Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

 
Dikart  teoremasi.  (3)  tenglama  koefisentlaridan  tuzilgan  sistemada  ishora  almashtirishlar 
soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffisentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha 
musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft  songa kamdir. 
 
Faraz qilaylik, (3) tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz 
)
(
1
x
f
 orqali 
)
(x
f 
 hosilani, 
)
(
2
x
f
 orqali 
)
(x
f
 ni 
)
(
1
x
f
 ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, 
)
(
3
x
f
 orqali 
)
(
1
x
f
 ni  
)
(
2
x
f
 ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan  olinganini, 
va    h.k.  belgilaymiz  va  bu  jarayonni  qoldiqda  o’zgarmas  son  hosil  bo’lguncha  davom  ettiramiz. 
Natijada  Shturm qatori deb ataluvchi  
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
),
(
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
k
 
funksiyalar ketma-ketligiga ega bulamiz. 
 
Shturm teoremasi. 
)
(x
f
 ko’phadning ildizlaridan farqli  a  va 
)
(
b
a
b

 sonlarni olib,  x  ni 
a  dan  b  gacha  o’zgartirganda 
)
(x
f
 uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora  almashinishlar 
yo’qolsa, 
)
(x
f
 ning 
)
,
( b
a
 oraliqda xuddi shunday xaqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi. 
Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish 
balan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.  
Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval (2.3) tenglamaning  barcha ildizlari 
yotgan  oraliqning  chegaralari  aniqlanadi.  Topilgan 
]
,
[ b
a
  oraliq 

j 
nuqtalar  bilan  kichik 
oraliqchalarga  bo’linadi.  Shturm  teoremasi  yordamida  tenglamaning 
]
,
[
1

i
i


  oraliqdagi 
ildizlarining  soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa,  oraliq ikkiga 
bulinadi va xar bir oraliq uchun Shturm teoremasi  qo’llaniladi.  Bu jarayonni shu paytgacha davom 
ettiramizki,  toki  xar  bir  oraliqchalardagi    ildizlar  soni  bittadan  ortmasin.  Shuni  ham  eslatib  o’tish 
kerakki, Shturm qatoridagi 
)
(x
f
i
 funksiyalarni musbat sonlarga kupaytirish yoki bo’lish mumkin, 
bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi. 
 

 
41
Oddiy  iterasiya  metodi.  Biz  hozir  oddiy  iterasiya  (yoki  ketma-ket  yaqinlashish)  metodi 
bilan  bitta  sonli  tenglama  misolida  tanishamiz.  Bu  metodning  umumiy  nazariyasn  bilan  keyingi 
paragrafda  tanishib  chiqamiz.  Iterasiya  metodini  qo’llash  uchun 
0
)
(

x
f
  tenglama  unga  teng 
kuchli bo’lgan quyidagi 
)
(x
x


                                                        (7) 
kanonik  shaklga  keltnrilgan  va  ildizlari  ajratilgan  bulishi  kerak.  (7)  tenglamaning  ildizi  yotgan 
atrofiing  biror 
0
x   nuqtasini  izlanayotgan  ildizning  nolinchi  yaqinlashishi  deb  olamiz.  Navbatdagi 
yakinlashishini  topish  uchun  (7)  ning  o’ng  tomoniga 
0
x   ni  qo’yamiz  va  hosil  bo’lgan 
)
(
0
x

 
qiymatini 
1
x  bilan bolg’ilaymiz, ya’ni 
)
(
0
1
x
x


.                                                      (8) 
Topilgan 
1
x   sonni  (7)  ning  o’ng  tomoniga  qo’yib,  yangi  son 
)
(
1
2
x
x


  ni  hosil  qilamiz.  Bu 
jarayonni davom ettirib, f-yaqinlashish x
p
 ni (p-1)- yaqinlashish x
p-1
  yordamida topamiz: 
)
.
.
.
,
2
,
1
(
)
(
1



n
x
х
n
n

.                                              (9) 
Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni 




n
n
x
lim
                                                       (10) 
mavjud va 
)
(x

 funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib,  
)
(
)
lim
(
)
(
lim
lim
1
















