Ankara üNİversitesi fen biLİmleri enstiTÜSÜ

)
(t
X
  : prosesin t anında durumunu gösteren s–boyutlu vektör fonksiyonu 
)
(t
θ
  : t zamanında karar gösteren r boyutlu vektör fonksiyonu 
 
Prosesi tanımlayan denklemler: 
 
))
(
...
);
(
)...
(
(
/
)
(
t
t
X
t
X
f
dt
dX
r
t
i
s
i
i
i
θ
θ
=
 
f
t
t
t
≤
≤
0
 
 
 
 
 
 
 (5.19) 
i
i
t
X
α
=
)
(
0
 
 
.
,....
,
s
i
2
1
=
 
 
Optimizasyon problemi böyle bir proseste aralıkta sürekli karar vektör fonksiyonu  
)
(t
θ
’yi 
 
[
]
0
2
1
≤
)
(
)....
(
),
(
t
t
t
r
i
θ
θ
θ
ψ
   
m
i
,......
,2
1
=
  
 
 
 
(5.20) 
 
 
sınırlamasına bağlı olarak, başlangıç değerleri 
i
i
t
X
α
=
)
(
0
 
verilmesi durumunda hal değişkenlerinin son değerlerinin bir fonksiyonu olan 

---

 
47
∑
=
=
s
i
f
i
i
t
X
C
S
1
)
(
 
 
 
sabit
C
i
=
 
 
 
 
 
(5.21) 
 
fonksiyonunu maksimize etmektir. 
 
Bu sorunu çözmek için s–boyutlu katma (adjoint) 
)
(t
λ
 vektörü ve bir Hamiltonian 
fonksiyonu tanımlanmaktadır (Fan 1966). 
 
(
)
(
)
∑
=
=
s
i
i
i
t
t
X
f
t
t
X
t
H
1
)
(
);
(
)
(
),
(
),
(
θ
λ
θ
λ
 
 
 
 
 
 
(5.22) 
∑
=
∂
∂
−
=
∂
−∂
=
s
i
i
i
i
i
i
X
f
X
H
dt
d
1
/
/
/
λ
λ
 
 
 
 
 
  
(5.23) 
)
(
/
)
(
)
(
f
f
f
i
t
X
t
S
t
∂
∂
=
λ
 
i
f
i
C
t
=
)
(
λ
 
 
 
 
 
 
(5.24) 
 
Aynı şekilde; 
i
i
H
dt
dX
λ
∂
∂
=
/
/
 yazılabilir. 
 
Bu koşullarda; 
0
=
∂
∂
θ
/
H
   
 
 
 
 
 
 
(5.25) 
 
 
Bunun anlamı her 
t
 için Hamiltonian fonksiyonunu maksimum yapan karar vektör 
fonksiyonu 
)
(t
θ
, amaç fonksiyonu 
S
’i maksimum yapan optimum fonksiyon 
)
(t
θ
’dir. 
 
 
Pontryagin’in maksimum ilkesinin uygulanması kesikli polimerizasyon reaktöründe 
optimum kontrol için gerçekleştirilmiştir (Secchi et al. 1990).  
 
 
5.3.4 Dinamik programlama 
 
 
Dinamik programlama yöntemi bir optimizasyon aracı olarak literatürde yer almış (Luus 
1990) ve konuya ilişkin olarak Ankara Üniversitesinde yapılan bazı çalışmalar da 
yayınlanmıştır. Endüstriyel maya fermentörleri için oluşturulan dinamik bir model 

---

 
48
(Pertev  et al. 1997) kullanılarak dinamik programlama yöntemi ile optimum besleme 
profili bulunmuştur (Berber et al. 1998, Pertev et al. 1999). Bu yöntemin başlıca avantaj 
ve dezavantajları şöyledir: 
Avantajları: 
 
 
– Konveks ve doğrusal olmayan problemlerin çözümü için elverişlidir. 
 
– Amaç fonksiyonu az sayıda hesaplanır. 
 
