Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo


Download 1.39 Mb.
bet3/7
Sana23.11.2020
Hajmi1.39 Mb.
#151129
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
амалий машғулот 5 БМКН


Teorema 1.1.[4] Agar Y fazo to‘la bo‘lsa, u holda Banax fazosi bo‘ladi.
L X ,Y

fazo ham to‘la, ya‘ni



Isbot.An L X ,Y ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bolsin, yani

n,m da

An Am

0.

U holda ixtiyoriy x X

uchun



An x Am x

An Am

x 0,



n,m .

Shuning uchun

x X

da Anx Y

ketma-ketlik fundamentaldir.Y to‘la fazo



bolgani uchun An x

ketma-ketlik biror y Y

elementga yaqinlashadi. Demak,


har bir x X

ga Anx

ketma-ketlikni limiti bo‘lgan yagona y Y

element mos


qo‘yilyapti. Bu moslikni

A: X Y

orqali belgilaymiz:



Ax lim A x y.


n
n

Endi


A L X ,Y

ekanligini ko‘rsatamiz. Chiziqliligi:




A1x1 2x2 lim An 1x1 2x2 lim1An x1 2 An x2

n n

 1 lim An x1 2 lim An x2 1y1 2 y2 1Ax1 2 Ax2 .



n n
Endi A ning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.Shartga ko‘ra,

An Am

0,



n,m .

Demak,


An Am

An Am

0,

n,m  .


Bundan

An

sonli ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi.Haqiqiy



sonlar fazosi R to‘la bo‘lgani uchun,

An

sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchidir,



yaqinlashuvchi ketma-ketlik esa chegaralangan bo‘ladi.Ya‘ni shunday

K 0

son


mavjudki,

nN

uchun

An K

tengsizlik bajariladi.Norma ta‘rifidan




An x

An x

K x .

Bundan esa

Ax

lim A x


n
n

lim



n

An x

K x .

Endi


An

ketma-ketlikni chiziqli operatorlar fazosi



L X ,Y

da A ga yaqinlashishini



ko‘rsatamiz.  0 son uchun

n0

son mavjudki, barcha

n n0 , p N

va x 1




lar uchun

An p x An x

tengsizlik bajariladi. Agar so‘nggi tengsizliklardan




p  da limitga o‘tsak va normaning uzluksizligidan foydalansak, ixtiyoriy


n n0 va

x  1

lar uchun



Ax An x

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Shuning



uchun

n n0 da

A An

sup



x 1

Ax An x

  . Demak,



L X ,Y

fazodagi norma




n
ma‘nosida lim A A. Shunday qilib,

n

L X ,Y

fazo to‘la fazo ekan.






    1. Teskari operatorlar

Bizga

A: X Y

operator berilgan bo‘lsin. D A uning aniqlanish sohasi, Im A


esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin.




Ta’rif 1.20.[4] Agar ixtiyoriy

y Im A

uchun Ax y

tenglama yagona yechimga

ega bo‘lsa, u holda A teskarilanuvchan operator deyiladi.




A:Y X ,

D A1 Im A, Im A1 D A.

Bundan tashqari teskari


operatorning aniqlanishidan



A1Ax x,

x D A,

AA1y y,

y D A1 1

tengliklar kelib chiqadi.




Teorema 1.2.[4] A chiziqli operatorga teskari bo‘lgan chiziqlidir.

A1

operator ham




Isbot.

Im A D A1bo‘lgani uchun ixtiyoriy

1,1 sonlar va ixtiyoriy



y1, y2 Im A elementlar uchun


A1 x

  • x



A1 y

  A1y

2


1 1 2 2 1 1 2 2

tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatish yetarli.


Ax1 y1 va Ax2 y2
deymiz. A

chiziqli bo‘lgani uchun

A1x1 2x2 1y1 2 y2

3

. Teskari operator


ta‘rifiga ko‘ra,

x A1y , x A1y . Bu tengliklarni mos ravishda va

1 1 2 2 1 2

sonlarga ko‘paytirib qo‘shsak, x x A1y A1y

. Ikkinchi tomondan,



1 1 2 2 1 1 2 2

3 danva teskari operatorning ta‘rifidan

x x A1 y y bo‘ladi.



1 1 2 2 1 1 2 2


Teorema 1.3.[4]

A: X Y chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun

Ax

tenglama faqat x

yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.



Teorema 1.4.[4] X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga

akslantiruvchi chiziqli A operator berilgan bo‘lsin. Im A da chegaralangan

A1

operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday

x D A lar uchun

m 0

son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy



Ax m x

4


tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.


Isbot.Zaruriyligi. A1operator mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya‘ni


A1y

y , y D A1.


U holda

Ax

y m

A1 y

m x .




Yetarliligi. 4shartdan A operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi.

Teskarisini faraz qilaylik, 4

shart bajarilsinu A o‘zaro bir qiymatli akslantirish



bo‘lmasin. U holda shunday

x1, x2 D A,

x1 x2 elementlar mavjudki,


Ax1 y ,

Ax2 y . Bundan

A x1 x2

ekanligi kelib chiqadi. 4tengsizlikka




ko‘ra x

Ax , ixtiyoriy

y Ax Im A

uchun


A1y

y . Bu yerdan

A1


operatorning chegaralangan ekanligi hamda

A 1

m

tengsizlik kelib chiqadi.




Misol 1. С0,1fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni
B : C0,1 C0,1, Bf  x xf x
operatorni qaraymiz. Bu operator teskarilanuvchan operator bo‘ladimi?


Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi

Bf 0

tenglamani,



ya‘ni

xf x 0

tenglamani qaraymiz.Bu tenglama



С0,1

da faqat


f x  0

yechimga ega. B operator 2-teoremani shartlarini qanoatlantiradi. Demak, B

teskarilanuvchan operator, ya‘ni B ga teskari operator mavjud.


Download 1.39 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling