Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo


Download 1.39 Mb.
bet4/7
Sana23.11.2020
Hajmi1.39 Mb.
#151129
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
амалий машғулот 5 БМКН


Teorema 1.5.[4] X Banax fazosi va

A L X . Agar

A q  1 bo‘lsa, u holda

I A operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.

Isbot. L X fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz:
I A A2  ...An ... .
5


Ma‘lumki,

A2

A 2 . Xuddi shuningdek,

An

A n . U holda 5

qatorning






n
S I Ak qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi,

k 1

ya‘ni

Snp Sn

An1 An2 ... Anp

qn1 qn2 ... qnp 0,

n   .



5 qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Sn

- fundamental ekan,



L X : L X , X to‘la bo‘lgani uchun Sn S L X . Shunday qilib,






I Ak S .

k 1


Bundan tashqari

n


S I A  lim S

n
I A limI A A2  ...  An A A2  ...  An1


n


 lim I An1I.

n
Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, I AS I . Demak, S operator I A

operator uchun teskari operator ekan. S operatorning normasi





S An

n0



n0

qn 1 .

1  q




Demak,

S I A1 operator chegaralangan.


Misol 2. Parameter ning

1 ; 1



qiymatlarida

 


I A f x


f x cos x sin yf y dy ,



f L2 ,


operatorga 4-teoremani qo‘llab, unga teskari operatorni toping.


Yechish.4-teoremani qo‘llashimiz uchun A operatorning darajalarini hisoblashimiz kerak. Dastlab A operatorni kvadratini hisoblaymiz:


A2 f x A cos xsin yf y dy cos x sin t cost sin yf y dy dt .

6



 

 

 



6 tenglikni t bo‘yicha integralini hisoblash mumkin. Agar biz



cost sin tdt  0




tenglikni hisobga olsak,

A2 0

ga ega bo‘lamiz.Bu tenglikdan barcha



n 2

larda


An 0

ekanligi kelib chiqadi.Natijada biz,



S I A I A1

ga ega

bo‘lamiz. Haqiqatan ham,
I AI A I A A 2A2 I

I AI A I A A 2A2 I


tenglik o‘rinli. Demak, barcha mavjudva chegaralangan bo‘ladi.

R

larda I A

operatorga teskari operator






    1. Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi




Faraz qilaylik

A: Cn Cn

chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror son



uchun Ax x

tenglama nolmas



x Cn

yechimga ega bo‘lsa, u holda son A



operatorning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa vektor deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to‘plami

uning spektri deb ataladi. Agar

C

son A operator uchun xos qiymat bo‘lmasa,


u operatorning regulyar nuqtasi deyiladi.Umuman olganda chekli o‘lchamli fazolarda spektr tushunchasi kam ishlatiladi.

Agar A operator cheksiz o‘lchamli X fazoda berilgan bo‘lsa, u holda 3 ta holat bo‘ladi, ya‘ni:

  1.  son uchun Ax x tenglama nolmas yechimga ega, ya‘ni son A

operator uchun xos qiymat, bu holda A I

emas;


ga teskari operator mavjud

  1.  son uchun

Сn fazoning hamma yerida aniqlangan A I 1

operator


mavjud va demak, chegaralangan;

3) A I 1

operator mavjud, ya‘ni Ax x

tenglama nol yechimga ega,


A I 1
operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki

Im A I X .


Ta’rif 1.21.[4] Agar

C

son uchun A I

ga teskari operator mavjud bo‘lib, u



X ning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa, son A operatorning regulyar nuqtasi

deyiladi,

R A A I 1

operator esa A operatorning nuqtadagi





rezolventasi deyiladi.Barcha regulyar nuqtalar to‘plami

A orqali belgilanadi.


Ta’rif 1.22.[4] A operatorning regulyar bo‘lmagan barcha nuqtalari to‘plami A

operatorning spektri deyiladi va u A

orqali belgilanadi.