– Global optimumu verir. 
 
 
Dezavantajları: 
 
– Her kontrol değişkeni için alt ve üst sınırları da kapsayacak şekilde ızgara biçiminde 
bir aralık seçilmesi gerekmektedir. 
– Zaman dilimlerinde hal değişkenlerinin çözümleri birbirleri ile denk gelmeyebilir. 
– Geri döngü akımları dikkate alınmaz. 
 
 
5.3.5 Doğrusal olmayan programlama (NLP) haline dönüştürme 
 
 
Bu yöntemle ilgili olarak Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümünde bir 
yüksek lisans çalışması yapılmıştır (Agun 2002). Teknik uygulanırken, esas olarak 
optimizasyon problemi kesikli zaman alanına dönüştürülerek (diskretizasyon) sonlu 
boyutta doğrusal olmayan program haline getirilir. Problemin çözümünde iki olasılık 
söz konusudur: 
 
1.  Bütün değişkenleri diskretize etmek: 
 
Bu yöntemi gerçekleştirmek için, önce sonlu farklar yaklaşımı denenmiş, daha sonra 
ortogonal kollokasyon teknikleri kullanılmıştır. Yöntemin tek avantajı, optimizasyon 
probleminin içinde ayrıca bir integrasyon (DAE çözümü) işleminin yer almamasıdır. 

---

 
49
Dezavantajları ise, değişken sayısının çok yüksek olması ve sınır koşullarının ancak 
çözüm sonunda sağlanabilmesidir. Böylece ortaya çıkan çok büyük boyutlu NLP 
problemlerini çözülebilir hale getirmek için parçalama teknikleri ortaya atılmıştır. 
 
 
2.  Sadece karar (optimizasyon) değişkenlerini diskretize etmek: 
 
 
Yalnızca karar değişkenlerinin diskretize edilmesi sonucunda karar değişkenleri bir 
kontrol vektörü oluşturur. Bu vektörün elemanları, zaman dilimlerindeki aranan 
değerler olacaktır. Bu mümkündür, çünkü bir kere bunlar zaman alanına bölündükten 
sonra aynı zaman diliminde diğer değişkenleri farklı isimlerle atamaya gerek yoktur. 
Bütün dilim içinde diğer değişkenlerin değerleri integrasyonla sürekli biçimde 
belirlenebilir. Bu yöntem ilk olasılığa göre aşağıdaki nedenlerle daha avantajlıdır: 
 
 
a) Değişken sayısı daha az olur, 
 
 
b) Diferansiyel–cebirsel denklem takımları zaman dilimlerinde sürekli formda 
çözüldüğü için zaman ufku boyunca değişik noktalarda, dilimlerin ara yüzeylerinde, 
eşitlik/eşitsizlik sınırlamaları veya katılım sınırlamaları tanımlanabilir. 
 
 
c) Diskretizasyon hatası, her zaman dilimindeki integrasyon için integrasyon adım 
aralığını ve/veya hata toleransını değiştirmek mümkün olduğu için daha kolay kontrol 
edilebilir. 
-  Kontrol vektör parametrelemesi (Vassiliadis et al. 1994): 
 
Kontrol vektör parametrelemesi yöntemi, zaman ufkunu aralıklara ayırmak, ondan sonra 
da her kademeyi kendi içinde daha küçük kontrol dilimlerine bölmektir. Bu yöntemde 
her bir aralık içinde kontrol değerleri farklı şekilde bulunabilmektedir. İntegrasyonla bir 

---

 
50
aralığın sonunda elde edilen değerler, onu takip eden aralık için başlangıç değerleri 
olarak alınmakta ve bu şekilde ilerlenerek zaman ufkunun sonuna varılmaktadır. 
Böylece problem sonlu boyutlu bir NLP haline dönüştürülmüş olur. NLP çözümü 
genelde  gradient bilgisi gerektirir. Bu bilginin elde edilebilmesinde duyarlılık 
fonksiyonları kullanılabilir. 
 
