanday bo’lishidan qat’i nazar 
)
(k
x
 yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir. 
Isbot qilingan teorema nazariy jihatdan foydali, chunki u mavjud haqiqatni aniq ifodalaydi. 
Lekin,  amaliy  ishlar  uchuya  yaramaydi.  Endi  V  matrisaning  elementlari  orqali  ifodalanadi-gan 
kifoyalilik belgisini keltiramiz.