Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

4.  Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun uch qatlamli sxemalar 
 
Ba`zan  uch  qatlamli  sxemalar  qo`llaniladi.  Bunday  sxemalardan  bittasi  Richardson 
sxemasidir: 
j
j
j
y
y
y






2
1
1
  yoki 
j
t
y
y


0
,  
 
 
 
 
 
(16) 
bunda 
x
x
j
j
j
t
y
y
   
,
y
y
   
,
y
y
   
,
y
y
€
    
,
y
y
€
y












1
1
2
0
.  Bu  sxema 

  va  h  bo`yicha 
ikkinchi  tartibli  approksimatsiga  ega   
)
h
(
O
u
Λu
t
2
2
0






.  Ammo  u  absalyut 
turg`unmas sxemadir.  
 
 (16) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz 
2
1
1
1
1
2
2
h
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i









. 
 
 
 
    (17) 
Agar (17) ning o`ng tarafidagi 
j
i
y
2
 ni  
1
1



j
i
j
i
y
y
 ga almashtirsak, u holda uch qatlamli 
«romb» sxemaga (Dyuffort-Frenkel sxemaga) kelamiz: 
2
1
1
1
1
1
1
2
h
y
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i












, 
 
 
                (18) 
bu sxema 
1

j
i
y
 ga nisbatan oshkor qoladi va absolyut turg`un hisoblanadi. «Romb» sxemani ushbu 
ko`rinishda yozish mumkin 
Λyy
y
h
y
t
t
t



2
2
0
   
 
 
 
 
(19) 
bunda  
2
1
1
2

/
)
y
y
y
(
y
j
i
j
i
j
i
t
t





. 

 
111
Haqiqatdan 
t
t
x
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
h
y
h
y
y
y
€
h
y
y
y
h
y
y
y
€
y
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2


















. 
Bu  ifodani  (18)  ga  qo`yib  (19)  ni  hosil  qilamiz.  Demak  Richardson  sxemasi  «romb» 
sxemaning xususiy holi hisoblanadi. 
t
t
y
h
2
2

 had turg`unlikni ta`minlaydi. 
 
(19) ning approksimatsiya xatoligi quyidagicha  
.
)
h
(
O
u
h
)
h
(
O
u
h
u
u
u
h
u
u
t
t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0

























 
Bundan ko`rinadiki «romb» sxema shartli approksimatsiyaga ega bo`ladi 
)
(
2
2
2
2
2
h
O
h
h
O













,    
)
(
2
h
O


da. 
Agar 
))
h
(
O
(
h


1


 deb olsak, u holda (19) sxema  
2
2
2
2
2
x
u
t
u
t
u









  
ko`rinishdagi tenglamani approksimatsiyalaydi, bunda 
const


.  
Odatda (3) uchun vaznli oshkormas uch qatlamli sxemalar qo`llaniladi 
a) simmetrik sxemalar  

















y
y
)
(
y
€
y
t
2
1
0
,  
 
 
 
(20) 
b) simmetrik bo`lmagan sxemalar 








y
y
y
t
t
t
. 
 
 
 
 
(21) 
(20),  (21)  tenglamalar  uchta 


1
1


j
j
j
t
,
t
,
t
  qatlamga  ega.  SHuning  uchun  ular 
1


j
,
t
j
   

  qatlamlarda  yoziladi. 
)
,
(

x
y
  qiymatini  qo`shimcha  ravishda  berish  kerak, 
masalan 
)
x
(
u
)
,
x
(
y
t
0
0 
 
yoki 
)
x
(
u
)
,
x
(
y
)
,
x
(
y
0
0
 




, 
bunda 
)
,
x
(
f
)
x
(
u
)
x
(
u
0
0
0



 ifoda  
)
(
O
)
,
x
(
u
)
,
x
(
y
2





 shartdan tanlanadi. 
Ba`zan 
)
,
(

x
y
 ni aniqlash uchun ikki qatlamli sxemalar qo`llaniladi. 
 
O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 
 
1.  Bir  o`lchamli  nostatsionar  issiqlik  o`tkazuvchanlik  tenglamasi  uchun  umumiy 
boshlang`ich-chegaraviy masala qanday qo`yiladi? 
2.  Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema qanday tuziladi? 
3.  Qanday sxemalarga oshkor sxemalar deyiladi? 
4.  Qanday sxemalarga oshkormas sxemalar deyiladi? 
5.  Krank-Nikol’son sxemasi qanday shablonda aniqlangan? 

 
112
6.  Qanday 
shartlarda 
quyidagi 
approksimatsiya 
xatoliklari 
)
(
),
(
),
(
2
4
2
2
2






h
O
h
O
h
O
 aniqlanadi? 
7.  Richardson sxemasi qanday aniqlanadi? 
8.  Dyuffort-Frenkel sxemasi qanday aniqlanadi? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
113
13 - ma`ruza  
TO`LQIN TENGLAMASI UCHUN CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR TUZISH 
 
Ma`ruza rejasi 
1.  Tor tebranish tenglamasi uchun umumiy boshlang`ich-chegaraviy masalaning qo`yilishi; 
2.  Bir parametrli ayirmali approksimatsiya;  
3. 
)
h
(
O
2
2


 approksimatsiyali masala; 
4.  Approksimatsiya xatoligi; 
5.  Uzilishga ega koeffitsientlar bilan  umumiy masala; 
6.  Birjinsli ayirmali sxemalar. 
 
Tayanch  so`zlar:  Tor  tebranish  tenglamasi,  bir  parametrli  ayirmali  sxemalar  oilasi, 
approksimatsiya xatoligi, birjinsli sxemalar. 
 
 
1. 
Ayirmali masalaning qo`yilishi va approksimatsiya xatoligini hisoblash 
 
Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz 
0
  
,
0
   
),
,
(
1
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2









t
l
x
t
x
f
x
u
a
t
u
. 
l
at
t
l
x
x
/
  
,
/
1
1


 o`lchovsiz kattaliklarni kiritib bu tenglamani quyidagicha yozamiz 
T
t
,
x
),
t
,
x
(
f
x
u
t
u










 
0
      
       
1
0
2
2
2
2
. 
 
 
(1) 
Boshlang`ich momentda 
)
(
)
0
,
(
    
),
(
)
0
,
(
0
0
x
u
t
x
u
x
u
x
u




 
 
 
 
 
(2) 
shartlar berilgan, bu erda  u
0
(x) – boshlang`ich chetlashish va  
)
(
0
x
u
  - boshlang`ich tezlik. 
 
Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin  
)
t
(
)
t
,
(
u
),
t
(
)
t
,
(
u
2
1
1
0




    
. 
 
 
 
 
(3) 
 
)
0
    
,
1
0
(
T
t
x
D





 
sohada 
isssiqlik 
o`tkazuvchanlik 
tenglamasini 
approksimatsiyalashda qo`llangan to`rga o`xshash 


h
 to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz 
,
y
y
y
,
y
y
€
y
,
y
y
,
y
y
€
,
y
y
t
t
j
j
j













2
     
    
    
    
1
1
 
















2
2
    
2
   
0
2
y
y
€
y
y
y
,
y
y
y
€
y
y
y
,
y
y
t
t
t
t
t
t
t
x
x
. 
(1) da hosilalarni quyidagi formulalarga almashtiramiz 

 
114







~
f
,
u
u
~
x
u
,
u
~
t
u
x
x
t
t
   
   
2
2
2
2
. 
Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz 
,
)
x
(
u~
)
,
x
(
y
),
x
(
u
)
,
x
(
y
),
t
(
y
),
t
(
y
,
)
t
,
x
(
f
,
)
y
y
)
(
y
€
(
y
t
I
j
t
t
0
0
2
1
0
0
    
0
    
   
    
2
1



















  
(4) 
bu yerda  
)
(
~ x
u
 ni keyinroq aniqlaymiz. 
Chegaraviy  shartlar  va  birinchi u(x,0)=u
0
(x) boshlang`ich shart 


h
 to`rda aniq  bajariladi. 
)
(
~ x
u
  ni  shunday  tanlaymizki. 
)
x
(
u
)
x
(
u~
t
)
,
x
(
u
)
x
(
u
~
0
0
0
0





  approksimatsiya  xatoligi 
)
(
2

O
 kattalik bo`lsin. Quyidagi  
)
(
O
))
,
x
(
f
)
,
x
(
u
(
,
)
x
(
u
)
(
O
))
,
x
(
f
)
,
x
(
u
(
,
)
x
(
u
)
(
O
)
,
x
(
u
,
)
,
x
(
u
)
,
x
(
u
t
2
0
0
2
0
2
0
0
5
0
0
0
5
0
0
5
0
0
0























 
formuladan ko`rinadiki 
)
(
O
)
,
x
(
u
)
x
(
u~
t
2
0



 belgilashni qo`ysak quyidagini hosil qilamiz  
)
,
x
(
f
)
x
(
u
(
,
)
x
(
u
)
x
(
u~
0
5
0
0
0





.  
 
 
 
 
(5) 
 
Shunday qilib, (4), (5)  masala qo`yildi. (4) dan 
1


j
y
y
€
  ni  aniqlash uchun progonka usuli 
bilan yechiladigan chegaraviy masalani hosil qilamiz 


2
1
0
1
2
1
1
1
1
2
0
2
1


















I
i
j
i
j
i
j
i
y
,
y
,
I
i
,
F
y
)
(
y
y
  
   
   
, 









2
1
2
2
1
2
1
2









j
j
j
i
j
i
i
y
y
)
(
)
y
y
(
F
,
h
/    
. 
Bunda 
0


bo`lganda progonka usuli turg`un bo`ladi. 
 
)
,
(
j
t
x
f


  da  (4)  sxema  approksimatsiya  xatoligini  hisoblaymiz.  y  –  (4),  (5) 
masalaning, 
)
,
( t
x
u
u 
 - esa (1)-(3) masalaning yechimlari bo`lsin. (4) ga 
u
z
y


qo`yib 
quyidagini hosil qilamiz 











)
z
z
)
(
z
€
(
z
t
t
 
 
2
1
 
  
,   
 
 
(6) 
)
x
(
)
,
x
(
z
,
)
,
x
(
z
,
z
z
t
I





0
0
0
0
0
   
   
, 
bu  erda 
t
t
u
)
u
u
)
(
u
€
(













 
 
2
1
 
  
    -  (4)  sxemaning  u=u(x,t)  yechimdagi 
approksimatsiya  xatoligi, 
)
,
x
(
u
)
x
(
u~
t
0
0



-  esa 
)
(
~
0
x
u
y
t

  ikkinchi  boshlang`ich  shart 
uchun approksimatsiya xatoligi. Yuqoridagilardan ayonki, 
)
(
2


O

. 
 
t
u
u
u
€
 



, 
t
u
u
u




  lardan foydalanib quyidagiga ega bo`lamiz  
t
t
t
t
u
u
)
u
u
(
u
)
(
)
u
u
(
u
u
)
(
u
€
2
 
2
1
 
  
 
2
1
 





















,   (7) 

 
115
ya`ni  har  qanday   
    (,      va  h  dan  bog`liq  emas) 







t
t
t
t
u
u
u



2
 
)
(
2
2
2
h
O
u
f
u
L
Lu












, 
)
h
(
O
2
2




. 
 
3-tur chegaraviy shartlar  
)
t
(
)
t
,
(
u
x
)
t
,
(
u
),
t
(
)
t
,
(
u
x
)
t
,
(
u
2
2
1
1
1
1
0
0













     
 
quyidagi yoyilmalarni qo`llab approksimatsiya qilinadi 


 
4
3
2
24
6
2
h
O
u
h
u
h
u
h
u
x
u
IV
x










 
va  


 
4
3
2
24
6
2
h
O
u
h
u
h
u
h
u
x
u
IV
x










. 


2
2
h
O


 approksimatsiya tartibini hosil qilish uchun 
i=0 da   
 
2
1
1
2
h
O
)
t
(
u
u
h
u
x







  
yoki 
)
h
(
O
u
h
,
)
t
(
h
,
u
u
x
2
1
1
5
0
5
0







 
ifodalarni qo`llaymiz.  
Tenglamaning o`zidan quyidagiga ega bo`lamiz 
f
u
u
tt
xx




. 
y  ayirmali funktsiya uchun quyidagiga egamiz 
0
2
1















i
,
y
y
y
)
(
y
u
t
t
    






, 
bu erda 
.
f
,
h
,
)
t
(
,
h
,
y
y
y
x













   
    
5
0
5
0
1
1
 
Shunga o`xshash 
I
i
,
y
y
y
)
(
y
€
u
t
t




















    
2
1
, 
bu yerda  
.
f
,
h
,
)
t
(
,
h
,
y
y
x














   
    
5
0
5
0
2
2
 
Bundan  tashqari 
x
u


  yoyilmada  yanada  yuqori  tartibli  hosilalarni  qo`llab 
)
(
4
2
h
O


 
aniqlik bilan sxemalar hosil qilish mumkin.  
 
 

 
116