Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

2-teorema.  Agar 
)
(x
f
  vektor-funksiya  va  dastlabki  yaqinlashish  vektori 
)
0
(
x
  quyidagi 
shartlarni qanoatlantirsa: 
 1) 
)
0
(
x
 nuqtada 
)
(
)
0
(
x
f
х
 Yakobi  matrisasining determinanti 
))
(
(
)
0
(
x
f
х



 noldan  farqli 
va 
k
i
х
f


 elementning algebraik to’ldiruvchisi 
jk

 bo’lib va 
)
,
1
(
|
|
|
|
1
1
n
k
B
n
j
jk






 
baho o’rinli bo’lsa; 
2) 
;
)
,
1
(
|
)
(
|
)
0
(
1
n
i
x
f



 
3) 
)
0
(
х
 ning  
)
,
1
(
2
|
|
)
0
(
1
n
i
B
x
х
i




 
atrofidagi barcha nuqtalar uchun  








n
k
n
j
n
j
i
n
i
L
x
x
x
f
1
1
2
)
,
1
(
)
(
 
tengsizliklar bajarilsa; 

 
57
 
4) 
L
B
,
,

 miqdorlar  
2
1
2


L
B
h
 
shartni qanoatlantirsa, u holda 
)
0
(
х
 nuqtaning  
)
,
1
(
2
1
1
|
|
)
0
(
n
i
B
h
h
x
x
i
i






 
atrofida  (8)  sistema  yagona 
)
,
...
,
,
(
2
1
n



 
  yechimga  ega  bo’lib,  (11)  bilan  aniqlangan 
)
,
...
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
k
n
k
k
k
x
x
x
x

 Nyuton ketma-ketligi yaqinlashadi va shu bilan birga, yaqinlashish tezligi  


B
h
x
k
k
i
k
i
n
i
1
2
1
)
(
1
)
2
(
2
1
|
|
max






 
tengsizlik bilan baholanadi.  
 
Shunga o’xshash teoremani Nyutonning modifikasiyalangan metodi uchun ta’riflash va isbot 
qilish mumkin.  
 
Shuni  ham  ta’kidlab  o’tish  kerakki,  (9)  sistemada  tenglamalar  soni  ikkita  bo’lganda  bu 
sistemani determinatlar yordamida yechish kerak. Tenglamaning soni ikkitadan ko’p bo’lsa, bunday 
sistemalarni  keyingi  bobda  keltiriladigan  metodlarning  birortasi  bilan  yechish  ma’quldir.  Agar 
bizga ikkita  





0
)
,
(
,
0
)
,
(
y
x
g
y
x
f
 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, u hoda (11) qoida quyidagicha yoziladi: 
.
,
.)
.
.
,
2
,
1
,
0
(
,
1
1
k
k
x
y
y
x
x
x
k
k
k
k
x
y
y
x
y
y
k
k
y
y
x
x
g
f
g
f
f
g
g
f
y
y
k
y
y
x
x
g
f
g
f
g
f
f
g
x
х































 
 
 
 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
1.  Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 
2.  Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 
3.  Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
 

 
58
5-ma’ruza 
MATRISALARNING XOS SON VA XOS VEKTORLARINI HISOBLASH 
 
Reja: 
1.  Xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 
2.  A.N.Krilov metodi. 
3.  A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish. 
 
Tayanch iboralar: Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan 
vektor. 
 
Agap biror noldan farqli  x  vektor uchun 
x
x
A


 
 
 
 
 
(1) 
tenglik bajarilsa, u holda    son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu 
tenglikni  qanoatlantiradigan  har  qanday  noldan  farqli  x   vektor  A  matrisaning     xos  soniga  mos 
keladigan  xos  vektori  deyiladi.  Ko’rinib  turibdiki,  agar 
x
  xos  vektor  bo’lsa,  u  holda 
x
a
  ( a — 
ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi. 
Matrisaning  xos  soni  va  xos  vektori  haqidagi  ma’lumotlar  matematikada  va  uning  boshqa 
sohalardagi  tatbiqlarida  ham  keng  qo’llaniladi.    Bu  yerda  iterasion  prosessning  yaqinlashishi  va 
yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi. 
Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha 
xos  sonlarini  va  ularga  mos  keladigan  xos  vektorlarini  topish  talab  qilinadi.  Bunday  masala  xos 
sonlarning to’liq muammosi deyiladi. 
Ayrim  masalalarda esa,  masalan,  yadro  masalasida, matrisaning  moduli  bo’yicha eng katta 
yoki  eng  kichik  xos  sonini  topish  talab  qilinadi.  Tebranuvchi  jarayonlarda  esa  matrisa  xos 
sonlarining  modullari  bo’yicha  ikkita  eng  kattasini  aniqlashga  zaruriyat  tug’iladi.  Matrisalarning 
bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi. 
Bir jinsli (1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun 
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
det(
)
(
2
1
2
22
21
1
12
11












nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
E
A
D
  
 
(2) 
shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A  matrisaning asriy (bu termin  ayetronomiyadan kirib 
qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (2) tenglamannng chap tomoni 
)
.
.
.
(
)
1
(
)
det(
2
2
1
1
n
n
n
n
n
p
p
p
E
A













 
 
(3) 
n -darajali  ko’phad  bo’lib,  u  A  matrisaning  xarakteristik  ko’phadi  deyiladi.  Ayrim  hollarda  (3) 
ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi 
n
n
n
n
p
p
p
p







.
.
.
)
(
2
2
1
1




 
 
 
(4) 
ko’phad  bilan  ish  ko’riladi.  Matrisaning  xos  sonlari  uning  xos  ko’phadining  ildizlari  bo’ladi.  (4) 
ko’phad  n -  darajali  bo’lganligi  uchun  u  n   ta  ildizga  ega.  A  matrisaning 
i
   xos  soniga  mos 
keladigan xos vektorlarini topish uchun 
0
)
(


x
E
A
i

 
 
 
 
 
(5) 
bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va 
xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) 
)
(

P
 ni qurish, 2) 
0
)
(


P
 tenglamani 
yechib, barcha 
)
,
1
(
n
i
i


 xos sonlarni topish, 3) barcha 
i
  larga mos kelgan xos vektorlarni (5) 
dan  topish.  Bu  bosqichlarning  har  biri  yetarlicha  murakkab  hisoblash  masalalaridan  iboratdir. 

 
59
Haqiqatan  ham,     (2)  determinantning  har  bir  satri  va  har  bir  ustunida  qatnashganligi  uchun, 
bunday determinantni    ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil qilish 
katta qiyinchilnk tug’diradi. Algebradan ma’lumki, umumiy holda, 
)
(

P
 ning koeffisiyentlarini A 
matrisaning 
1
)
1
(


i
 ishora bilan olingan 
i
- tartibli bosh minoralari 
i
p  ning yig’indisiga teng: 











l
k
j
ll
lk
lj
kl
kk
kj
jl
jk
jj
k
j
kk
kj
jk
jj
n
j
jj
a
a
a
a
a
a
a
a
a
p
a
a
a
a
p
a
p
3
2
1
1
,
,
  
 
(6) 
va hokazo. Demak,  
A
p
n
n
det
)
1
(
1



. 
 
 
 
 
(7) 
Yaqqol  ko’rish  mumkinki,  A  matrisaning 
i
-tartibli  diagonal  minoralarining  soni 
i
n
C
  ga  teng. 
Demak,  n -tartibli matrisani xos ko’phadi 
)
(

P
 ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun 
1
2
.
.
.
2
1





n
n
n
n
n
C
C
C
 
ta  har  xil  tartibli  determinantlarni  hisoblash  kerak.  Yetarlicha  katta  n   uchun  bu  masela  katta 
xisoblashlarni talab qiladi. 
Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin: 
.
)
1
(
.
.
.
,
.
.
.
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
p
p














 
Bu tengliklarni (6) tengliklarning birinchisi va (7) tekglik bilan solishtirsak, 
A
A
tr
a
a
a
n
nn
n
det
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
2
1
22
11
2
1
















 
kelib chiqadi. 
Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izi tr ga (inglizcha trace 
—  iz  so’zidan) teng  bo’lib, ularning ko’paytmasi shu  matrisaning determinantiga teng. Bu  yerdan 
xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng 
bo’lishi uchun 
0
det

A
 bo’lishi zarur va kifoyadir. 
Xos  son  va  xos  vektorlarni  topish  metodlari  ikki  gruppaga  bo’linadi:  aniq  yoki  to’g’ri 
metodlar  va  iterasion  metodlar.  Biriichi  gruppaga  kiradigan  metodlar  bo’yicha  matrisaning  xos 
ko’phadi  topiladi  (ya’ni 
n
p
p
p
,
.
.
.
,
,
2
1
  koeffisiyentlar  hisoblanadn),  keyin  uning  ildizlarini  topib 
xos  sonlarni  hosil  qilinadi  va  nihoyat,  xos  sonlardan  foydalanib  xos  vektorlar  quriladi.  Bu 
metodlarning  aniq  metodlar  deyilishiga  sabab  shundan  iboratki,  agar  matrisa  elementlari  aniq 
berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining 
qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar 
bilan  ifodalanadi.  Aniq  metodlar,  odatda,  xos  sonlarning  to’liq  muammosini  yechish  uchun 
qo’llaniladi. 
Iterasion  metodlarda  xarakteristik  sonlar  xarakteris-tik  ko’phad  koeffisiyentlarini 
aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori 
darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash 
bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu 
metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi. 
A.N.Krilov metodi. 
 
Akademik  A.N.Krilov  1931  yilda  xos  sonlar  muammosini  yechishning  qulay  metodini 
yaratadi.  U  o’z  metodining  g’oyasini  tushuntirish  uchun  berilgan  matrisa  bilan  bog’liq  bo’lgan 
oddiy  differensial  tenglamalar  sistemasini  kiritadi  va  uning  ustida  almashtirish  olib  boradi.  Bu 
almashtirishning  algebraik  mohiyatini  aniqlash  bilan  N.N.Luzin,  I.N.Xladovskiy,  F.R.Gantmaxer, 
D.K.Faddevlar  shug’ullanishgan.Biz  bu  yerda  A.N.Krilov  metodining  manna  shu  algebraik 
interpretasiyasini ko’rib chiqamiz. 

 
60
 
Matrisalarning  minimal  ko’phadlari.  Avval  chiziqli  algebradan  ayrim  ta’rif  va 
teoremalarni keltiramiz. Agar 
A
 kvadrat matrisa uchun 
0
.
.
.
)
(
1
1
1
0








E
a
A
a
A
a
A
a
A
f
m
m
m
m
 
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda 
n
m
m
a
a
a
f





.
.
.
)
(
1
1
0



 
ko’phad 
A
  matrisa  uchun  nolga  aylantiruvchi  ko’phad  deyiladi.  Faqat  keltirilgan,  ya’ni  bosh 
koeffisiyenti  birga  teng  bo’lgan  ko’phadlarni  qaraymiz.  Bunday  ko’phadlarning  to’plami  bo’sh 
emas,  Gamilton-Keli  teoremasiga  ko’ra 
A
  matrisaning  xos  ko’phadi 
)
(

P
  uning  nolga 
aylantiruvchi  ko’phadlaridir: 
0
)
(

A
P
.  Demak,  n -tartibli  ixtiyoriy  kvadrat  matrisa  uchun  n -
darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar 
)
(

P
 ga 
bo’linadigan  har  qanday  boshqa  ko’phad  ham  nolga  aylantiruvchi  ko’phad  bo’ladi. 
A
  matrisani 
nolga  aylantiruvchi  ko’phadlar  orasida  eng  kichik  darajaga  ega  bo’lgan  yagona 
)
(


  ko’phad 
mavjud.  Bu  ko’phad 
A
  matrisaning  minimal  ko’phadi  deyiladi.  Har  qanday  nolga  aylantiruvchi 
ko’phad,  shu  jumladan 
A
  matrisaning  xos  ko’phadi 
)
(

P
  ham  minimal  ko’phadga  bo’linadi. 
Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.  
 
Yana  quyidagi  tushunchani  kiritamiz.  Faraz  qilaylik, 
c
  biror  vektor  bo’lsin.  Ma’lumki,  n  
o’lchovli fazoda  n  tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun 
c
A
c
A
c
A
c
n
,
.
.
.
,
,
,
2
 
 
 
 
(8)  
vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy 
c
 vektor uchun ham 
0
)
(

c
A

 
 
 
 
 
(9) 
chiziqli  bog’lanish  mavjud.  Demak, 
A
  matrisaning 
)
(


  minimal  ko’phadining  darajasi  n   dan 
kichik  bo’lsa,  (8)  sistemada  chiziqli  erkli  vektorlarning  soni  n   dan  kichikdir.  Berilgan 
c
  vektor 
uchun 
0
)
(

c
A

 
 
 
 
 
(10) 
tenglikni  qanoatlantiradigan 
)
(


  ko’phadlar  orasida  bosh  koeffisiyenti  birga  teng  bo’lgan  eng 
kichik darajali yagona 
)
(

 c
 ko’phad mavjudki, uning uchun 
0
)
(

c
c


 
tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad 
c
 vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (10) tenglikni 
qanoatlantiruvchi 
)
(


  ko’phadning  bo’luvchisi  bo’ladi.  Xususiy  holda,  ixtiyoriy 
c
  vektorning 
minimal  ko’phadi 
)
(


c
 
A
  matrisa  minimal  ko’phadi 
)
(


  ning  bo’luvchisi  bo’ladi.  Agar  (8) 
sistemada 
c
A
c
A
c
A
c
m 1
2
,
.
.
.
,
,
,

 vektorlar chiziqli erkli bo’lib, 
c
А
m
 ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,  
c
A
q
c
A
q
c
q
c
А
m
m
m
m
1
1
1
.
.
.






, 
u holda  
0
.
.
.
1
2
2
1
1









m
m
m
m
m
q
q
q
q




 
ko’phad 
A
 matrisaning minimal ko’phadi 
)
(


 ga yoki uning bo’luvchisi 
)
(


с
 ga teng. 
 
Minimal  ko’phadni  topish.  Endi  A.N.Krilov  metodini  ko’rib  chiqamiz.  Ixtiyoriy  noldan 
farqli 
)
,
.
.
.
,
,
(
0
02
01
)
0
(


n
c
c
c
c
 vektorni olib, 
)
,
1
(
)
,
.
.
.
,
,
(
2
1
)
1
(
)
(
n
i
c
c
c
c
A
c
in
i
i
i
i





  
 
 
(11) 
vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida 
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
n
n
n
n
c
c
q
c
q
c
q






 
 
 
(12) 
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, 
n
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1
 larni topish 

 
61
uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: 

























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
0
,
2
2
,
1
1
2
02
2
,
2
2
2
,
1
1
1
01
1
,
2
2
1
,
1
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
 
 
 
(13) 
Bu sistemaning determinanti 
n
n
n
n
c
c
c
c
0
,
1
01
1
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.




 
faqat 
)
0
(
)
2
(
)
1
(
,
.
.
.
,
,
c
c
c
n
n


  vektorlar  chiziqli  erkli  bo’lgandagina  noldan  farqlidir,  chunki  bu 
determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan. 
Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha  n  qadam bajarilib, (13) sistema quyidagi 

















n
n
n
n
n
n
d
q
d
q
b
q
b
q
d
q
b
q
b
q
b
q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
23
2
1
1
3
13
2
12
1
 
 
 
(14) 
uchburchak shaklga keltirilsa, u holda 
0


 bo’lib, 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

n
c
c
c
 vektorlar chiziqli erklidir. 
U vaqtda (14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari 
1
1
,
.
.
.
,
,
q
q
q
n
n

 ni topa 
olamiz. 
Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat  m  ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi 
m  ta 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
 torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli 
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q






 
chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz: 

