 
-  Newton tipi optimizasyon (Li and Biegler 1989): 
 
Newton tipi kontrol stratejileri doğrusal olmayan ve sınırlamalı proses kontrol 
sistemlerinin çözümü için geliştirilmiştir. Bu yöntemde problem doğrusallaştırılır ve 
Kuadratik Programlama problemi haline dönüştürülür. Hessian pozitif ve yarı–tanımlı 
olduğu için global optimumum bulunacağı garantidir. Algoritmada proses 
sınırlamalarını dikkate alabilmek için özel bir “Sequential Quadratic Programming” 
(SQP) stratejisi kullanılmaktadır. 
 
 
Bu yöntemler arasında en kolay uygulanabilir olanı sadece karar değişkenlerini 
‘diskretize’ etmek olabilir, ancak onda da ‘duyarlılık’ fonksiyonlarını elde etmek ciddi 
güçlükler getirmekte ve uygulamayı zorlaştırmaktadır. Bu nedenle dinamik 
optimizasyon problemlerinin çözümü için kontrol vektör parametrelemesine dayalı, 
ancak duyarlılık fonksiyonları bilgisini gerektirmeyen pratik bir yaklaşım getirilmiştir 
(Agun ve Berber 2002). Araştırma grubunun daha önceki çalışmalarından alınan 
dinamik model (Pertev et al. 1997) fermentasyon süresince birer saatlik dilimlerle, 
kesikli zaman alanına dönüştürülmüştür. Böylece sadece karar değişkenleri ‘diskretize’ 
edilerek ‘kontrol vektörü’ oluşturulmuştur. Optimizasyon değişkenlerinin başlangıç 
değerlerinden başlayarak her aralıkta model integre edilmiş, bu arada bir aralığın 
sonunda elde edilen hal değişkeni değerleri, onu takip eden aralık için başlangıç 
değerleri olarak alınmıştır. Bu şekilde ilerlenerek zaman ufkunun sonuna ulaşıldığında 
amaç fonksiyonunun değeri elde edilebilmiştir. Böylece ortaya çıkan doğrusal olmayan 
program, MATLAB
® 
optimizasyon paketi içinde, sınırlandırılmış çok değişkenli 
fonksiyonun minimumunu bulan hazır bir fonksiyon yardımıyla çözülmüştür. 

---

 
51
Fonksiyon gradient hesaplamaları ‘sonlu farklar’ esasına, kuadratik veya kübik ‘yön 
arama’ Quasi–Newton yöntemine dayanmaktadır. MATLAB
®
 optimizasyon paketinde 
fmincon adı ile yer alan bu algoritmada doğrusal olmayan programlama yöntemlerinden 
en gelişmişi olarak bilinen SQP yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntemde her iterasyonda 
bir quadratik programlama alt problemi çözülmektedir. BFGS (Broyden, Fletcher, 
Goldfarb and Shanno) formülü kullanılarak Lagrangian’ın Hessian’ının tahmini her 
iterasyonda yenilenmekte ve Merit fonksiyonu kullanılarak hat taraması  (Line search) 
yapılmaktadır. QP alt problemi aktif takım stratejisi kullanılarak çözülür (The 
Mathworks, Inc. 2003). Önerilen yöntem pratik ve uygulanması kolaydır. Literatürden 
alınan çok sayıda örnek problem bu yöntemle test edilmiş ve sonuçların güvenilirliği 
görülmüştür (Agun 2002). 
 
 
Bu yöntem, azot giderimli aktif çamur sisteminde enerji optimizasyonu için 
kullanılmıştır. Yapılan çalışmada, zaman ufku sabit süreli dilimlere değil, sabit sayıda 
değişken süreli dilimlere bölünerek, optimum havalandırma profili elde edilecek şekilde 
bu dilimlerin süresi optimizasyon sonucunda bulunmuştur (Balku and Berber 2004). 

---

 
52