n
n
n
n
n
n
x
x
x
, 
ya’ni 
)
(




 
ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadlik,    berilgan tenglamaning ildizi ekan. Demak, bu ildizni 
(9) formula  yordamida  istgalgan aniqlik bilan  hisoblash  mumkin, (10) limit  mavjud bo’lgan holda 
iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin 
n
n
x


lim
 mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday 
holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi. 
Iterasiya  metodi  sodda  geometrik  ma’noga  ega.  Buni  tushunish  uchun 
)
( x
y


  va 
x
y 
 
funksiyalarning  grafiklarini  chizamiz.  Bu  grafiklarning  kesishgan  M  nuktasining  abssissasi  (7) 
tenglamaning 


x
 ildizldir. 
 
 
5-chizma   

 
42
  
Faraz qilaylik, x
0
 nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda 
))
(
,
(
0
0
0
x
x
A

 nuqta 
)
( x
y


 egri 
chiziqda  yotadi.  Bu  nuqtadan  gornzontal  (ox  o’qiga  parallel)  chiziq  o’tkazamiz.  Bu  chiziq  u=x 
bissektrisani 
))
(
),
(
(
0
0
1
x
x
B


  nuqtada  kesadi. 
)
(
0
x

  ni 
1
x   bilan  belgilab  olsak, 
1
B   nuqtaning 
koordinatalari 
)
,
(
1
1
x
x
  ko’rinishga  ega  bo’ladi. 
1
B   nuqta  orqali  ou  o’qqa  parallel  to’g’ri  chiziq 
o’tkazsak, u 
)
( x
y


 egri chiziqni 
))
(
,
(
1
1
1
x
x
A

 nuqtada kesadi. Bu jarayonni davom ettirib, 
x
y 
 
bissektrisada  yotgan 
)
,
(
2
2
2
x
x
B
  (bu  yerda 
)
(
1
2
x
х


)  so’ng 
)
( x
y


  egri  chiziq  ustida 
))
(
,
(
2
2
2
x
x
A

 nuqtaga ega bo’lamiz va h.k. 
 
6-chizma 
Agar  iterasiya  jarayoni  yaqinlashsa,  u  vaqtda 
,...
,...,
,
1
0
n
A
A
A
  nuqtalar  izlanayotgan  M 
nuqtaga  yaqinlashadi. 
,...
,
,
2
1
0
A
A
A
  nuqtalarning 
,...
,
,
2
1
0
x
x
x
  abssissalari     ga,  ya’ni  (7) 
tenglamaning  ildiziga  yaqinlashadi.  Shunday  qilib,  iterasiya  metodining  geometrik  ma’nosi 
quyidagidan  iborat: 
)
( x
y


  egri  chiziq  bilan  koordinatalar  burchagi  bissektrisaning  kesishish 
nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va 
bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar 
egri  chiziq  va  bissektrisa  5-chizmadagidek  joylashgan  bo’lsa,  u  vaqtda  siniq  chiziq  zinapoyani 
eslatadi. Agar egri chiziq va bissektrisa 6- chizmadagidek bo’lsa, unda siniq chiziq spiralni eslatadi. 
 
7-chizma 
  
  

 
43
Iterasion  jarayon  uzoqlashishi  ham  mumkin.  Buning  geometrik  ma’nosi  shundan  iboratki, 
zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham 
,...
,
,
2
1
0
A
A
A
 nuqtalar M ga yaqinlashmaydi, balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar). 
Modomiki,  iterasiya  jarayoni  har  doim  yaqinlashavermas  ekan,  demak,  bu  jarayon 
yaqinlashishi  uchun  qanday  shartlar  bajarilishi  kerakligini    aniqlash  kata  ahamiyatga  ega.  Bu 
shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi. 
 I- teorema. Faraz qilaylik,  
)
(x

 funksiya va dastlabki yaqinlashish 
0
х  quyidagi shartlarni 
qanoatlantirsin:  
1)  
)
(х

 funksiya 



0
x
x
                                                           (11) 
oraliqda  aiqlangan  bo’lib,  bu  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  ikkita  x   va 
y
  nuqtalar  uchun 
)
(x

 
Lipshis shartini qanoatlatirsin: 
)
1
0
(
|
)
(
)
(
|





q
y
x
q
y
x


;                                             (12) 
2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin: 








q
x
х
n
1
,
|
)
(
|
0
.                                                   (13) 
U  holda  (7)  tenglama  (11)  oraliqda  yagona     ildizga  ega  bo’lib, 
}
{
n
x
  ketma-ketlik  bu  yechimga 
intiladi va intilish tezligi 
n
n
q
q
x



1
|
|


                                                         (14) 
tengsizlik bilan aniqlanadi. 
 
 
 
8-chizma 
  
 Isbot. Avval induksiya metodnni qo’llab, ixtiyoriy p uchun 
n
x  ni ko’rish mumkinligini, 
n
x  
ning (11) oraliqda yotishligi va 
n
n
n
q
x
x




|
|
1
                                                         (15) 
tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz. 
Agar p = 0 bo’lsa, 
)
(
0
1
x
х


 bo’lgani uchun (15) tengsizlik (13) dan kelib chiqadi. 

 
44
Bundan  tashqari, 






q
1
  bo’lgani  uchun 



|
|
0
1
x
х
  tengsizlik  bajarilib, 
1
x   (11) 
oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, 
n
x
x
x
,...,
,
2
1
 lar qurilgan bo’lib, ular (11)   oraliqda yotsish va 
)
1
,...,
1
,
0
(
|
|
1





n
k
q
x
x
k
k
k

 
tengsizliklar  bajarilsin.  Induksiya  shartiga  ko’ra 
n
x   (11)  da  yotadi, 
)
(x

  (11)  da  aniqlangan, 
shuning uchun ham 
)
(
1
n
n
x
x



 ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan 
1
1
1
|
)
(
)
(
|
|
|








n
n
n
n
n
n
x
x
q
x
x
x
x


 
kelib  chiqadi.  Lekin 
1

n
x
  va 
n
x  uchun  induksiya shartiga ko’ra 
1
1
|
|




n
n
n
q
x
x

  o’rinli,  demak, 
n
n
n
q
x
x




|
|
1
. Bu esa 
1

n
x
 va 
n
x  uchun (15) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat, 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
x
x
x
x
x
x
x
x























1
1
1
.
.
.
|
|
.
.
.
|
|
|
|
|
|
1
1
0
1
1
1
0
1





 
munosabatlar 
1

n
x
  ning  (11)  oraliqda  yotishini  ko’rsatadi.  Shu  bilan  isbot  qilinishi  talab  etilgan 
mulohaza tasdiqlanadi. 
Endi 
}
{
n
x
  ning  fundamental  ketma-ketlik  tashkil  etishini  ko’rsatamiz.  (15)  tengsizlikka 
ko’ra ixtiyriy 
p
 natural son uchun 
n
n
p
n
n
n
n
p
n
n
p
n
q
q
q
q
x
x
x
x
x
х
















1
.
.
.
|
|
.
.
.
|
|
|
|
1
1



 
yoki  
n
n
p
n
q
q
x
x




1
|
|

.                                                   (16) 
Bu tengsizlikning o’ng tomoni 
p
 ga  bog’liq bo’lmaganligi  va 
1
0

 q
 bo’lganidan 
}
{
n
x
 ketma-
ketlikning  fundamentalliga  va uning  limiti 
n
n
x


 lim

  mavjudligi kelib chiqadi. 
}
{
n
x
 ketma-ketlik 
(11)  oraliqda  yotgani  uchun  ham  shu  oraliqda  yotadi.  (12)  shartdan 
)
(x

  ning  uzluksizligi  kelib 
chshqadi,  shuning  uchun  ham 
)
(
1
n
n
x
x



  tenglikda  limitga  o’tib,     (7)  tenglamaning  ildizi 
ekanligini isbot qilamiz. 
Endi    ildizning (11) oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik,  
~
 (7) tenglamaning 
(11) oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin,  
~
 ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (6) ga ko’ra 
|
~
|
|
)
(
)
~
(
|
|
~
|













