Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo

Asosiy tushuncha va ma’lumotlar

1. 
   Normalangan fazo
   

K maydon ustida X chiziqli fazoning har bir elementiga nomanfiy x haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lib, bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   x
   

 0  x  0

2. x   x ,   K , x  X

3. x  y  x  y , ^{x, y  X}

U holda X fazoni normalangan fazo deb ataymiz. deb ataladi.

x soni x elementning normasi

Agar

^  ^{x, y}^bilan

x  y

sonini belgilasak, u holda

 _ x, y_

metrika

bo‘ladi.Demak ixtiyoriy normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi. Shuning uchun metrikfazolarda kiritilgan tushunchalarga normalangan fazoda ham ta‘rif berishga bo‘ladi.

Ta’rif 1.1.[4] Biror x  X va ixtiyoriy   0 uchun shunday

ⁿ₀ ^{ n}₀ ^  ^{ 0 mavjud}

bo‘lib, barcha

n  n₀ larda

x_n  x  

^{tengsizlik bajarilsa,} ^xn^{ketma-ketlik x  X}

elementga yaqinlashadi deyiladi.
Ta’rif 1.2.[4] Agar ixtiyoriy

  0

son uchun shunday
n₀  n_{0 } _  0

mavjudbo‘lib, barcha

n  n₀

va ^{p  N} larda

^xn p ^{ x}n

^{  tengsizlik bajarilsa,} ^xn

- fundamental ketma-ketlik deyiladi.

^{Ta’rif 1.3.[4] Agar X chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy} ^xn^fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda X to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.

2. 
   Kompleks Evklid fazolari
   

Haqiqiy Evklid fazolari bilan bir qatorda kompleks Evklid fazolari ham qaraladi(ya‘ni skalyar ko‘paytma kiritilgan kompleks chiziqli fazo). Lekin haqiqiy Evklid fazolaridagi skalyar ko‘paytmaning aksiomalarikompleks Evklid fazolari uchun bir vaqtda bajarilmaydi. Haqiqiy Evklid fazolarida skalyar ko‘paytmaning aksiomalari quyidagicha edi:

1) _ x, x_  0

^{, x  E ;}  ^{x, x} ^{ 0  x  }

2) _ x, y_  _ y, x_ ,

x, y  E

3) _x, y_   _ x, y_ ,   R , ^{x, y  E}

4) _ x₁  x₂ , y_  _ x₁, y_  _ x₂ , y_, x₁, x₂ , y  E . Biz 2 va 3 dan quyidagiga ega bo‘lamiz

_x,x_   _ x,x_   _x, x_  ² _x, x_.

Agar

 С

bo‘lsa, u holda

  i

^bo‘lganda, ^ix,ix ^{ } ^{x, x} ^{, ya‘ni x va ix}

vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bir vaqtda musbat bo‘la olmaydi, bu esa 1- shartga zid, ya‘ni kompleks chiziqli fazolar holida 1,2 va 3-shartlar bir vaqtda bajarilishi mumkin emas. Demak, kompleks chiziqli fazolarda skalyar ko‘paytmaning shartlarini biroz o‘zgartirish kerak.

Kompleks chiziqli fazolarda skalyar ko‘paytmaning shartlarini keltiramiz:

1. _ x, x_  0

^{, x  E ;}  ^{x, x} ^{ 0  x  }

2. _ x, y_  _ y, x_ ,

x, y  E

3. _x, y_   _ x, y_ ,  С , ^{x, y  E}

4. _ x₁  x₂ , y_  _ x₁, y_  _ x₂ , y_, x₁, x₂ , y  E .

^{2 va 3 dan}  ^{x, y} ^{ }  ^{x, y}

kelib chiqadi. Haqiqatan ham

_ x, y_  _ y, x_   _ y, x_  _ y, x_   _x, y_.
Kompleks Evklid fazolarida ham elementning normasi xuddi haqiqiy Evklid fazolari holidagidek
f  yoki x 
formula bilan aniqlanadi. Bu fazoda ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi

kiritilmaydi, lekin vektorlarning ortogonallik tushunchasi saqlanib qoladi. Ya‘ni,

^agar  ^{x, y} ^{ 0}

bo‘lsa, u holda x va y vektorlar o‘zaro ortogonal deyiladi.

^{Ta’rif 1.4.[4] Agar} ^{ ,}

_{  }1, agar, n  m

^{bo‘lsa, nolmas} ^  ^{ E}
sistema


n m

ortogonal sistema deyiladi.

^0, agar, n  m. ⁿ

Xuddi haqiqiy Evklid fazolaridagi kabi,

^{сn }  ^{f ,n} ^{,n  N}

sonlar ^{f  E}

^vektorning ^n ^{orthogonal sistemadagi Fur‘e koeffisiyentlari deyiladi.}

_^{cnn qator f vektorning} ^n

n1
sistemadagi Fur‘e qatori deyiladi. Bu yerda ham

Bessel tengsizligi o‘rinli:

_ c_n 

f ² .



2
n1
Ta’rif 1.5.[4] Cheksiz o‘lchamli to‘la kompleks Evklid fazosi kompleks Hilbert fazosi deyiladi.

3. 
   Chiziqli uzluksiz operatorlar
   

Agar X vaY chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin.

Ta’rif 1.6.[4] X fazodan olingan har bir x elementga Y fazoning yagona y

elementini mos qo‘yuvchi ^{Ax  y}

akslantirish operator deyiladi.

D_ A_ _x  X : Ax mavjud va Ax Y_ga A operatorning aniqlanish soxasi deyiladi.

Ta’rif 1.7.[4] Agar ixtiyoriy

x, y  D_ A_  X

elementlar va ixtiyoriy

,  C

sonlar uchun

A_ x   y_   Ax   Ay

tenglik o‘rinli bo‘lsa, A operatorga

chiziqli deyiladi.
Ta’rif 1.8.[4] Bizga

A: X Y
operator va x₀  D_ A_

nuqta berilgan bo‘lsin.

Agar

y₀  Ax₀ Y

ning ixtiyoriy V atrofi uchun, x₀

nuqtaning shunday U atrofi

mavjud bo‘lib, ixtiyoriy

x U  D_ A_lar uchun Ax V

bo‘lsa, A operator

x  x₀

nuqtada uzluksiz deyiladi.
Ta’rif 1.9.[4] Agar ixtiyoriy

  0

son uchun shunday
   _ _  0

mavjud

bo‘lib,

x  x₀  

^{tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x  D} ^A^{lar uchun}

A_ x_  A_ x_{0 }  

deyiladi.

tengsizlik bajarilsa, A operator

x  x₀

nuqtada uzluksiz

Ta’rif 1.10.[4] Agar x₀

nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy

x_n ketma-ketlik uchun

Ax_n  Ax₀

 0 bo‘lsa, u holda A operator ^x₀

nuqtada uzluksiz deyiladi.

Ta’rif 1.11.[4] Ax   tenglikni qanoatlantiruvchi barcha x  X

lar to‘plami A

operatorning yadrosi deyiladi va u K er A deb belgilanadi.

Ta’rif 1.12.[4] Biror

x  D_ A_

uchun ^{y  Ax}

bajariladigan ^{y Y} lar to‘plami A

operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va Im A yoki belgilanadi.

R_ A_

bilan

K er A _x  D_ A_: Ax  _,

^R ^A^:

 Im A _y Y :

^{biror x  D}  ^A

uchun y  Ax_.

Ta’rif 1.13.[4] X fazoniY fazoga akslantiruvchi A chiziqli operator berilgan

bo‘lsin. Agar A ning aniqlanish sohasi

D_ A_  X bo‘lib, har qanday

chegaralangan to‘plamni yana chegaralangan to‘plamga akslantirsa, A ga chegaralangan operator deyiladi.