Asosiy tushuncha va ma’lumotlar Normalangan fazo
Download 1.39 Mb.
|
амалий машғулот 5 БМКН
- Bu sahifa navigatsiya:
- Teskari operatorlar
Teorema 1.1.[4] Agar Y fazo to‘la bo‘lsa, u holda Banax fazosi bo‘ladi. L X ,Y fazo ham to‘la, ya‘ni Isbot.An L X ,Y ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik bo‘lsin, ya‘ni n,m da An x Am x An Am x 0, n,m . Shuning uchun x X da Anx Y ketma-ketlik fundamentaldir.Y to‘la fazo bo‘lgani uchun An x ketma-ketlik biror y Y elementga yaqinlashadi. Demak,
har bir x X ga Anx ketma-ketlikni limiti bo‘lgan yagona y Y element mos
qo‘yilyapti. Bu moslikni A: X Y orqali belgilaymiz: Ax lim A x y. n n Endi
A L X ,Y ekanligini ko‘rsatamiz. Chiziqliligi: A1x1 2x2 lim An 1x1 2x2 lim1An x1 2 An x2 n n 1 lim An x1 2 lim An x2 1y1 2 y2 1Ax1 2 Ax2 . n n Endi A ning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.Shartga ko‘ra, An Am 0, n,m . Demak,
An Am An Am 0,
Bundan An sonli ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi.Haqiqiy sonlar fazosi R to‘la bo‘lgani uchun, An sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchidir, yaqinlashuvchi ketma-ketlik esa chegaralangan bo‘ladi.Ya‘ni shunday K 0 son
mavjudki, n N uchun
tengsizlik bajariladi.Norma ta‘rifidan An x An x K x . Bundan esa
lim n An x K x . Endi
ko‘rsatamiz. 0 son uchun n0 son mavjudki, barcha
va x 1 lar uchun An p x An x tengsizlik bajariladi. Agar so‘nggi tengsizliklardan n n0 va x 1 lar uchun Ax An x tengsizlikka ega bo‘lamiz. Shuning uchun n n0 da A An sup x 1 Ax An x . Demak, L X ,Y fazodagi norma n ma‘nosida lim A A. Shunday qilib, n L X ,Y fazo to‘la fazo ekan. Teskari operatorlar Bizga A: X Y operator berilgan bo‘lsin. D A uning aniqlanish sohasi, Im A esa uning qiymatlar sohasi bo‘lsin. ega bo‘lsa, u holda A teskarilanuvchan operator deyiladi. A:Y X , D A1 Im A, Im A1 D A. Bundan tashqari teskari operatorning aniqlanishidan A1Ax x, x D A, AA1y y, y D A1 1 tengliklar kelib chiqadi. Teorema 1.2.[4] A chiziqli operatorga teskari bo‘lgan chiziqlidir. A1 operator ham y1, y2 Im A elementlar uchun A1 x x A1 y A1y 2
1 1 2 2 1 1 2 2 tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatish yetarli. Ax1 y1 va Ax2 y2 deymiz. A chiziqli bo‘lgani uchun A1x1 2x2 1y1 2 y2 3 . Teskari operator
ta‘rifiga ko‘ra, x A1y , x A1y . Bu tengliklarni mos ravishda va 1 1 2 2 1 2 sonlarga ko‘paytirib qo‘shsak, x x A1y A1y . Ikkinchi tomondan, 1 1 2 2 1 1 2 2 3 danva teskari operatorning ta‘rifidan x x A1 y y bo‘ladi. 1 1 2 2 1 1 2 2 Teorema 1.3.[4] A: X Y chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun Ax tenglama faqat x yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
akslantiruvchi chiziqli A operator berilgan bo‘lsin. Im A da chegaralangan A1 operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday x D A lar uchun m 0 son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy Ax m x 4 tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli. Isbot.Zaruriyligi. A1operator mavjud va chegaralangan bo‘lsin, ya‘ni A1y y , y D A1. U holda Ax y m A1 y m x . Yetarliligi. 4shartdan A operatorning o‘zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi. bo‘lmasin. U holda shunday x1, x2 D A, x1 x2 elementlar mavjudki, Ax1 y , Ax2 y . Bundan A x1 x2 ekanligi kelib chiqadi. 4tengsizlikka operatorning chegaralangan ekanligi hamda A 1 m tengsizlik kelib chiqadi. Misol 1. С0,1fazoda x ga ko‘paytirish operatorini, ya‘ni B : C0,1 C0,1, Bf x xf x operatorni qaraymiz. Bu operator teskarilanuvchan operator bo‘ladimi? Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi Bf 0 tenglamani, ya‘ni xf x 0 tenglamani qaraymiz.Bu tenglama С0,1 da faqat
f x 0 yechimga ega. B operator 2-teoremani shartlarini qanoatlantiradi. Demak, B teskarilanuvchan operator, ya‘ni B ga teskari operator mavjud.
|
ma'muriyatiga murojaat qiling