Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi. 
2.  Hisoblash matematikasi vazifasi. 
3.  Hisoblash matematikasi metodi (usuli). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
35
 2-Ma’ruza 
CHZIQLIMAS VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI 
 
Reja: 
1.  Umumiy mulohazalar. 
2.  Algebraik tenglamalarning  haqiqiy ildizlarini ajratish. 
3.  Dikart teoremasi. 
4.  Shturm teoremasi. 
5.  Oddiy iteratsiya usuli 
6.  Nyuton usuli 
 
Tayanch  iboralar:  ildizlarning  yagonaligi,  grafik  usul,  dastlabki  yaqinlashish,  iterasiya, 
boshlang’ich yaqinlashish, iterasiyaning geometrik ma’nosi, hisoblash xatosi, Nyuton usuli  
 
 
 
Umumiy mulohazalar.  Faraz qilaylik, 
0
)
(

x
f
                                                           (1) 
tenglamani  yechish  talab  qilingan  bo’lsin,  bu  yerda 
)
(x
f
  -  algebraik  yoki  transsendent  funksiya 
bo’lishi  mumkin.  Tenglamalarni  taqribiy  yechish  uchun  qo’llanadigan  ko’p  metodlarda  uning 
ildizlari ajratilgan, ya’ni unday yetarli kichik atrofchalar topilganki, bu atrofchalarda tenglamaning 
bittagina ildii joylashadi deb faraz qilinadi. 
 
Bu  atrofning  biror  nuqtasini  dastlabki  yaqinlashish  sifatida  qabul  qilib,  mazkur  metodlar 
yordamida  izlanayotgan  yechimni  berilgan  aniqlik  bilan  hisoblash  mumkin.  Demak,  (1) 
tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash ikki qismdan iborat: 1) ildizlarni ajratish va 2) dastlabki 
yaqinlashish ma’lum bo’lsa,  ildizlarni berilgan  aniqlik bilan hisoblash. 
 
Masalaning birinchi qismi ikkinchisiga nisbattan ancha murakkabdir. Chunki, umumiy holda 
ildizlarni ajratish uchun effektiv metodlar mavjud emas. Xususan, bir necha  noma’lumli 




n
k
x
x
x
f
n
k
,....,
2
,
1
0
,....,
,
2
1


 
Tenglamalar sistemasi uchun ildizlarni ajratish masalasi katta qiyinchiliklar bilan bog’likdir. 
Matematik analizdan ma’lum bo’lgan quyidagi teoremalar (1) tenglamaning ildizlari yotgan 
oraliqlarni ajratishga yordam qiladi.  
1-teorema.  Agar  uzluksiz  (x)  funksiya  biror  [a,b]  oraliqning  chetki  nuqtalarida  har  xil 
ishorali  qiymatlarni  qabul  qilsa,  u  vaqtda  bu  oraliqda  (1)  tenglamaning  hyech  bo’lmaganda  bitta 
ildizi mavjuddir. Agar, shu bilan birga birinchi tartibli hosila 
)
(x
f 
 mavjud bo’lib, u o’z ishorasini 
shu oraliqda saqlasa, u vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir. 
 
 
 
1- shizma 
 

 
36
 
2-teorema.  (x)  funksiya  [a,  b]  oraliqda  analitik  funksiya  bo’lsin.  Agar  [a,  b]  oraliqning 
chetki nuqtalarida (x) har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda (1) tenglamaning  a  va  b  
nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.  
Agar 
)
(x
f
 funksiya [a, b] oraliqning chetki nuqtalarida  bir xil  ishorali  qiymatlarni qabul 
qilsa, u vaqtda (1) tenglamalarning  ildizlari yo 
]
,
[
b
a
 oraliqda  yotmaydi yoki ularning soni juftdir  
(karraligini  hisobga olgan holda). 
 
Ko’pincha (1) tenglamaning haqiqiy ildizlarini ajratishga grafik  usuli katta yordam beradi.  
Buning  uchun 
)
( x
f
y 
  funksiyaning  grafigini    taqribiy  ravishda  chizib,  bu  grafikning  x
0   o’qi 
bilan kesishgan   nuqtalarining abssissalari  ildizning taqribiy qiymatlari  deb olinadi (1-chizma). 
 