q
, 
1
0

 q
 bo’lgani uchun bu munosabat faqat 



~
 bo’lgandagina bajariladi. 
Yaqinlashish  tezligini  ko’rsatuvchi  (14)  tengsizlikni  keltirib  chiqarish  uchun  (16) 
tengsizlikda 


p
 limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi. 
Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli haqida. Iterasiya metodining 
yaqinlashishi  yoki  uzoqlashishi     ildizning  kichik  atrofida 
)
(x


  hosilaning  qiymatiga  bog’liq 
ekanligini  yuqorida  ko’rgan  edik.  Lekin  J.  X.  Vegsteyn  1958  yilda  iterasiya  metodini  shunday 
o’zgartirishni  taklif  qilgan  ediki,  buni  qo’llaganda 
)
(x


  ning  qiymati  har  qanday  bo’lganda  ham 
iterasiya  jarayoni  yaqinlashadi.  Mabodo   
1
|
)
(
|

 x

  tengsizlik  bajarilsa,  u  iterasiya  jarayoniga 
nisbatan Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi. 
Vegsteyn usuli 
)
(x
х


                                                (17) 

 
45
formuladan topilgan 
1

n
х
 ni  
1
1
)
1
(





n
n
n
x
q
qz
z
                                          (18) 
formula  yordamida 
1

n
z
  bilan  almashtirishdan  iborat  bo’lib,  bunda 
q
  -  kerakli  ravishda  tanlab 
olingan miqdordir. 
q
 ning qiymatini aniqlash uchun 10-chizmadan foydalanamiz. 
Faraz qilaylik, 
1

n
х
 (10) formula yordamida 
n
z  orqali topilgan bo’lsin, ya’ni 
)
(
1
n
n
z
x



. U vaqtda 
А
 va 
B
 nuqtalarning koordinatalari mos ravishda 
))
(
,
(
n
n
z
z

 va 
)
,
(
1
1


n
n
x
x
 bo’ladi. Bunday holda 
1

n
z
  uchun  eng  qulay  qiymat  M  nuqtaning  abssissasidir.  Uni  topish  uchun 
AB
  kesma  ustida 
)
,
(
1
1


n
n
x
z
C
 nuqtani olamiz. Endi (18) ning har ikkala tomoniga 
1
)
1
(




n
n
z
q
qz
 ni qo’shib,  
)
)(
1
(
)
(
1
1
1







n
n
n
n
x
z
q
z
z
q
                                             (19) 
ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni 
BC
q
qАА
)
1
( 

                                                    (20) 
ko’rinishda yozishimiz va  
)
0
)
(
(
),
~
(







n
n
x
x
AC
MC
BC


                                           (21) 
tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz   mumkin, bu yerda 
n
n
n
z
x
х



~
1
. 
 
 
9-chizma 
  
q
  ning  taqribiy  qiymatini  topish  uchun 
)
~
(
n
x

  ni  taqribiy  ravishda  quyidagicha 
almashtiramiz: 
1
1
1
1
)
(
)
(
)
~
(











n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
x
x
z
z
z
z
x



.                                            (22)  
(20)- (22) lardan 
1
1
)
~
(
1











n
n
n
n
n
z
z
x
x
x
AC
BC
q
q

 
ni hosil qilamiz va 
q
 ning taqribiy qiymatini topamiz: 
n
n
n
n
n
n
z
z
x
x
x
x
q








1
1
1
.                                                (23) 
(18) va (23) formulalardan ko’ramizki,  

 
46
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
z
z
x
z
x
x
x
x
z













1
1
1
1
1
1
)
)(
(
.                                            (24) 
Bu formula x
p+1
 o’rnida ishlatiladigan 
1

n
z
 ning qiymatini beradi. Vegsteyn usulini amalda qo’llash 
uchun ildizning nolinchi yaqinlashishi 
0
x  ga bir marta oddiy iterasiyani qo’llash kerak. Bu birinchi 
qadamdan so’ng 
1

n
х
 ni topish uchun esa (10) formulani 
)
(
1
n
n
z
x



 qurilishda qullaymiz. Biz bu 
yerda  bu  jarayonning  oddiy  iterasiya  jarayoniga  nisbatan  tezroq  yaqinlashishini  qat’iy  ravishda 
asoslab o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz.