Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Berilgan tenglamani vatarlar va Nyuton usullarida yeching 
1. 
0
2
2
2
3


 x
x
 
14. 
0
10
9
3
2
3




x
x
x
 
2. 
0
2
2
3


 x
x
 
15. 
0
1
3
3


 x
x
 
3. 
0
3
3


 x
x
 
16. 
0
6
,
1
6
,
0
4
,
0
2
3




x
x
x
 
4. 
0
4
,
1
4
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
17. 
0
4
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
5. 
0
3
12
3
2
3




x
x
x
 
18. 
0
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
6. 
0
2
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3





x
x
x
 
19. 
0
5
6
3
2
3




x
x
x
 
7. 
0
4
,
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
20. 
0
4
2
3


 x
x
 
8. 
0
12
12
3
2
3




x
x
x
 
21. 
0
8
,
0
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
9. 
0
6
4
3


 x
x
 
22. 
0
2
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
10. 
0
1
6
3
2
3




x
x
x
 
23. 
0
5
,
1
4
,
0
1
,
0
2
3




x
x
x
 
11. 
0
2
6
3
2
3




x
x
x
 
24. 
0
2
,
1
3
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
12. 
0
9
12
3
2
3




x
x
x
 
25. 
0
2
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
13. 
0
1
3
3


 x
x
 
26. 
0
2
,
1
5
,
0
2
,
0
2
3




x
x
x
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamaning  ildizlarini  ajratish  usullari 
g’oyasini tushuntirib bering? 
2.  Chiziqli  bo’lmagan  tenglamalarni  taqribiy  yechish  usullarini 
tushuntirib bering? 
Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi qanday 
baholanadi? 
 

 
196
3.  Chziqli  algebraik  tenglamalar  sistamasini  (ChATS)  yechishning 
sonli usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari 
 
Ishning  maksadi:  talabalarni  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  Gauss  usuli  yordamida 
yechishga o’rgatish, Oddiy iterasiya usulining modifikasiyasi xisoblangan Zeydel usuli yordamida 
chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish. 
 
 
Chiziqli  tenglamalar  sistemasini  yechishda  aniq  va  taqribiy  usullardan  foydalaniladi.  Aniq 
usullarda hisoblashlar yaxlitlanmasdan bajariladi  va noma’lumlarning aniq qiymatini topishga olib 
keladi. Bunday usullarga Gauss va kvadrat ildizlar usullari kiradi. 
 
Taqribiy  usullar  hisoblashlar  yaxlitlanib  yoki  yaxlitlanmasdan  bajarilganda  ham 
noma’lumlarning  qiymatini  berilgan  aniqlikda  topish  imkonini  beradi.  Bunday  usullarga  iterasiya 
va Zeydel usullari kiradi. 
 
Misol.  Kuyidagi  chizikli  tenglamalar  sistemasini  Gauss  usuli  yordamida  0,001  aniqlikda 
takribiy yeching. 


























16
,
1
12
,
0
5
,
0
15
,
0
08
,
0
83
,
0
06
,
0
28
,
0
84
,
0
11
,
0
44
,
0
8
,
0
27
,
0
13
,
0
21
,
0
15
,
2
08
,
0
11
,
0
05
,
0
68
,
0
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  
Yechish.  Bu  tenglamalar  sistemasini  Gauss  usuli  yordamida  yechish  uchun  kuyidagi 
jadvallardan foydalanamiz. 
 
Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar 
Ozod hadlar 
Nazoratdagi 
yig’indi 

 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 
41
31
21
11
a
a
a
a
 
42
32
22
12
a
a
a
a
 
43
33
23
13
a
a
a
a
 
44
34
24
14
a
a
a
a
 
45
35
25
15
a
a
a
a
 
4
3
2
1
c
c
c
c
 
1 
12

 
13

 
14

 
15

 
1

 
 
42
32
22
'
'
'
a
a
a
 
43
33
23
'
'
'
a
a
a
 
44
34
24
'
'
'
a
a
a
 
45
35
25
'
'
'
a
a
a
 
4
3
2
'
'
'
c
c
c
 
 
1 
23

 
24

 
25

 
2

 
 
 
43
33
"
"
a
a
 
44
34
"
"
a
a
 
45
35
"
"
a
a
 
4
3
"
"
c
c
 
 
 
1 
34

 
35

 
3

 
 
 
 
44
a 

 
44
a 

 
4
c 

 
 
 
 
1 
45

 
4

 
 
 
 
1 
4
x
 
4
~
x
 
 
 
1 
 
3
x
 
3
~
x
 
 
1 
 
 
2
x
 
2
~
x
 

 
197
1 
 
 
 
1
x
 
1
~
x
 
 
Xisoblashlar kuyidagi jadvalga asosan bajariladi 
 
Xisoblash formulalari 
Tekshirish 


4
,
3
,
2
,
1
5
1




i
a
c
j
ij
i
 
 


11
1
1
11
1
1
;
5
,
4
,
3
,
2
a
c
j
a
a
j
j





 
1
15
14
13
12
1










 




4
,
3
,
2
'
;
5
,
4
,
3
,
2
;
4
,
3
,
2
'
1
1
1
1









i
a
c
c
j
i
a
a
a
i
i
i
j
i
ij
ij
 


4
,
3
,
2
'
'
'
'
'
5
4
3
2





i
c
a
a
a
a
i
i
i
i
i
 


22
2
2
22
2
2
'
'
;
5
,
4
,
3
'
'
a
c
j
a
a
j
j





 
2
25
24
23
1








 




4
,
3
'
'
"
;
5
,
4
,
3
;
4
,
3
'
'
"
2
2
2
2









i
a
c
c
j
i
a
a
a
i
i
i
j
i
ij
ij
 


4
,
3
"
"
"
"
5
4
3




i
c
a
a
a
i
i
i
i
 


33
3
3
33
3
3
"
"
;
5
,
4
"
"
a
c
j
a
a
j
j





 
3
35
34
1






 




4
"
"
;
5
,
4
;
4
"
"
3
3
3
1













i
a
c
c
j
i
a
a
a
i
i
i
j
i
ij
ij
 


4
5
4









i
c
a
a
i
i
i
 


44
4
4
44
4
4
;
5
a
c
j
a
a
j
j













 
4
45
1




 
4
4
4
34
3
3
3
23
4
24
2
2
2
12
3
13
4
14
1
1
2
12
3
13
4
14
15
1
3
23
4
24
25
2
4
34
35
3
45
4
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~








































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
1
1
2
2
3
3
4
4
~
1
~
1
~
1
~
1
x
x
x
x
x
x
x
x








 
 
 
 
Yukoridagi jadvallardan foydalanib tenglamalar sistemasini yechamiz. 
 
Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar 
Ozod hadlar 
Nazoratdagi 
yig’indi 

 
1
x
 
2
x
 
3
x
 
4
x
 

 
198
0,68 
0,21 
-0,11 
-0,08 
0,05 
-0,13 
-0,84 
0,15 
-0,11 
0,27 
0,28 
-0,5 
0,08 
-0,8 
0,06 
-0,12 
2,15 
0,44 
-0,83 
1,16 
2,85 
-0,01 
-1,44 
0,61 
1 
0,0735 
-0,1618 
0,1176 
3,1618 
4,1912 
 
-0,1454 
-0,8319 
0,1559 
0,30398 
0,2622 
-0,5129 
-0,8247 
0,0729 
-0,1106 
-0,22398 
-0,4822 
1,4129 
-0,89015 
-0,97897 
0,9453 
1 
-2,0906 
5,6719 
1,5404 
6,1221 
 
-1,47697 
-0,18697 
4,79139 
-0,9948 
0,7992 
1,1723 
4,1140 
-0,00913 
1 
-3,2441 
-0,5411 
-2,7854 
 
-1,6013 
1,0711 
-0,5299 
1 
-0,6689 
0,3309 
2,8264 
-0,3337 
-2,7110 
-0,6689 
 
3,8263 
0,6664 
-1,7119 
0,3309 
 
Tenglamalar  sistemasini  oddiy  iterasiya  usuli  yordamida  yechish  uchun  sistemani  
F
AX
X


  ko’rinishga  keltiramiz.  Quyidagi  vektorlar  ketma-ketligini  tuzamiz:
0
X
-ixtiyoriy 
vektor; 
 
F
AX
X
F
AX
X
F
AX
X
F
AX
X
n
n








1
2
3
1
2
0
1
;...;
;
;
.  
Agar  matrisaning  biror  normasi  uchun 
1

A
  bo’lsa,  hisoblash  jarayoni  yaqinlashuvchi 
bo’ladi. 
Koordinatalar kuyidagi formulalar yordamida xisoblanadi: 
 




n
i
f
x
a
x
f
x
i
n
j
k
j
ij
k
i
i
i
,
1
,
1
1
)
0
(







. 
Hisoblashlar aniqligini quyidagi munosabatdan aniqlash mumkin:  
 
0
1
*
1
X
X
A
A
X
X
k
k




; 
agar 
F
X 
0
 bo’lsa, u holda 
 
F
A
A
X
X
k
k




1
1
*
, 
bunda 
*
X
 - aniq yechim. 
Berilgan tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching 
№ 1 
























2
,
7
3
,
5
8
,
8
4
,
23
2
,
14
8
,
1
7
,
6
3
,
5
5
,
11
1
,
7
8
,
6
2
,
13
2
,
14
3
,
9
5
,
5
3
,
4
8
,
10
2
,
19
5
,
2
4
,
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 2 
























3
,
14
7
,
8
3
,
6
2
,
13
8
,
6
3
,
3
3
,
2
4
,
12
6
,
3
7
,
5
5
,
4
4
,
6
15
12
6
,
5
4
,
8
8
,
14
2
,
14
2
,
3
2
,
8
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 

 
199
№ 3 
























7
,
14
7
,
5
7
,
23
7
,
12
5
,
8
6
,
8
1
,
12
6
,
5
8
,
2
7
,
14
5
,
5
3
,
4
3
,
6
1
,
13
6
,
6
7
,
2
3
,
8
6
,
5
8
,
7
7
,
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 4 
























5
,
13
2
,
7
4
,
14
3
,
8
1
,
17
7
,
7
8
,
8
3
,
4
5
,
8
4
,
6
7
,
4
2
,
12
8
,
5
6
,
6
3
,
8
8
,
2
5
,
15
3
,
6
2
,
14
8
,
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 5 
























4
,
23
8
,
5
7
,
15
7
,
8
3
,
14
7
,
7
6
,
6
4
,
23
7
,
5
3
,
6
6
,
5
5
,
4
5
,
5
7
,
6
8
,
8
4
,
2
5
,
11
7
,
5
6
,
6
7
,
15
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
№ 6 























1
,
12
7
,
3
34
,
1
6
,
7
3
,
6
6
,
8
7
,
12
4
,
7
3
,
8
4
,
5
5
,
2
5
,
5
5
,
3
4
,
4
4
,
2
5
,
15
1
,
14
2
,
23
1
,
12
3
,
4
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x