Agar (1) tenglamaning ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo’lmasa, u vaqtda bu usul  bilan 
uning  ildizlari  osongina   ajratiladi. 
 
Agar  
)
(x
f
 ning ko’rinishi murakkab bo’lib, uning grafigini chizish qiyin bo’lsa, u vaqtda  
grafik  usulini    boshqacha  tarzda    qo’llash  kerak,  ya’ni  (1.1)  tenglama  unga  teng  kuchli  bo’lgan 
tenglama  
)
(
)
(
x
x



      
 
                            (2) 
ko’rinishda  yozib  olinadi.    Endi 
)
(x
y


  va 
)
(x
y


  funksiyalarning      grafiklarini  chizsak,  bu 
grafiklarning kesishish nuqtalarining   abssissalari taqribiy ildizlardan iborat bo’ladi.  
 
Misol.  Grafik usuli bilan  
0
1
2
)
1
2
(



x
x
 
tenglamaning  ildizi takribiy  topilsin.  
Yechish.  Bu  tenglamani 
x
x



2
1
2
 ko’rinishda  yozib olamiz. 
x
y

 2
 egri chiziqning  va 
1
2 
 х
y
  tug’ri  chiziqning  grafiklarini  chizib  2-chizmadan  ko’ramizki,  ularning  kesishish 
nuqtasining abssissasi 
7
,
0


 ekan. 
 
 
 
 
2- shizma  
 
 
Agar  
)
( x

  yoki 
)
( x

  chiziqli  funksiya,  masalan 
b
ax
x


)
(

  bo’lsa,  u  vaqtda  (1.2) 
tenglamachining  ildizlarini  ajratish  soddalashadi.  Faqat              a   va  b   koeffisentlari  bilan  farq 
qiladigan bir xil tipdagi bir nechta  tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. 
Chunki  bu  yerda  ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin 
)
(x
y


 funksiya grafigi 
bilan  har  xil 
b
aх
y


  to’g’ri  chiziqlar  kesishish  nuktalarining  abssissalarini  topishdan  iboratdir.  
Bu tipga 
0



b
ax
x
n
 ko’rinishdagi  tenglamalar misol bo’la oladi.  

 
37
Masalan, 
0
2
,
1
2
3


 x
x
  va 
0
1
,
0
2
,
1
3



x
x
  tenglamalar  ildizlari-ning    takribiy 
kiymatlari  topilsin. Buni yechish uchun 
3
x
y 
 
kubik  parabolani chizamiz. So’ngra  
2
,
1
2 


x
y
  
va 
1
,
0
2
,
1


x
y
  to’g’ri    chiziqlarning  parabola  bilan  kesishish  nuqtalarining  abssissalarini  topa-
miz. 
 
3-chizmada ko’rinib turibdiki,  birinchi tenglama  fakat bitta 
6
,
0


 xakikiy  ildizga  ega 
bulib,  ikkinchi tenglama esa  uchta  
1
,
1



, 
1
,
0


, 
1


    xakikiy ildizlarga  egadir. Agar  
 
0

z
f
   tenglamaning  kompleks  ildizlarini   topish kerak bulsa,  
y
i
x
z


   deb olib,  bu 
tenglamani 




0
,
,
2
1


y
x
f
i
y
x
f
 
kurinishda  yozib    olamiz,  bu  yerda   


y
x
f
,
1
  va 


y
x
f
,
2
    xakikiy    x  va  u      uzgaruvchilarning  
xakikiy funksiyalari.   Bu tenglama esa kuyidagi ikkita tenglamalar 




0
,
,
0
,
2
1


y
x
f
y
x
f
 
sistemasiga  teng  kuchlidir.  Endi 




0
,
,
0
,
2
1


y
x
f
y
x
f
  egri  chiziklarni    chizib,  ularning 
kesishgan    nuktalarini  topamiz.    Kesishish  nuktalarining    abssissasi  va  ordinatalari 
 
0

z
f
 
tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va  mavhum  qismlarini beradi. 
  
 
 
 
3- shizma 
 
 
Algebraik tenglamalarning  haqiqiy ildizlarini ajratish. 
 
Algebraik 
 
 
0
......
1
1
1
0








n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
x
f
  
 
(3)  
tenglamaning    ildizlarini  ajratish  masalasi  yaxshi  o’rganilgan  va  ancha  osondir.  Quyidagi 
teoremalarning  birinchisi  boshqalariga  nisbattan    umumiyroqdir,  chunki  u  kompleks  ildizlarining 
ham chegaralarini beradi. Biz har doim (3) tenglamada koeffisentlar haqiqiy va 
0
,
0
0


n
a
a
 
deb olamiz. 

 
38
1-teorema.    Agar   
n
k
n
k
k
n
k
a
a
A
a
a
A
1
1
1
0
1
max
,
max







 bo’lsa, u holda (3) tenglamaning 
barcha ildizlari 
R
A
x
A
r






1
1
1
1
 halqa ichida yotadi. (4- chizma). 
 
Isbot. Faraz qilaylik, 
1
|
|

x
 bo’lsin.  Modulning xossalariga ko’ra  
.
1
|
|
1
|
|
|
|
1
|
|
1
|
|
|
|
1
...
|
|
1
1
...
1
|
)
(
|
0
0
2
0
0
0
1
0










































x
A
x
x
a
x
A
x
a
x
x
A
x
a
x
a
a
x
a
a
x
a
x
f
n
n
n
n
n
n
n
 
 
Agar  biz  bu  yerda 
A
x

 1
|
|
  deb  olsak,  u  holda 
0
|
)
(
|

x
f
  tengsizlik  kelib  chiqadi. 
Boshqacha  qilib  aytganda,  x  ning  bu  qiymatlarida 
)
(x
f
    ko’phad  nolga  aylanmaydi,  ya’ni  (3) 
tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi. 
 
 
  
4- shizma 
 
Teoremaning  ikkinchi  yarmini   isbotlash uchun  
y
x
1

 deb olib, 
n
y
x
f
1
)
(

  ga ega bo’lamiz,  bu 
yerda 
0
1
1
...
)
(
a
y
a
y
a
y
g
n
n
n
n






. Teoremaning isbot qilingan qismiga ko’ra 
)
( y
g
 ko’phadning 
k
n
x
y
1

 ildizlari (nollari).  
1
1
|
|
1
|
|
A
x
y
k
k



 
Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa  
1
1
1
|
|
A
x
k


 
kelib chikadi.  
E s l a t m a: Bu teoremadagi 
r
 va 
R
 sonlar (3) tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori 
chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash 
R

  va 
r

  sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va 
yuqori  chegarasi  bo’ladi.  Ildizlarning  chegaralari  uchun  bu  teoremadagi  baho  ancha  qo’poldir. 
Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.  

 
39
2-teorema.  (Lagranj  teoremasi).  Agar  (3)  tenglamaning  manfiy  koeffisentlaridan eng 
birinchisi  (chapdan  o’ng  tomon  hisoblaganda) 
R

  bo’lib, 

  manfiy  koeffisentlarning  absolyut 
qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi 
h
B
R
0
1



                                     (4) 
son bilan ifodalanadi. 
 
Isbot.  Bu  yerda  ham 
1

х
  deb  olamiz.  Agar 
)
(x
f
  ko’phadda  manfiy  bo’lmagan    barcha 
1
2
1
,...,
,

k



  koefisentlarini  esa    - 
B
  manfiy  son  bilan  almashtirsak,    ko’phadning  qiymati  faqat 
kamayishi mumkin, shuning uchun ham  


1
1
1
...
)
(
1
0
1
0














x
x
B
x
a
x
x
B
x
a
x
f
k
n
n
k
n
k
n
n
 
tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa  
x 1 bo’lganda  




B
x
a
x
x
B
x
x
a
x
x
x
x
B
x
a
x
f
k
k
n
k
k
n
k
n
n



















)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
)
(
0
1
1
0
1
1
0
 
kelib chiqadi. Demak,    
R
a
B
x
k



0
1
 
bo’lganda 
0
)
(

x
f
  ga  ega  bo’lamiz,  ya’ni  (3)  tenglamaning  barcha 

x
  musbat    ildizlari 
R
x 

 
tengsizlikni qanoatlantirar ekan.  
 
3-teorema.  (Nyuton  teoremasi).  Agar 
0

 c
х
  uchun 
)
(x
f
  ko’phad  va  uning  barcha 
)
(
,
.
.
.
),
(
),
(
)
(
x
f
x
f
x
f
n


  xosilalari  nomanfiy  bo’lsa: 
)
,
.
.
.
,
1
,
0
(
0
)
(
)
(
n
k
c
f
k


,  u  holda 
c
R   
ni (2.3) tenglamaning musbat  ildizlari uchun  yuqori chegara deb hisoblash mumkin. 
 
Isbot. Teylor formulasiga ko’ra  
n
n
c
x
n
c
f
c
x
c
f
c
f
x
f
)
(
!
)
(
.
.
.
)
)(
(
)
(
)
(
)
(







. 
Teorema  shartiga  ko’ra 
c
x    bo’lganda  bu  tenglikning  o’ng  tomoni      musbatdir.  Demak,  (3) 
tenglamalarning barcha 

x
 musbat ildizlari 
R
x 

  tengsizlikni qanoatlantiradi. 
 
Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi: 
0
1
1
3
0
1
1
1
2
2
2
1
1
0
1
)
1
(
.
.
.
1
)
(
)
(
,
.
.
.
1
)
(
,
)
1
(
.
.
.
)
(
)
1
(
)
(
a
x
a
x
a
x
f
x
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
x
f
a
x
a
x
a
x
a
x
f
x
f
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n









































 
ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, 
)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
 musbat ildizlarning yuqori 
chegaralari 
2
1
0
,
,
R
R
R
 va 
3
R  larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda (3) tenglamaning hamma 

x
  musbat  ildizlari 
R
x
R



2
1
  va  xamma 

x
  manfiy  ildizlari  esa 
3
1
1
R
x
R





 
tengsizliklarni  kanoatlantirar ekan. 
 
 Quyidagi  misolda  biz  yuqorida  keltirilgan  metodlarni  qo’llab  ularning  natijalarini 
solishtiramiz.  
 
M i s o l. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin: 
0
8
8
5
)
(
2
4





x
x
x
x
f
                             (5) 

 
40
2-teoremani  qo’llaymiz,  bu  yerda 
8
,
1
0


A
a
.  Demak 
9
8
1



R
,  ya’ni  (5)  tenglamaning 
ildizlari (-9; 9) oralikda yotar ekan. 
 
Endi  Lagranj  teoremasini  qo’llaymiz: 
8
,
2
,
1
0



B
k
a
.  Bu  qiymatlarni  (4)  formulaga 
qo’yib,  musbat ildizlarning  yuqori chegarasi uchun 
84
,
3
2
2
1
1
8
1





R
 
ni hosil qilamiz. Keyin (5)  tenglamada  x  ni 
x
  ga almashtirsak, 
0
8
8
5
)
(
2
4
1





x
x
x
x
f
                           (6) 
tenglama  kelib  chiqadi.  Bu  tenglama    musbat  ildizlarning  yuqori  chegarasi    uchun  ham 
84
,
3

R
 
tengsizlik kelib chiqadi.  Ya’ni Lagranj  teoremasiga ko’ra (5) tenglamaning ildizlari (-3, 84; 3,84) 
oraliqda joylashgan ekan.  
 
Nyuton  metodini  qullaylik.  Bu  yerda 
8
8
5
)
(
2
4




x
x
x
x
f
, 
8
10
4
)
(
3




x
x
x
f
, 
10
12
)
(
2



x
x
f
, 
x
x
f
24
)
(



, 
0
)
(

x
f
IV
 
ko’rinib 
turibdiki 
2

x
 
uchun 
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(






x
f
x
f
x
f
IV
  va 
0
)
(

 x
f
.  Osongina  payqash  mumkinki, 
2

x
,    bo’lsa 
)
(x
f
  ham  faqat  musbat  qiymat  qabul  qiladi,  ya’ni   
2

c
  musbat  ildizlarining  yuqori  chegarasi 
ekan. Xudi shuningdek, 
0
)
(
1

x
f
 tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi 
3

c
 ekanligiga 
ishonch hosil qilamiz. Demak, (5) tenglamaning ildizlari (-3; 2) oraliqda yotar ekan.  
Har  uchula  metod  natijalarini    solishtirsak,  Nyuton  metodi  garchi  ko’proq  mehnat  talab 
qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.  
Endi oliy algebradan  ma’lum bulgan  ikita teoremani  isbotsiz keltiramiz.