Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo
Download 1.39 Mb.
|
амалий машғулот 5 БМКН
- Bu sahifa navigatsiya:
- Chiziqli operatorning spektri va
- Ta’rif
Teorema 1.5.[4] X Banax fazosi va A L X . Agar A q 1 bo‘lsa, u holda I A operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud. Isbot. L X fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz: I A A2 ...An ... . 5 Ma‘lumki, A2 A 2 . Xuddi shuningdek, An A n . U holda 5 qatorning n S I Ak qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi, k 1 ya‘ni Sn p Sn An1 An2 ... Anp qn1 qn2 ... qnp 0,
5 qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Sn - fundamental ekan, L X : L X , X to‘la bo‘lgani uchun Sn S L X . Shunday qilib, I Ak S . k 1 Bundan tashqari n S I A lim S n I A limI A A2 ... An A A2 ... An1 n lim I An1 I. n Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, I AS I . Demak, S operator I A operator uchun teskari operator ekan. S operatorning normasi S An n0 n0 qn 1 . 1 q Demak, S I A1 operator chegaralangan. Misol 2. Parameter ning 1 ; 1 qiymatlarida
I A f x f x cos x sin yf y dy ,
operatorga 4-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping. Yechish.4-teoremani qo‘llashimiz uchun A operatorning darajalarini hisoblashimiz kerak. Dastlab A operatorni kvadratini hisoblaymiz: A2 f x A cos xsin yf y dy cos x sin t cost sin yf y dy dt . 6
6 tenglikni t bo‘yicha integralini hisoblash mumkin. Agar biz
An 0 ekanligi kelib chiqadi.Natijada biz, S I A I A1 ga ega
bo‘lamiz. Haqiqatan ham,
tenglik o‘rinli. Demak, barcha mavjudva chegaralangan bo‘ladi. R larda I A operatorga teskari operator Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi Faraz qilaylik A: Cn Cn chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror son uchun Ax x tenglama nolmas x Cn yechimga ega bo‘lsa, u holda son A operatorning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa vektor deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to‘plami uning spektri deb ataladi. Agar C son A operator uchun xos qiymat bo‘lmasa,
u operatorning regulyar nuqtasi deyiladi.Umuman olganda chekli o‘lchamli fazolarda spektr tushunchasi kam ishlatiladi. Agar A operator cheksiz o‘lchamli X fazoda berilgan bo‘lsa, u holda 3 ta holat bo‘ladi, ya‘ni: son uchun Ax x tenglama nolmas yechimga ega, ya‘ni son A son uchun Сn fazoning hamma yerida aniqlangan A I 1 operator
mavjud va demak, chegaralangan; 3) A I 1 operator mavjud, ya‘ni Ax x tenglama nol yechimga ega,
A I 1 operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki Im A I X . Ta’rif 1.21.[4] Agar C son uchun A I ga teskari operator mavjud bo‘lib, u X ning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa, son A operatorning regulyar nuqtasi rezolventasi deyiladi.Barcha regulyar nuqtalar to‘plami A orqali belgilanadi. Ta’rif 1.22.[4] A operatorning regulyar bo‘lmagan barcha nuqtalari to‘plami A operatorning spektri deyiladi va u A orqali belgilanadi. Ta’rif 1.23.[4] Agar biror C son uchun A I x 0 tenglama nolmas x 0 yechimga ega bo‘lsa, son A operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas yechim x esa xos vektor deyiladi. Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki xos Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi. Ta’rif 1.24.[4] a) Barcha xos qiymatlar to‘plami A operatorning nuqtali spektri deyiladi va pp A bilan belgilanadi. Agar xos qiymat bo‘lmasa va Im A I X , ya‘ni A I operatorning qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday lar to‘plami A operatorning qoldiq spektri deyiladi va qol A bilan belgilanadi. X Banax fazosi va A L X Masalalar. bo‘lsin. Agar A 1 bo‘lsa, u holda I A1 L X va I A1 n0 An ekanligini ko‘rsating. X Banax fazosi va holda A: X X chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u A C: A ekanligini ko‘rsating. Yechish.Aytaylik, A bo‘lsin. I A I A , 1tengsizliklardan va 1-misoldan I A1 L X ekanligi kelib chiqadi. Bundan
Demak, A C: A . X Banax fazosi va holda A: X X chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u A yopiq to‘plam ekanligini isbotlang. Yechish. A C \ A to‘plamni ochiq to‘plam ekanligini isbotlash yetarli. Aytaylik, A va I A1 bo‘lsin.
I A1 I A1 1va
I A I AI I A1 munosabatdan A kelib chiqadi. Demak, A to‘plamning har bir nuqtasi o‘zining I A1 atrofi bilan birga Ato‘plamga tegishli bo‘ladi.Bundan A ochiq to‘plamdir. formula bilan aniqlanadi. Uning spektrini toping. Yechish. An operatorni darajasini bo‘laklab integrallash orqali topamiz: Anxt 1 t sn1 x sds. t n 1! 0 Bundan
An 1 n 1! . Demak, 1
lim1 n 0 n n 1! bo‘lganligidan, A operator spektral radiusi r A lim n 1 An n 0 . Demak, A 0. 5. C0,1 fazoda erkli o‘zgaruvchiga ko‘paytirish operatori berilgan: Axt txt , x C0,1. A operatorning spektrini toping. Yechish. I A xt t xt bo‘lganligidan, 1 uchun
I A1 xt 1
t x t , ya‘niI A1 operator chegaralangan operator bo‘ladi. 1daI A1 operator chegaralanmagan operator. Bundan
A 0,1. 6. A chegaralangan chiziqli operator. , A uchun R R R R tengligini isbotlang. Yechish. A I A I I tengligidan R 1 R 1 I . Bu tenglikni chapdan R ga ko‘paytirsak, u holda R R 1 I R . Oxirgi
tenglikni o‘ngdan R ga ko‘paytirsak, u holda R R R R . bob. Golomorf funksiyalarning xossalari Koshi teoremasi Kompleks tekislikda biror to‘girlanuvchi egrichiziqniolaylik. Egri chiziqni z0 , z1,..., zn nuqtalar yordamida n ta 1, 2 ,..., n yoylarga ajratamiz. k yoylarning
uzunliklari lk larning eng kattasi bilan belgilaymiz. max l . Aytaylik k 1kn ixtiyoriy k nuqta olib, so‘ng berilgan funksiyaning shu nuqtadagi qiymati f k qiymatini zk zk 1 ga ko‘paytirib, ushbu G f k zk zk1 k 1 yig‘indini tuzamiz.Odatda bu yig‘indi f z funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi. |
ma'muriyatiga murojaat qiling