Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Ayirmali sxemalar turg`unligi 
 
 
Misollar.  Tenglamalarning  o`ng  tomonlarini,  chegaraviy  va  boshlang`ich  ma`lumotlarni 
chekli approksimatsiya qilishda biz bundan keyin bir atama bilan – muayyan xatolik bilan berilgan 
boshlang`ich qiymatlar deb ataymiz. Algebraik tenglamalar sistemasini sonli echish jarayonida ham 
xatolik  ro`y  beradi.  Boshlang`ich  ma`lumotlardan  bog`liq  kichik  xatoliklar  hisoblash  jarayonida 
oshmasligi va izlanayotgan echimni olishni buzmasligi sxemadan talab qilinadi.  
Agarda  boshlang`ich  xatoliklar  hisoblash  jarayonida  oshib  ketsa  sxemalarga  turg`unmas 
sxemalar deyiladi va amalda ulardan foydalanib bo`lmaydi. 
  
Misollar keltiramiz. 
 
1 misol. Turg`un sxema. 
 
 
 
0
,
0
,
0
,
0








u
u
x
u
u
 
 
 
 
(5) 
bo`lsin. 
 
Masalaning aniq echimi quyidagicha 
 
x
e
u
x
u



0
. 
Bu echim uchun 
0


 da 
 
0
u
x
u

 va haqiqatdan, 
 
x
u
 
0
u  dan uzuluksiz bog`liq. 
 
(5) masalani 


,...
1
,
0
,



i
ih
x
i
h

 tekis to`rda ayirmali masala approksimatsiyalaydi  


,...
2
,
1
,
,
0
0
0
1






i
u
y
y
h
y
y
i
i
i

 
yoki  
0
0
1
,
1
1
,
u
y
h
s
sy
y
i
i






. 
 
Bundan  
0
y
s
y
i
i

 
kelib chiqadi. 
 
x   fiksirlangan  nuqtani  qaraymiz  va 
h
  qadamlar  ketma-ketligini  shunday  tanlaymizki,  x  
hamma  vaqt 
h
i
x
0

  tugun  nuqta  bo`lsin.  U  holda 
0

h
  da  to`rni  kichiklashtirganda  tanlangan 
nuqta  x  ga mos keluvchi 
0
i  nomer cheksiz o`sadi. SHu nuqtada 
y
 ning qiymatini hisoblaymiz 

 
97
 
0
0
0
y
s
y
x
y
i
i


. 
0


 va ixtiyoriy 
h
 da   
1

s
 bo`lganidan, ixtiyoriy 
h
 da 
 
 
0
0
0
y
y
s
x
y
i


 bo`ladi.  
 
Oxirgi  tengsizlikdan  ko`rinib  turibdiki,  (5)  ayirmali  masala  echimi  boshlang`ich 
qiymatlardan uzluksiz bog`liq. 
 
2 misol. Turg`unmas sxema. (5) masala uchun quyidagi sxemani qaraymiz 
 


,...,
2
,
1
,
,
,
0
1
0
1
0
0
1
1











i
u
y
u
y
y
h
y
y
h
y
y
i
i
i
i
i



 
 
 
 
 (6) 
bu erda 
1


 - sonli parametr. 
 
Sxema uch nuqtali bo`lganligi uchun, 
0
y  dan tashqari  
1
y  ning ham berilishi talab qilinadi. 
Agar 


0
0
1
u
h
u



  deb  olinsa,  u  holda 
 
 
2
0
h
O
h
u
u


  bo`ladi.  (5)  masalaning  ayirmali 
echimini 
i
i
s
y 
 ko`rinishda izlaymiz. U holda (6) dan  
 




0
1
2
1
2










s
h
s
, 
kelib chiqadi. Bu tenglamaning 2 ta turli echimlari mavjud  










.
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
2
2
2
2
,
1































h
h
h
h
h
s
 
 
(5) ning umumiy echimi quyidagi ko`rinishda  
 
i
i
i
Bs
As
y
2
1


. 
 
 
 
 
(7) 
 
1
,
0


i
i
  larni  qo`yib  va 
0
1
0
0
,
u
y
u
y


  larni  hisobga  olib 
A
  va 
B
  o`zgarmaslarni 
topamiz  
2
1
0
0
1
2
1
0
2
0
,
s
s
u
u
s
B
s
s
u
s
u
A






. 
 
0
1 




 dan,   
1
2
1

s
s
  bo`ladi.  Ixtiyoriy 
h
   da 
1
2

s
  bo`lishini  ko`rsatamiz.  O`z 
navbatida 
1


 da 










.
h
h
h
h
h
h
0
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2


























 
Ixtiyoriy 
h
  ning qiymatida 
1
1

s
 bo`lishidan, 
1
2
1

s
s
 kelib chiqadi. 
 
Agar 
0

A
  bo`lganda 
i
i
i
Bs
As
y
2
1


  formuladan 


i
  da 


i
y
  bo`ladi. 
0
1
u
y 
  ni 
shunday  tanlash  kerakki, 
0

A
  bo`lsin.  Buning  uchun 
0
2
0
u
s
u 
  deb  olish  kifoya. 
i
s
1
  echim 
atrofidagi xatolikdan hisoblash jarayonida qochib bo`lmaydi hamda turg`unmas sxemaga keladi. 
 
h
 fiksirlangan nuqtada bu sxemada 
ih
x
i

 oshishi bilan echimning oshishi kelib chiqadi. 
h
 
ning  kamayishi 
h
i
x
i
0

  fiksirlangan  nuqtada  xatolikning  oshishga  olib  keladi,  ya`ni 
h
  ning 
kamayishi bilan 
h
x
i 
0
 oshadi. 
0

h
 da boshlang`ich qiymatlarning kam o`zgarishi ixtiyoriy  x  
fiksirlangan nuqtada masala echimining cheksiz o`sshiga olib keladi. 

 
98
 
Ayirmali masala korrektligi 
 
h
y   biror  ayirmali  masalaning  echimi,   
h
   esa  boshlang`ich  qiymatlari  bo`lsin.  Ular 
h
 
parametrdan  bog`liq. 
h
  ni  o`zgartirib 
 
h

  boshang`ich  qiymatlarga  mos 
 
h
y
  echimlar  ketma-
ketligini  olamiz.  SHunday  qilib,  nafaqat  bir  ayirmali  masalani,  balki 
h
  parametrdan  bog`liq 
masalalar  oilasini  qaraymiz. 
0

h
  da  ayirmali  masalalar  oilasi  uchun  korrektlik  tushunchasi 
kiritiladi. 
 
Barcha etarlicha kichik 
0
h
h 
 larda masala korrekt deyiladi, agar: 
1) 
Qandaydir  mumkin  bo`lgan  oiladan  barcha 
h
   boshlang`ich  qiymatlar  uchun  ayirmali  masala 
echimi 
h
y  mavjud va yagona bo`lsa; 
2) 
h
y  echim 
h
  dan uzluksiz bog`liq hamda bu bog`liqlik 
h
 ga nisbatan tekis bo`lsa. 
2-nchi  shart  yanada  aniqroq  shuni  bildiradiki,  etarlicha  kichik 
0
h
h 
  da 
h
  dan  bog`liq 
bo`lmagan 
0

M
 o`zgarmas mavjud bo`lib 
 
 


h
h
h
h
h
h
M
y
y
2
1
~
~

 


 
 
 
 
 
(8) 
tengsizlik bajariladi, bunda 
h
y
~  - 
h
~  boshlang`ich qiymatli masala echimi, 
 
h
1

 va 


h
2

 lar esa 
h
  
to`rda berilgan to`r funktsiya to`plamidagi normalar. 
 
(8)  tengsizlik  bilan  ifodalangan  ayirmali  masala  echimining  boshlang`ich  qiymatlardan 
uzluksiz bog`liqlik xossasiga boshlang`ich qiymat bo`yicha sxema turg`unligi deyiladi. 
 
Turg`unlik, approksimatsiya, yaqinlashish 
G
x 
 da 
 
x
f
Lu 
,  
 
x
lu
Γ
x



да
     
 
 
 
(9) 
uzluksiz  masala  berilgan  bo`lsin  va 
h
h
h





  to`rda  uni  quyidagi  ayirmali  masala 
approksimatsiya qilsin 
h
x


  da 
h
h
h
y
L


,   
h
x


 da 
h
h
h
~
y
l


.  
 
(10) 
 
h
h
h
u
y
z


 xatolik uchun masala (bunda 
h
u  - 
h
  to`rda (9) masala echimining qiymatlari) 
quyidagi ko`rinishda bo`ladi 
 
h
h
h
h
h
h
h
z
l
x
z
L






,
,
, 
h
x


,  
 
 
(11) 
bu erda 
h
h

 ,
- tenglama va qo`shimcha shartlarning approksimatsiya xatoligi. (11) ning o`rninga 
h
h
h
z
L

~
~

 
ni yozamiz. 
 
Agar 
h
L
~
  operator  chiziqli  va  ayirmali  sxema  korrekt  bo`lsa,  (8)  o`rniga  quyidagiga  ega 
bo`lamiz 
 


h
h
h
h
M
z
2
1
~


  yoki  
 


 


h
h
h
h
h
h
M
z
3
2
1




.  
              (12) 
Bu erdan ko`rinib turibdiki, agar sxema turg`un va masalani approksimatsiya qilsa, u holda 
yaqinlashuvchi  bo`ladi  (odatda  “approksimatsiya  va  turg`unlikdan  yaqinlashish  kelib  chiqadi” 
deyiladi), sxemaning aniqlik tartibi uning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi. 

 
99
YUqorida  aytib  o`tilganlardan  shunday  xulosa  chiqadiki  sxema  yaqinlashishi  va  aniqlik 
tartibini  o`rganish  approksimatsiya  xatoligi  va  turg`unligini  o`rganishga  olib  keladi,  ya`ni  aprior 
baholash deb ataluvchi (12) ko`rinishdagi baholash olinadi.  
 
O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 
 
1.  Tekis va notekis to`rlar to`g`ri chiziqda, tekislikda va fazoda qanday quriladi? 
2. 
h
H  da norma qanday aniqlanadi? 
3. 
0
H  va 
h
H  fazolar elementlarini solishtirishning qanday usullarini bilasiz?  
4.  Birinchi tartibli hosilani approksimatsiya qilishning qanday usullarini bilasiz? 
5.  Ikkinchi tartibli hosila qanday approksimatsiyalanadi? 
6.  To`rda approksimatsiya xatoligi qanday aniqlanadi? 
7.  Ayirmali  masalaning  approksimatsiya  aniqligi,  yaqinlashishi,  turg`unligi  hamda  korrektli 
tushunchalari qanday aniqlanadi?  
8.  Approksimatsiya, yaqinlashish va turg`unlik o`rtasida qanday bog`liqlik mavjud? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
100
11-ma`ruza 
 
IKKINCHI TARTIBLI ODT UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI O`Q OTISH VA 
CHEKLI AYIRMALAR USULI BILAN YECHISH. PROGONKA USULINING 
TURG`UNLIGI 
 
Ma`ruza rejasi  
1.  O`q otish usuli; 
2.  Chekli  ayirmalar  usulini  (ChAU)  ikkinchi  tartibli  ODT  uchun  ChMni  yechishga 
qo`llash; 
3.  Ayirmali tenglamalar sistemasini yechish uchun progonka usuli; 
4.  Progonka usuli yaqinlashining yetarli shartlari. 
 
Kalit  so`zlar:  o`q  otish  usuli,  ayirmali  sxemalar,  koeffitsientlari  uchburchak  matritsali 
ayirmali tenglamalar sistemasi, progonki usuli, progonka usuli turg`unligining yetarli shartlari  
 
Chegaraviy  masalalarni echishning sonli usullarini qaraymiz. Ularni  ikkita guruіga  ajratish 
mumkin: 
1) Chegaraviy masala echimini ketma-ket Koshi masalalarini echishga keltirish; 
2) Chekli ayirmalar usullarini qo`llash. 
Birinchi guruі usullariga, xususan, o`q otish usuli kiradi.  
 
O`q otish usuli 
 
[0,1]  kesmada  ikkinchi  іosilaga  nisbatan  echilgan  ikkinchi  tartibli  tenglama  uchun 
chegaraviy masalani qaraymiz: 


.
,
,
y
y
x
f
y



 
 
 
 
 
(1) 
Іar qanday kesmani  
a
b
a
x
t



 
almashtirish yordamidamojno [0,1] kesmaga keltirish mumkin. 
Chegaraviy  shartni  quyidagi  oddiy 
ko`rinishda olamiz 
1
0
)
1
(
,
)
0
(
y
y
y
y


.    
 