.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
0
,
2
2
,
1
1
2
02
2
,
2
2
2
,
1
1
1
01
1
,
2
2
1
,
1
1
mn
n
m
n
m
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
c
c
q
c
q
c
q
 
 
 
 (15) 
Bu  sistemadan  Gauss  metodi  yordamida  m   ta  chiziqli  erkli  tenglamalarni  ajratib  olib, 
1
1
,
.
.
.
,
,
q
q
q
m
m

 kogffisiyentlarki topamiz. 
Shunday  qilib,  biz 
n
m    bo’lganda  A  matrisaning  xos  ko’phadini  va 
n
m    bo’lganda 
uning  bo’luvchisini  topishimiz  mumkin.  Avval 
n
m    bo’lgan  holni  ko’raylik.  Bu  xolda  (12) 
chiziqli kombinasiyaning 
n
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1
 koeffisiyentlari 
n
n
n
p
p
P





.
.
.
)
(
1
1



 
xos ko’phadning mos ravishda 
n
p
p
p
,
.
.
.
,
,
2
1
 koeffisiyentlariga teng: 
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
n
i
p
q
i
i


. 
Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra 
0
.
.
.
)
(
1
1






E
p
A
p
A
A
P
n
n
n
. 
Bu tenglikni 
)
0
(
c
 vektorga ko’paytirib va 
)
,
...
,
2
,
1
(
)
(
)
0
(
n
i
c
c
A
i
i


 

 
62
larni hisobga olib, 
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
n
n
n
n
c
c
p
c
p
c
p






 
ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (12) dan ayirib, 
0
)
(
.
.
.
)
(
)
(
)
0
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1









c
p
q
c
p
q
c
p
q
n
n
n
n
   
(16) 
ni hosil qilamiz. 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

n
c
c
c
  vektorlar  chiziqli  erkli  bo’lganligi  uchun  (16)  tenglik  faqat 
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
n
i
q
p
i
i


 bo’lgandagina bajariladi. 
Demak, 
n
m    bo’lganda  qurilgan  chiziqli  kombinasiyaning  ko’rinishiga  qarab,  A 
matrisaning 
)
(

P
 xos ko’phadini yozish mumkin. 
0
)
(


P
 tenglamani yechib matrisaning barcha 
xos sonlarini topamiz. Agar 
n
m   bo’lsa, qurilgan chiziqli kombinasiya 
)
(
)
0
(
)
2
(
2
)
1
(
1
.
.
.
m
m
m
m
c
c
q
c
q
c
q






 
 
 
(17) 
ko’rinishga ega bo’dadi. Endi 
)
,
.
.
.
,
2
,
1
(
)
0
(
)
(
m
i
c
A
c
i
l


 larni hisobga olib (10) tenglikni  
0
)
.
.
.
(
)
0
(
2
2
1
1







c
E
q
A
q
A
q
A
m
m
m
m
 
yoki 
0
)
(
)
0
(
)
0
(

c
A
c

 
ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda 
m
m
m
m
c
q
q
q







.
.
.
)
(
2
2
1
1
)
0
(





. 
Demak,  izlanayotgan  kombinasiyaning  koeffisiyentlari 
m
q
q
q
,
.
.
.
,
,
2
1
 
)
0
(
c
  vektorning  minimal 
ko’phadi 
)
(
)
0
(


c
  ning koeffisiyentlaridir. Bunday  ko’phad 
)
1
(
)
1
(
)
0
(
,
.
.
.
,
,

m
c
c
c
  vektorlar chiziqli 
erk-li bo’lganligi uchun yagonadir. 
Shunday  qilib, 
n
m    bo’lganda  biz 
)
(

P
  ning 
)
(
)
0
(


с
  bo’luvchisini  topamiz  va 
0
)
(
)
0
(



с
 tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki 
)
0
(
с
 vektorni 
boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor 
oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi bo’lmasligi kerak.