Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar

7. Chiziqli bog`liq va chiziqli erkli vektorlar sistemalari

n o`lchovli m ta vektorlardan iborat (*) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin.

a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ (bu yerda θ - n o`lchovli nol vektor) vektor tenglama yoki shuning o`zi m ta noma`lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzamiz.
a<sub>1</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + … + a<sub>m</sub>x<sub>m</sub>=θ vektor tenglama aniq bo`lib, yagona trivial (nol) yechimga ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi o`zaro chiziqli bog`lik bo`lmagan yoki chiziqli erkli vektorlar sistemasi deyiladi.
a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m = θ vektor tenglama aniqmas bo`lib, trivial yechimdan tashqari notrivial (nolmas) yechimlarga ham ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi chiziqli bog`lik sistema deyiladi. Aniqlik uchun nolmas (x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>m</sub>) yechimda x<sub>m</sub>≠0 bo`lsin. Unda

a^(m) = a₁ a₂- … a_m-1

munosabat o`rinli bo`lib, (*) vektorlaridan biri qolganlarining chiziqli kombinatsiyasiga teng. Bu esa sistemaning chiziqli bog`liqligini ang-latadi.

Agar vektorlar sistemasi yagona nolmas vektordan tashkil topgan bo`lsa chiziqli erkli; yagona nol vektordan iborat bo`lsa, chiziqli bog`-liqdir. Chiziqli erkli sistemaning har qanday qism osti sistemasi – chi-ziqli erkli, chiziqli bog`liq sistemaning har qanday kengaytirilgan siste-masi esa chiziqli bog`liqdir. Demak, tarkibida nol vektor mavjud har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog`liqdir.
Berilgan sistema vektorlari koordinatalaridan

matritsa tuzamiz.
(*) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.