 
  (2) 
O`q  otish  usulining  moіiyati  (1),  (2) 
chegaraviy  masalani  echishni  (1)  tenglama 
uchun  
 
 
,
0
,
0
0

tg
k
y
y
y




 
 
 
 
(3) 
boshlang`ich 
shartli 
masala 
echimiga 
keltirishdan  iborat, bunda  - parametr 
0

x
 
nuqtada 
integral 
chiziqga 
o`tkazilgan 
0
1

1
 


 
y(x, 


) 
y(x, 

1
) 
x 
y
0
 
y 
y
1
 

 
101
urinmaning 
x
0
 o`qi bilan hosil qilgan burchagidir. 
 (1), (3) Koshi masalasini 
 dan boғliq deb hisoblaylik, ya`ni y=y(x,), shunday y=y(x,
*
) 
integral chiziqni izlaymizki, u (0,y
0
) nuqtadan chiqib  
(1, y
1
) nuqtaga tushsin.  
SHunday  qilib,  agar 
=
*   
bo`lsa,  u  holda  y(x,
)  Koshi  masalasi  echimi  y(x)  chegaraviy 
masala echimi bilan ustma-ust tushadi. 
1

x
 da (2) ni hisobga olib  


1
1
y
,
y


 
ni hosil qilamiz  
y(1,
)-y
1
=0.                                                      (4) 
Demak F(
)=0 ko`rinishdagi tenglamani hosil qildik, bunda  F()=y(1,)-y
1
.  
(4)  tenglamani  echish  uchun  chiziqlimas  tenglamlarni  yechishning  birorta  usulini  qo`llash 
mumkin.   
 
Chekli ayirmalar usuli 
 
Quyidagi  
 
 
 
,
x
f
u
x
q
u
x
p
u
Lu






   
 
  (5) 
tenglamaning  
 
 
 
 
.
,
2
1
1
2
1
0
d
b
y
d
b
y
d
y
l
c
a
y
c
a
y
c
y
l








 
 
 
 
(6) 
shartlarni qanoatlantiruvchi echimini topish talab etilgan bo`lsin. 
Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy echimning x
0
, x
1
, x
2
,..., x
n
  nuqtalardagi y
0
, 
y
1
,...y
n
 taqribiy qiymatlarini topishdan  iborat. x
i
, nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-biridan  bir 
xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz 
x
i
=x
0
+ih, 
i=0,1,2,...,n. 
Bundan 
x
0
=a,  x
n
=b,  h=(b-a)/n. 
h – kattalik to`r qadami. 
 
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz   
p(x
i
)=p
i
, 
q(x
i
)=q
i
, 
f(x
i
)=f
i
, 
 
 
 
.
,
,
i
i
i
i
i
i
y
x
y
y
x
y
y
x
y







 
 
i
x
y
    va   
 
i
x
y 
    larni  har  bir  ichki  tugunda  ayirmali  markaziy  hosilalar  yordamida 
approksimatsiyalaymiz      
 
 
2
1
1
2
h
O
h
y
y
x
y
i
i
i






,     
 
 
.
2
2
2
1
1
h
O
h
y
y
y
x
y
i
i
i
i







 
Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz     
 
 
.
,
1
0
1
0
h
O
h
y
y
y
h
O
h
y
y
y
n
n
n









 
Bu formulalarni qo`llab (5), (6) berilgan masala ayirmali approksimatsiyasini hosil qilamiz: 

 
102




























.
,
,
1
,
1
,
2
2
1
2
1
0
1
2
0
1
1
1
2
1
1
d
h
y
y
d
y
d
c
h
y
y
c
y
c
n
i
f
y
q
h
y
y
p
h
y
y
y
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
  
(7) 
Izlanayotgan echimning y
0
, y
1
,…, y
n
 taqribiy qiymatlarini topish uchun  (7) n+1 noma`lumli   
n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini echish zarur. Bu sistemani CHATS ni echishning biron bir 
standart  usullari  yordamida  echish  mumkin.  Ammo  (7)  tenglamalar  koeffitsientlaridan  tuzilgan 
matritsa uch dioganallidir, shuning uchun uni echishda progonka usuli deb ataluvchi maxsus usulni 
qo`llaymiz. 
(7) sistemani quyidagi tarzda yozamiz  
,
,
1
,...,
2
,
1
,
1
1
1
0
1
0
0
0

















n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
y
y
n
i
y
y
y
y
y










   
 
(8) 
bunda   

0
= c
1
h-c
2
  ,    

0
=c
2 
,    

0
=s
2
 , 
  

0
=hs
  
, 

I
=f
i
h
2
, 
1
...,
,
2
,
1
,
2
1
,
2
,
2
1
1
2









n
i
h
p
h
q
h
p
i
i
i
i
i
i



, 

n
= 
–d
2
 , 

n
=hd
1
+d
2
 
 
,   

n
=hd. 
(8) sistema echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz 
y
i
=u
i
+v
i
y
i+1 
,   i=0, 1, . . . , n-1, 
 
 
 
(9) 
bu erada u
i
, v
i 
, i=0,1,…,(n-1) lar progonka koeffitsientlari deb ataladi.   
(9) ni  (8) ga qo`yib u
i
, v
i
 lar uchun quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:  
.
,
1
,
,
1
1
1
n
i
v
u
u
v
v
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

















 
 
(10) 
Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun  

0
=0,   

n
=0, 
deb olamiz. 
Progonka usuli ikki bosqichdan iborat. 
1)  Progonkaning  to`g`ri  yo`li.  (10)  bo`yicha  i  indes  o`zgarishining  o`sib  borish  tartibida 
ketma-ket  u
i
, v
i
  koeffitsientlar  
,
u
,
v
0
0
0
0
0
0







 
qiymatlar yordamida hisoblanadi. 
2) Progonkaning teskari yo`li. (9) formula bo`yicha i indeksning kamayish tartibida ketma-
ket   y
n
, y
n-1
,…,y
0
 kattaliklar aniqlanadi.   
SHunday qilib   

n
=0,  u holda  v
n
=0  va 
 
 y
n
=u
n
 , ya`ni progonkaning to`ғri  yo`lida v
i 
, u
i  
 
kattaliklar yordami bilan  y
n 
 echim hisoblanadi. 

 
103
 
SHunday qilib, progonka usuli bilan (9) sistemaning aniq echimini topa olamiz, bu esa (5), 
(6) chegaraviy masala echimi xatoligi faqat berilgan masala ayirmali approksimatsiya xatoligi bilan 
aniqlanishini va xatolik O(h) ga teng ekanligini ko`rsatadi.  
 
(9) sistemani 
 
,
,
,
1
,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
1
1




















n
n
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
n
i
y
y
y
 
 
 
(11) 
ko`rinishda yozamiz, bu erda  
 
,
2
,
,
,
,
2
1
2
0
0
1
0
0
1
h
q
i
i
n
n
n
n





















 
0
,
0


i
i


. 
U holda (10) formula quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi  
.
,
1
1
1








i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
v
u
u
v
v







 
 
 
 
(12)  
 
b
x 
 nuqtada (ya`ni 
n
i 
 da)  
n
y
  











,
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
n
y
v
u
y
y
y


 
sistemadan  
n
y
 




1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
v
u
y
u
y
v
,
y
v
u
y
       (13) 
kabi aniqlanadi. 
(12), (13) formulalar ma`noga ega bo`ladigan etarlilik shartlarini isbotlaymiz: 
.
2
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
2
1














i
n
i
i
i
i
i
 
 
(14) 
Bu shartlarda 
1
,
0


n
i
 uchun 
1

i
v
 bo`lishini ko`rsatamiz. 
1
1


i
v
 bo`lsin. Bundan 
1

i
v
bo`lishini ko`rsatamiz. SHunday qilib 
1
1
0



v
, u 
holda bundan barcha 
1
,...,
2
,
1


n
i
 lar uchun 
1

i
v
 bo`lishligi kelib chiqadi.  
 (14) qo`llab quyidagi ayirmani baholaymiz  









i
i
i
i
i
i
i
i
v
v






1
1
 


0
1
1
1
1















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
v
v
v







. 
Bundan  
i
i
i
i
v





1
. 
SHunday qilib 
0

i

, u holda 
0
1



i
i
i
v


, ya`ni    
1
1




i
i
i
i
i
v
v



. 

 
104
Bundan  ko`rinadiki  agar 
1
1


i
v
  bo`lsa,  u  holda 
1

i
v
  bo`ladi. 
1
1
0



v
  da 
barcha 
1

i
v
 bo`ladi. 
 
 (10) ning maxrajini baholaymiz: 
0
1
1
1
2
1
2
1
2












n
n
v
v
, 
bundan 
1
2


 yoki 
1
1


n
v
 ( 
1
1


da), ya`ni 
0
1
1
2



n
v

. 
 
Agar 
0
0
0
i
i
i





 hech bo`lmaganda  bitta 
0
i
i 
 nuqtada bajarilsa, u holda barcha 
0
i
i 
  uchun 
1

i
v
  bajariladi  va  jumladan 
1

 n
i
  da 
1
1


n
v
  ga  ega  bo`lamiz.  Bu  holda 
2
1
1




 shart ortiqcha hisoblanadi, chunki 
1
1


 va 
1
2


 da 
0
1
1
1
2
1
2







n
n
v
v


 
bo`ladi.