Ta’rif 1.23.[4] Agar biror

 C



son uchun A I x 0

tenglama nolmas



x 0

yechimga ega bo‘lsa, son A operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas


yechim x esa xos vektor deyiladi.


Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki xos

qiymat bo‘lsa, A I

operatorning teskarisi mavjud emas.


Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi.


Ta’rif 1.24.[4] a) Barcha xos qiymatlar to‘plami A operatorning nuqtali spektri

deyiladi va pp A

bilan belgilanadi.



  1. Agar xos qiymat bo‘lmasa va

Im A I X , ya‘ni A I

operatorning



qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday lar to‘plami A

operatorning qoldiq spektri deyiladi va qol A bilan belgilanadi.





    1. X Banax fazosi va A L X

Masalalar. bo‘lsin. Agar

A  1 bo‘lsa, u holda

I A1  L X va I A1 

n0

An ekanligini ko‘rsating.


    1. X Banax fazosi va holda

A: X X

chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u



  • A C: A ekanligini ko‘rsating.




Yechish.Aytaylik, A

bo‘lsin. I A I A ,


 1tengsizliklardan





 
va 1-misoldan I A1 L X ekanligi kelib chiqadi.

Bundan
   A .



Demak, A C: A .


    1. X Banax fazosi va holda

A: X X

chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u



  • A yopiq to‘plam ekanligini isbotlang.

Yechish. A C \ A to‘plamni ochiq to‘plam ekanligini isbotlash yetarli.


Aytaylik,
A va
I A1

bo‘lsin.


I A1

  



I A1

 1va





I A I AI I A1 munosabatdan A kelib chiqadi.


Demak,

A to‘plamning har bir nuqtasi o‘zining



I A1

atrofi bilan birga


Ato‘plamga tegishli bo‘ladi.Bundan A ochiq to‘plamdir.




1

    1. A: C0,1 C0,1chiziqli operatori Axt xsds ,

0

x C 0,1

formula
bilan aniqlanadi. Uning spektrini toping.
Yechish. An operatorni darajasini bo‘laklab integrallash orqali topamiz:


Anxt

1 t sn1


x sds.


t
n 1! 0

Bundan


An 1

n 1!
. Demak,

1



lim1 n  0

n n 1!
bo‘lganligidan, A operator

spektral radiusi


r A lim



n
1

An n 0 . Demak, A0.


5. C0,1

fazoda erkli o‘zgaruvchiga ko‘paytirish operatori berilgan:




Axt txt , x C0,1. A operatorning spektrini toping.


Yechish. I A xt t xt

bo‘lganligidan,

  1 uchun



I A1 xt

1


  t

x t , yaniI A1

operator chegaralangan operator



bo‘ladi.

1daI A1

operator chegaralanmagan operator. Bundan


A 0,1.

6. A chegaralangan chiziqli operator. , A uchun


R R

R R tengligini isbotlang.


Yechish. A I A I I tengligidan R 1 R 1 I . Bu

tenglikni chapdan R ga ko‘paytirsak, u holda

R R 1 I R

. Oxirgi


tenglikni o‘ngdan R ga ko‘paytirsak, u holda

R R R R .

      1. bob. Golomorf funksiyalarning xossalari




    1. Koshi teoremasi


Kompleks tekislikda biror to‘girlanuvchi egrichiziqniolaylik. Egri chiziqni

z0 , z1,..., zn

nuqtalar yordamida n ta 1, 2 ,..., n

yoylarga ajratamiz. k  yoylarning


uzunliklari

lk larning eng kattasi bilan belgilaymiz.

  max l . Aytaylik




k
1kn

egri chiziqda

f z

funksiya berilgan bo‘lsin.Yuqoridagi har bir k

yoydan


ixtiyoriy k

nuqta olib, so‘ng berilgan funksiyaning shu nuqtadagi qiymati



f k


qiymatini

zk zk 1

ga ko‘paytirib, ushbu




G f k  zk zk1

k 1

yig‘indini



tuzamiz.Odatda bu yig‘indi

f z funksiyaning integral yig‘indisi deyiladi.


Download 1.39 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling