Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo
Download 1.39 Mb.
|
амалий машғулот 5 БМКН
Ta’rif 1.14.[4] A: X Y chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday С 0 son
mavjud bo‘lib, ixtiyoriy x D A uchun
Ax C x tengsizlik bajarilsa, A chegaralangan operator deyiladi. Ta’rif 1.15.[4] Ax C x tengsizlikni qanoatlantiruvchi C sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi A operatorning normasi deyiladi va u A bilan belgilanadi, ya‘ni A inf C. Misollar. С 1,1 fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni B : C1,1 C1,1, Bf x xf x 1 operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanini ko‘rsatib, normasini toping. Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriliadi. Uzluksiz funksiyalarning ko‘paytmasi uzluksiz ekanligidan B operaatorning aniqlanish sohasi DB C1,1 ekanligi kelib chiqadi.Endi B operatorni chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Bf max xf x max x max f x 1 f . 1x1 1x1 1x1 Bundan B operatorning chegaralanganligi va B 1 kelib chiqadi. Ikkinchi Bf0 x x, Bf0 1, B 1 ni olamiz. Yuqoridagilardan B 1 keli chiqadi. Endi fazoda ko‘paytirish operatorini, ya‘ni A : 2 2 , Ax n an xn , sup an n1 a 2
operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatib, normasini toping. n1 Ax 2 n1 an xn 2 sup a n1 n 2 n1 x 2 a2 x 2 . 3 ko‘rsatamiz. A operatorni aniqlanishiga ko‘ra n n n A x y an xn yn anxn an yn Ax Ay . Demak, A chiziqli operator ekan.Uning chegaralangan ekanligi 3 tengsizlikdan kelib chiqadi.Bundan tashqari 3 tengsizlikdan A a ekanligi ham kelib chiqadi. A operatorning normasi A a ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun n n1 fazoda e ortonormal sistemani olamiz. A operatorning aniqlanishiga ko‘ra, n N uchun
Aen anen tenglik o‘rinli. A Aen anen an en an munosabaydan kelib chiqadi. Bu tengsizlik n N da o‘rinli bo‘lgani uchun
A sup an n1 a ni olamiz. Demak, A a tenglik isbotlandi. A L X ,Y operator mavjud bo‘lib, An A 0, n bo‘lsa, An operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo‘yicha yoki tekis yaqinlashadi n deyiladi va A u A shaklda belgilanadi. operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi va An Ashaklda belgilanadi. s bo‘lsa, An operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yoki kuchsiz ma‘noda yaqinlashadi deyiladi. Ta’rif 1.19.[4] Agar ixtiyoriy x, y H uchun An x, y Ax, y bo‘lsa, An operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi. Misollar. 1. An : l2 l2 , An x 0,0,...,0, x1, x2 , x3,... operatorlar ketma-ketligining n kuchli va kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini tekshiring. Yechimi. l2 Hilbert fazosi bo‘lganligi uchun An : l2 l2 operatorlar ketma- ketligining kuchsiz ma‘noda nol operatorga yaqinlashishini 4-ta‘rifdan foydalanib tekshiramiz. Ixtiyoriy y y1, y2 ,...l2 uchun
2 An x, y x, y 2
xk ynk k 1 k x 2 y 2 k n1 1 Munosabat o‘rinli. y l2 bo‘lganligi uchun 2 k y 2 y k 1 2 . Shunday ekan yaqinlashuvchi qatorning qoldig‘i yk k n1 n da nolga intiladi. Demak, An operatorlar ketma-ketligi nol operator ga kuchsiz ma‘noda yaqinlashmaydi, chunki lim n An x x lim x n x 0. ma‘noda birlik va nol operatorlarga yaqinlashishini tekshiring. Pn : l2 l2 , Qn I Pn , Pnx x1, x2, xn,0,....,0,... Qnx 0,....,0, xn1, xn2, xn3,... Yechish.Ixtiyoriy x l2 uchun
Q x x 2 n nk k 1 2 0, n . Chunki 2 x l2 , ya‘ni k x 2 x k 1 2 . Shunday ekan, oxirgi qatorning qoldig‘i xnk k 1 n da nolga intiladi. Demak Qn operatorlar ketma-ketligi nol operatorga kuchli ma‘noda yaqinlashar ekan.Bundan Pn I Qn operatorlar ketma-ketligining birlik operator I ga kuchli ma‘noda yaqinlashishi kelib chiqadi. Endi Qn operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis ma‘noda yaqinlashadimi yoki
ekanligini olamiz. Ikkinchi tomondan, Qnen1 en1. Bundan
Qn Qnen1 1.
3 2va3 dan ixtiyoriy n N uchun
ga kelamiz. Demak, Qn operatorlar ketma-ketligi nol operatorga tekis (norma bo‘yicha) yaqinlashmaydi. Bu yerdan Pn operatorlar ketma-ketligi birlik operator I ga tekis yaqinlashmasligi kelib chiqadi. L2 1 2,1 2 Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va n A f xn f xformula bilan aniqlanuvchi operatorga tekis yaqinlashishini tekshiring. An operatorlar ketma-ketligining nol Yechish. Ixtiyoriy f L2 1 2,1 2 uchun 1 2 1 2 An f 2 1 1 2 xn f x 2 dt max 1 2x1 2 x2n
f x 2 dt 1 f 2 22n 4 Bundan An 2n tengsizlikni olamiz.Agar 0 An ekanligini hisobga olib,
n da limitga o‘tsak, lim n An 0. Shunday ekan,
ketligi nol operatorga tekis yaqinlashadi. Yuqorida kuchsiz yaqinlashuvchi operatorlar ketma-ketligi kuchli ma‘noda yaqinlashmasligiga (1-misol) va kuchli ma‘noda yaqinlashuvchi operatorlar ketma- ketligi norma bo‘yicha yaqinlashmasligiga (2-misol) misol keltirildi. Lemma 1.1.[4] Agar An L X ,Y operatorlar ketma-ketligi biror A L X ,Y operatorga tekis yaqinlashsa, u holda An operatorlar ketma-ketligi A operatorga ham kuchli ma‘noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. An x Ax An A x . sonli tengsizlikga ega bo‘lamiz. 0 lim n An x Ax lim n An A x 0. Demak, An operatorlar ketma-ketligi A |
ma'muriyatiga murojaat qiling