Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo


Download 1.39 Mb.
bet2/7
Sana23.11.2020
Hajmi1.39 Mb.
#151129
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
амалий машғулот 5 БМКН


Ta’rif 1.14.[4]

A: X Y chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday

С  0

son


mavjud bo‘lib, ixtiyoriy

x D A

uchun


Ax C x

tengsizlik bajarilsa, A


chegaralangan operator deyiladi.




Ta’rif 1.15.[4]

Ax C

x tengsizlikni qanoatlantiruvchi C sonlar to‘plamining

aniq quyi chegarasi A operatorning normasi deyiladi va u A bilan belgilanadi,




ya‘ni

A  inf C.


Bu ta‘rifdan ixtiyoriy x D A

ekanligini kelib chiqadi.

uchun

Ax

A x

tengsizlik o‘rinli


Misollar.




  1. С 1,1 fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni

B : C1,1 C1,1, Bf x xf x 1
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanini ko‘rsatib, normasini toping.

Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriliadi. Uzluksiz funksiyalarning ko‘paytmasi uzluksiz ekanligidan B operaatorning aniqlanish

sohasi

DB C1,1

ekanligi kelib chiqadi.Endi B operatorni chegaralangan


ekanligini ko‘rsatamiz.


Bf max xf x max x max f x 1 f .

1x1

1x1

1x1




Bundan B operatorning chegaralanganligi va B 1

kelib chiqadi. Ikkinchi



tomondan, agar

f0 x 1 desak u holda




Bf0

x x,

Bf0

1, B   1




ni olamiz. Yuqoridagilardan

B  1 keli chiqadi.




  1. Endi fazoda ko‘paytirish operatorini, ya‘ni

A : 2 2 ,

Ax

n an xn , sup an

n1

a  

2

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping.




Yechish. Ixtiyoriy

x uchun

Ax  ekanligini ko‘rsatamiz:





n1

Ax



2





n1

an xn

2sup a

n1



n
2

n1

x 2a2

x 2 .

3





n

n
Bu munosabatlardan

D A ekanini olamiz.Endi uni chiziqli ekanligini

ko‘rsatamiz. A operatorni aniqlanishiga ko‘ra



n n n
A x y an xn yn anxn an yn Ax Ay .


Demak, A chiziqli operator ekan.Uning chegaralangan ekanligi 3

tengsizlikdan



kelib chiqadi.Bundan tashqari 3

tengsizlikdan



A a

ekanligi ham kelib



chiqadi. A operatorning normasi

A a

ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun





n n1
fazoda e 

ortonormal sistemani olamiz. A operatorning aniqlanishiga ko‘ra,




nN

uchun


Aen anen

tenglik o‘rinli.



A Aen

anen

an en

an



munosabaydan kelib chiqadi. Bu tengsizlik

nN

da o‘rinli bo‘lgani uchun


A  sup an

n1

a ni olamiz. Demak,



A a

tenglik isbotlandi.




Ta’rif 1.16.[4] Agar An L X ,Y

operatorlar ketma-ketligi uchun shunday



A L X ,Y

operator mavjud bo‘lib,



An A

0, n  bo‘lsa, An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo‘yicha yoki tekis yaqinlashadi


n
deyiladi va

A u A shaklda belgilanadi.


Ta’rif 1.17.[4] Agar ixtiyoriy x X

uchun


An x Ax 0

bo‘lsa, An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi

va An Ashaklda belgilanadi.

s



Ta’rif 1.18.[4] Agar ixtiyoriy f Y va ixtiyoriy x X

uchun f An x f Ax



bolsa, An operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yoki kuchsiz manoda yaqinlashadi deyiladi.

Ta’rif 1.19.[4] Agar ixtiyoriy x, y H

uchun An x, y Ax, y



bo‘lsa, An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi.


Misollar.


1. An : l2 l2 ,



An x 0,0,...,0, x1, x2 , x3,...
operatorlar ketma-ketligining

n
kuchli va kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini tekshiring.


Yechimi. l2 Hilbert fazosi bo‘lganligi uchun

An : l2 l2

operatorlar ketma-



ketligining kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini 4-ta‘rifdan foydalanib

tekshiramiz. Ixtiyoriy

y y1, y2 ,...l2

uchun




2
An x, y x, y

2



xk ynk

k 1


k
x 2 y 2

k n1

1




Munosabat o‘rinli. y l2
bo‘lganligi uchun

2



k
y 2 y

k 1

2.
Shunday ekan

yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i

yk

k n1

n 

da nolga intiladi. Demak,



An

operatorlar ketma-ketligi nol operator  ga kuchsiz ma‘noda



yaqinlashmaydi, chunki lim

n

An x x

 lim x



n

x  0.


  1. Quyida berilgan

Pn ,Qn Ll2

operatorlar ketma-ketligining kuchli va tekis


ma‘noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini tekshiring.




Pn : l2 l2 ,

Qn I Pn ,

Pnx x1, x2, xn,0,....,0,...

Qnx 0,....,0, xn1, xn2, xn3,...



Yechish.Ixtiyoriy


x l2
uchun




Q x x
2

n nk

k 1

2 0, n .
Chunki

2


x l2
, ya‘ni


k
x 2 x

k 1

2  . Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig‘i

xnk

k 1

n 

da nolga intiladi. Demak Qn

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli



ma‘noda yaqinlashar ekan.Bundan Pn I Qn

operatorlar ketma-ketligining



birlik operator I ga kuchli ma‘noda yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi Qn

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis ma‘noda yaqinlashadimi yoki



yo‘qmi, shuni tekshiramiz. Q x 2 x 2 x 2 .Bundan Q 1 2

n nk

k 1


ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan,

Qnen1 en1.

Bundan


Qn

Qnen1

1.


3 2va3

dan ixtiyoriy n N

uchun

Q  1

ga kelamiz.




Demak, Qn

operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis (norma bo‘yicha)



yaqinlashmaydi. Bu yerdan Pn

operatorlar ketma-ketligi birlik operator I ga


tekis yaqinlashmasligi kelib chiqadi.




  1. L2 1 2,1 2 Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va





n
A f xn f xformula bilan aniqlanuvchi operatorga tekis yaqinlashishini tekshiring.

An operatorlar ketma-ketligining nol

Yechish. Ixtiyoriy

f L2 1 2,1 2 uchun

1 2 1 2



An f

2




1
1 2

xn f x 2

dt max

1 2x1 2

x2n



1 2



f x 2

dt 1 f 2

22n

4




Bundan

An 2n

tengsizlikni olamiz.Agar 0  An

ekanligini hisobga olib,


n  da limitga o‘tsak, lim

n

An

0.

Shunday ekan,

An operatorlar ketma-


ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi.
Yuqorida kuchsiz yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligi kuchli ma‘noda yaqinlashmasligiga (1-misol) va kuchli ma‘noda yaqinlashuvchi operatorlar ketma- ketligi norma bo‘yicha yaqinlashmasligiga (2-misol) misol keltirildi.

Lemma 1.1.[4] Agar An L X ,Y

operatorlar ketma-ketligi biror



A L X ,Y

operatorga tekis yaqinlashsa, u holda An

operatorlar ketma-ketligi A operatorga


ham kuchli ma‘noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.




Isbot.Lemma shartiga ko‘ra

An A

0,n .

U holda ixtiyoriy x X

uchun


An x Ax

An A x .

sonli tengsizlikga ega bo‘lamiz.



0  lim

n

An x Ax

lim



n

An A x

0.



Demak, An

operatorlar ketma-ketligi A



operatorga kuchli ma‘noda ham yaqinlashar ekan.
Download 1.39 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling