Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari


Download 5.01 Kb.

bet13/45
Sana12.02.2017
Hajmi5.01 Kb.
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   45

1. Chegaraviy masalalarni echish usullari 
 
 
ODT uchun ChMni echishda samarali taqribiy va sonli usullar ishlab chiqilgan. Taqribiy 
usullarga kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar usullari, bundan tashqari samarali va 
universal bo`lgan Galyorkin usuli kiradi.  
 
ODT  uchun  chegaraviy  masalalarni  sonli  echish  usullari  ayirmali  echimni  tuzishga 
asoslangan. Ayirmali usullar o`zining qulayligi va o`ta universalligi sababli keng qo`llaniladi.  
 
2. Tafovutni minimallashtirish usullari  
 
 
ChM quyidagidan iborat. Quyidagi  differentsial tenglamaning 
 
 
 
b
x
a
,
x
f
u
x
q
u
x
p
u
Lu








   
 
     (1) 
ikkita chegaraviy shartlarni  
 
 
 
 
,
,
1
1
1
1
0
0
0
0














b
u
b
u
u
l
a
u
a
u
u
l
  
   
            (2) 
qanoatlantiruvchi  echimini  topish  talab  etiladi,  bu  erda  p(x),  q(x),  f(x) 
C[a,b]  –  berilgan 
funktsiyalar, 
j
j
j



,
,
 - berilgan sonlar, ya`ni 
.
1
,
0
,
0
2
2



j
j
j


 
Agar  (2)  shartlarda 
0
,
1


j
j


  bo`lsa,  u  holda  bu  chegaraviy  shartlar  birinchi  tur 
bo`ladi.  Agar 
1
,
0


j
j


  bo`lsa,  ikkinchi  tur  chegaraviy  shart  deyiladi.  Umumiy  holda  
0
,
0


j
j


 bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi. 
(1),  (2)  masalani  echishga  quyidagicha  kirishamiz.  Berilgan  [a,  b]  kesmada  ikki  marta 
uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya`ni, S
(2)
[a, b] fazodagi funktsiyalar) chiziqli boғliq bo`lmagan  

0


 
79

1
..., 

n
,  ...,  funktsiyalar  sistemasini  tanlaymiz.  Bunda, 

0
  funktsiya  (2)  chegaraviy  shartlarni 
qanoatlantiradi,  ya`ni  l
0

0
=

0
,  l
1

0
=

1
,  qolgan  funktsiyalar  esa  birjinsli  chegaraviy  shartlarni 
qanoatlantiradi, ya`ni   
l
0

i
=0,  l
1

i
=0,  i=1,2, ... . 
Berilgan {

i
} funktsiyalar sistemasini b a z i s   f u n k t s i y a l a r   s i s t e m a s i  deb ataymiz.  
Bu funktsiyalar sistemasidan  
 
 
 
 
x
a
x
a
x
x
y
n
n
n







...
1
1
0
 
 
 
(3) 
funktsiyani tuzamiz. Bunda  a
i

n
i
,
1

 lar hozircha noma`lum sonlar.  
l
j
,    j=0,1  operatorlar  chiziqli  bo`lganligi  uchun  y
n
(x)  funktsiya  (2)  chegaraviy  shartni 
qanoatlantiradi. Haqiqatdan,   
.
1
,
0
,
0
1
0
1
0


















j
l
a
l
a
l
y
l
j
j
n
i
i
j
i
j
n
i
i
i
j
n
j






 
Quyidagi 


 
 
 
 
 







n
k
k
k
n
n
x
L
a
x
f
x
L
x
f
x
Ly
a
a
a
x
1
0
2
1
,
,
,
,




  
(4) 
funktsiya t a f o v u t  deyiladi.  
Tafovut - (1) tenglamaning chap tomonidagi u(x) ning o`rniga y
n
(x) funktsiyani qo`yganda, 
tenglamaning  chap  va  o`ng  tomonlarining  farqini  xarakterlovchi  funktsiyadir.  (4)  tafovut  a
i
  
sonlarga chiziqli boғliqdir. Agar a
i
  sonlarning ayrim qiymatlarida 


n
a
a
a
x
,
,
,
,
2
1


 munosabat 
nolga teng bo`lsa, y
n
(x) funktsiya (1), (2) masalaning echimi bilan mos tushadi.  
Lekin  tafovutni  nolga  teng  qilishga  hamma  vaqt erishib  bo`lavermaydi.  SHuning  uchun a
i
 
sonlarni  ma`lum  usul  bilan  tanlab,  tafovutni  iloji  boricha  kichraytirishga  harakat  qilinadi.  Buning 
natijasida  (3)  munosabat  bilan  aniqlangan  y
n
(x)  funktsiya  (1),  (2)  masalaning  taqribiy  echimi 
sifatida qabul qilinadi. 
Taqribiy  usullarning  ko`pchiligi  a
i
  sonlarni  aniqlash  yo`li  bilan  bir-biridan  farq  qiladi. 
Quyida shulardan ayrimlarini qarab o`tamiz.  
 
 
3. Kollokatsiya usuli 
 
Usulning  nomlanishi  «collocation»  ingliz  so`zidan  olingan  bo`lib,  o`zaro  joylashuv, 
taqsimlanish ma`nosini anglatadi. 
Bu usulga ko`ra [a, b] kesmaning ichida   ta  x
1
, x
2
, ..., x
n
 nuqta olinib, ularda tafovut nolga 
tenglashtiriladi:    






.
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
....
..........
..........
..........
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
a
...,
,
a
,
a
,
x
ψ
n
n
n
n
0
0
0
2
1
2
1
2
2
1
1



 
 
 
   
         (5) 
Olingan  x
1
,  x
2
,  ...,  x
n
  nuqtalarga  kollokatsiya  nuqtalari  deyiladi.  Olingan  (5)  chiziqli 
algebraik tenglamalar sistemasini (CHATS) a
i
 larga nisbatan  

 
80
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
...
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
0
2
2
1
1
2
0
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
1
1
1
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a
x
L
x
f
x
L
a
x
L
a
x
L
a



























      (6) 
shaklda yozamiz. 
Uni echib, a
i

n
i
,
1

 larni (3) ga qo`yib, (1), (2) masalaning taqribiy  y
n
(x) echim topiladi.  
 
4. Integral eng kichik kvadratlar usuli 
 
Bu usulda tafovut kvadratidan tuzilgan  





b
a
n
dx
a
,...,
a
,
a
,
x
Ι
2
1
2
 
integralning minimal qiymati izlanadi. 
Ekstremumning zaruriy shartiga asosan integral minimal qiymatga ega bo`lishi uchun   








b
a
i
i
.
,n
i
,
dx
a
ψ
ψ
a
Ι
1
0
2
1
   
 
 
(7) 
bo`lishi kerak. 
(7)  shartlar  (4)  ga  asosan    a
i
, 
n
,
i
1

  larga  nisbatan  chiziqli  algebraik  tenglamalar 
sistemasiga keladi  





 






 






 

,
L
,
L
f
L
,
L
a
...
,L
L
a
,L
L
a
.
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
L
,
L
f
L
,
L
a
...
,L
L
a
,L
L
a
L
,
L
f
L
,
L
a
...
,L
L
a
,L
L
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
























0
2
2
1
1
2
0
2
2
2
2
2
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1















              (8) 
bunda 


   


b
a
dx
x
g
x
f
g
,
  - skalyar ko`paytma.        
 
Agar  L

1
,  ...,  L

n
    funktsiyalar  sistemasi    [a,b]  kesmada  chiziqli  erkli  bo`lsa,  u  holda  (8) 
sistema yagona yechimga ega bo`ladi. 
 
5. Diskret eng kichik kvadratlar usuli 
 
Bu erda  integralning minimumi o`rnida  





Ν
i
n
i
,...a
a
,
a
,
x
ψ
Ι
1
2
1
2
 
yiғindining minimal qiymati izlanadi. Bunda x
i
(a,b) – ixtiyoriy nuqtalar, N
n.    
Bu  usulda  ham  a
i
  larga  nisbatan  (8)  sistemani  hosil  qilamiz.  Faqat  skalyar  ko`paytma  bu 
holda  

 
81


   



N
i
i
i
x
g
x
f
g
,
f
1
 
ko`rinishida topiladi. 
Agar N=n bo`lsa, u holda bu usul kollokatsiya usuliga keladi. 
 
6. Sohachalar usuli 
 
a=x
0

1
<...
n
=b  bo`lsin.  y
n
(x)  taqribiy  echim  koeffitsientlari  quyidagi  tenglamalar 
sistemasidan topiladi  


.
,
1
,
0
,...,
,
,
1
2
1
n
i
dx
a
a
a
x
i
i
x
x
n





 
Bunda  yana    a
i

n
,
i
1

  larga  nisbatan  ChATSga  kelamiz.  Bu  usulni  ishlatishda  extiyot 
bo`lish  kerak,  agar    [x
i-1
,  x
i
]  intervallar  uzunligi  kichik  bo`lmasa  hamda   


,
,...,
,
,
2
1
n
a
a
a
x

 
funktsiya x bo`yicha tez o`zgaruvchiligidan, usul yomon natija berishi mumkin. 
 
7. Galyorkin usuli 
Galyorkin  usulining  asosida 

1


2
,...,

n
    bazis  funktsiyalari  (4)  tafovut  funktsiyasiga 
ortogonal qilib tanlanadi, ya`ni  

  
.
n
,
i
,
dx
x
a
,...,
a
,
a
,
x
b
a
i
n
1
0
2
1





 
Bu shartlardan a
i
 noma`lumlarni topish uchun  





 






 






 

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
,
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a
,
,
L
f
,
L
a
...
,
L
a
,
L
a







































0
2
2
1
1
2
0
2
2
2
2
2
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
1
 
 
ChATSga ega bo`lamiz. 
Chegaraviy  masalalarning  yuqorida  qaralgan  taqribiy  echish  usullarining  umumiy  asosi 
mavjud. Umumlashgan usul vaznli tafovutlar usuli deyiladi. 
Faraz  qilaylik 
   egri  chiziq  bilan  chegaralangan  qandaydir     sohada  berilgan    
funktsiyani approksimatsiya qilish talab qilingan  bo`lsin. Dastlab 
  chegarada     funktsiya  bilan 
mos tushuvchi approksimatsiyani topish bilan shuғullanamiz. Agar 
  da    ning qiymati bilan bir 
xil bo`lgan qandaydir 
  funktsiya topilsa, ya`ni 





 hamda 


,...
,
m
,
N
m
2
1

 (barcha 
 
lar uchun 
0


m
N
) chiziqli erkli bazis funktsiyalar sistemasiga keltirilsa, u holda 
  da    uchun 
quyidagi approksimatsiya taklif qilinishi mumkin: 
,
1






M
m
m
m
N
a



 
 
 
 
 
(9) 
bu erda 
m
 (
M
m
,...,
2
,
1

) – qandaydir parametrlar. Bazis funktsiyalar ba`zan forma funktsiyalari 
yoki namuna funktsiyalari deyiladi. 

 
82
 


m
N
  sistema  shunday  xossaga  ega  bo`lishi  kerakki, 





  shartni  qanoatlantiruvchi 


M
  da 



M
m
m
m
N
a
1

  kombinatsiya  ixtiyoriy 
   funktsiyani  etarlicha  aniqlikda  ifodalashi 
lozim. Bu to`lalik sharti deb ataladi. 
 
Approksimatsiyada 






R
  qoida  bo`yicha  aniqlanadigan 

R
  xatolik  yoki  tafovut 
tushunchasini kiritamiz. 
 

R
  - 

  ning  nuqtalari  koordinatalaridan  boғliq  funktsiya. 

  sohada  bu  tafovutni 
kamaytirish  uchun,  turli  vaznlar  bilan  olingan  xatolik  integrallarini  nolga  tenglashishini  talab 
qilamiz, ya`ni 
M
l
d
R
W
d
W
l
l
,
1
,
0
)
(














,   
 
 
(10) 
bunda  


,...
3
,
2
,
1
, 
l
W
l
 - chiziqli erkli vaznli funktsiyalar to`plami. 
(9)  ni  (10)  ga  qo`ysak  vaznli  tafovutlar  usuli  tenglamalari  sistemasi 
m
  ga  nisbatan 
ChATSga keladi. Uni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin 
,
f
Ka 
 
bu erda  
 
)
,...,
,
(
2
1
m
T
a
a
a

,   
,
,
1
,
M
m
l
d
N
W
k
m
l
lm






 
.
,
1
,
)
(
M
l
d
W
f
l
l








 
 
Amaliyotda turli 
 
l
 vaznli  funktsiyalar sistemasi  ishlatilishi  mumkin. Bunda turli  vaznli 
tafovutlar vositasida olinadigan approksimatsiya usullariga ega bo`lamiz. 
 
1.  Nuqtali kollokatsiya 
 
Bu erda  
,
)
(
l
l
x
x
W



bunda 
  - del’ta  - Dirak funktsiyasi. U holda 


.
,
l
l
x
x
l
x
x
m
lm
f
N
k







 
 
2.  Sohachalar bo`yicha kollokatsiya 
 
Bunda  










.
,
,
0
,
,
1
1
1
l
l
l
l
l
x
x
x
x
x
x
x
W
 
U holda 
.
)
(
,
1
1







l
l
l
l
x
x
l
x
x
m
lm
dx
f
dx
N
k


 

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   45


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling