Август 2020 17-қисм
Download 0.76 Mb. Pdf ko'rish
|
17.Fizika matematika 2 qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- EYLER TEOREMASI VA UNING TADBIQI
- Kalit so‘zlar
- Teorema: (Eyler teoremasi)
- 1-masala: 100 37 ni 16 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. Yechish
- Август 2020 17-қисм Тошкент
- 2-masala: 2 0 0 2 7 2 ni 352 ga bo’lgandagi qoldiqni toping. Yechish
- Август 2020 17-қисм Тошкент FUNKSIYA INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI VA BU USULLAR YORDAMIDA TIPIK MASALALARNI YECHISH
- II toifali matematika fani oqituvchisi Telefon: +99899-494-11-44
|
Август 2020 17-қисм
Тошкент EYLER TEOREMASI VA UNING TADBIQI Oltiboyev Davrbek Nodirbek o‘g‘li O‘zbekiston Milliy Universiteti, Matematika fakulteti talabasi Telefon: +998998391276 davrbek_oltiboev@mail.ru EYLER TEOREMASI VA UNING TADBIQI Oltiboyev Davrbek Nodirbek o‘g‘li O‘zbekiston Milliy Universiteti, Matematika fakulteti talabasi Telefon: +998998391276 davrbek_oltiboev@mail.ru Annotatsiya: Ushbu maqolada sonlar nazariyasida mashhur bo‘lgan Eyler teoremasi o‘zgacha isboti va undan kelib chiqadigan ajoyib natija keltirilgan. Eyler teoremasini yaxshi bilish maktab o’quvchilari va olimpiadaga tayyorgarlik ko‘ruvchilar uchun murakkab masalalarni yechishda foyda beradi. Maqola so‘ngida berilgan masalalarda Eyler teoremasining afzalligini ko‘rish mumkin. Kalit so‘zlar: Eyler funksiyasi, bo‘luvchi, element, tub, o‘zaro tub, taqqoslama, qoldiq. Ta’rif: Musbat sonlar ustida aniqlangan hamda, n N soniga n dan kichik va n bilan o‘zaro tub sonlar sonini mos qo‘yadigan funksiyaga Eyler funksiyasi deyiladi. Eyler funksiyasi ( ) n kabi belgilanadi. Misol: (1) 1 , (2) 1 , (3) 2 , (4) 2 , (5) 4 , ( ) 1 p p va h.k.z Teorema: (Eyler teoremasi) O‘zaro tub bo‘lgan a va n ( 1) n sonlari uchun quyidagi munosabat o‘rinli : ( ) 1(mod ) n a n Isbot: Aytaylik, ( ) n k bo‘lsin. n dan kichik va n bilan o‘zaro tub bo‘lgan turli 1 2 , ,..., k r r r sonlari uchun 1 2 , ,..., k ar ar ar sonlarni qaraymiz. U holda 1 1 (mod ) ar s n , 2 2 (mod ) ar s n ,…, (mod ) k k ar s n bo’ladi. Bu yerda 1 2 , ,..., k s s s lar o‘zaro teng bo‘lmagan sonlar. Haqiqatan, agar qaysidir ,i j lar uchun i j s s bo‘lsa, u holda (mod ) i i ar s n , (mod ) j j ar s n ekanligidan mos hadlarni ayirib yuborsak ( ) ( )(mod ) 0(mod ) i j i j a r r s s n n kelib chiqadi. ( , ) 1 a n bo‘lgani uchun 0(mod ) i j r r n bo‘ladi , ya‘ni i j r r . Bu esa k r sonlarning turli ekanligiga zid. Shuningdek, 1 2 , ,..., k s s s sonlarning barchasi n bilan o‘zaro tub ekanligini ko‘rish qiyin emas. Chunki, a va k r lar o‘zaro tub edi. Bundan esa 1 2 1 2 ... ... k k r r r s s s tenglik kelib chiqadi. Endi (mod ) i i ar s n taqqoslamalarni hadma-had ko‘paytirsak, 1 2 1 2 ... ... (mod ) k k k a r r r s s s n munosabatga ega bo’lamiz. Demak, 1(mod ) k a n . � Natija: Agar Eyler teoremasida n soni o‘rniga biror p tub son olinsa, u holda ( ) 1 p p ekanligidan quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: 1 1(mod ) p a p . Ushbu taqqoslamaning ikkala tarafini a ga ko‘paytirsak, (mod ) p a a p tenglik kelib chiqadi. Bu munosabat Fermaning kichik teoremasi deyiladi. 1-masala: 100 37 ni 16 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. Yechish: Avval asos 37 ni 16 ga bo‘lgandagi qoldiq bilan almashtirib olamiz: 37 5(mod16) . (5,16) 1 bo‘lganligi uchun Eyler teoremasiga ko‘ra (16) 5 1(mod16) . 69 Август 2020 17-қисм Тошкент Bilamizki, (16) 8 8 5 1(mod16) .Demak, 100 100 8 12 4 4 37 5 (5 ) 5 5 625 1(mod16) . 2-masala: 2 0 0 2 7 2 ni 352 ga bo’lgandagi qoldiqni toping. Yechish: Demak biz 2002 7 2 (mod352) x va 0 352 x shartlarni qanoatlantiruvchi x ni topishimiz kerak. Bilamizki, 5 352 2 11 tenglik o‘rinli, shu sababli 2002 7 5 (2 ,352) 2 , bundan kelib chiqadiki 5 1 2 x x . Taqqoslamaning uchta hadini ham 5 2 ga qisqartirib yuborsak, 2002 7 5 1 2 (mod11) x ga ega bo‘lamiz. Bilamizki, (2,11) 1 va (11) 10 tengliklar o‘rinli. Eyler teoremasiga ko‘ra, 10 2 1(mod11) .Endi biz 2002 7 5 ni 10 ga bo‘lgandagi qoldiqni topamiz ya‘ni, 2002 7 5 (mod10) y va 0 10 y shartlarni qanoatlantiruvchi y ni topamiz. Bu holatda, 2002 7 5 2 2 (mod11) y bo‘ladi va bundan esa 1 2 (mod11) y x kelib chiqadi. Bilamizki, (7,10) 1 va (10) 4 tengliklar o‘rinli. Eyler teoremasiga ko‘ra, 4 7 1(mod10) . Sodda hisob kitoblarga ko‘ra: 2002 4 500 2 7 5 (7 ) 7 5 9 5 4(mod10) ga ega bo‘lamiz. Demak, 4 y va 4 1 2 (mod11) x 1 5 x bo‘ladi. Belgilashimizga ko‘ra, 1 32 32 5 160 x x . Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati: 1. Engel, A., Problem-Solving Strategies, Problem Books in Mathematics, Springer, 1998. 2. Number Theory-Structures, Examples, and Problems- Titu Andreescu, Dorin Andrica. 3. Algebra va sonlar nazariyasi- Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov, Toshkent – 2019 70 Август 2020 17-қисм Тошкент FUNKSIYA INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI VA BU USULLAR YORDAMIDA TIPIK MASALALARNI YECHISH Usmonova Nigoraxon Alisherovna Farg'ona viloyati Buvayda tumani 15-umumiy o'rta ta'lim maktabining II toifali matematika fani o'qituvchisi Telefon: +99899-494-11-44 FUNKSIYA INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI VA BU USULLAR YORDAMIDA TIPIK MASALALARNI YECHISH Usmonova Nigoraxon Alisherovna Farg'ona viloyati Buvayda tumani 15-umumiy o'rta ta'lim maktabining II toifali matematika fani o'qituvchisi Telefon: +99899-494-11-44 Annotatsiya: Ushbu maqolada funksiyalarni integrallashning asosiy usullarini tipik masalalarga qo'llash hamda metodik ko'rsatmalari bilan berilgan. Kalit so'zlar: funksiya, hosila, aniqlanmas integral, differensiyalash. Hozirgi zamon ilmiy-texnika taraqqiyoti sharoitida maktablarda yuqori malakali mutaxasislar tayyorlash borasida fizika-matematika fanlariga katta e'tibor berilyapti. Oliy matematika kursi bo'yicha chuqur va har tomonlama bilim egallash uchun faqat asosiy nazariy materialning o'zi yetarli bo'lmasdan, maxsus tanlangan misol va masalalarni yetarlicha yechish ham zarur bo'lyapti. Quyida siz funksiyalarni integrallashning asosiy usullariga doir ayrim masalalarning yechimlari bilan tanishasiz. Quyidagilar integrallashning asosiy usullari hisoblanadi: 1. Yoyib integrallash usuli. 2. Bevosita integrallash usuli. 3. O'rniga qo'yish usuli. 4. Bo'laklab integrallash usuli. 1. Yoyish(Integrallash ostidagi ifodani yoyib integrallash) usuli. Agar f(x)=f�(x)±f�(x) bo'lsa, u holda aniqmas integralning xossasiga ko'ra yozish mumkin: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) = ∫ 𝑓₁(𝑥)𝑑(𝑥) ± ∫ 𝑓₂(𝑥)𝑑(𝑥) 1-misol. ∫ �³���²����� �² d(x)= ∫ (𝑥 − 2 + � � + � �² ) d(x)= ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 2∫ 𝑑𝑥 + 3∫ �� � + ∫ �� �² = �² � - 2x+3ln(x)- � � +c. 2-misol. cos( � � ) ²dx= � � ∫ (1 + cos 𝑥)𝑑𝑥 = � � ∫ 𝑑𝑥 + � � ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = � � (x+sin 𝑥)+c. 2. Bevosita integrallash usuli. Bu usul asosida quyidagicha qoida yotadi: unga ko'ra aniqmas integrallarni hisoblaganda integrallash o'zgaruvchisi x erkli o'zgaruvchi yoki z=φ(x) funksiyadan iborat bo'lishidan qat'iy nazar integrallar jadvalini tatbiq qilish mumkin. Bu usulni aniq misollarda ko'ramiz. 1-misol. ∫ �� ����² = � � ∫ �(��) ��(��)² = � � arctg3x+c. 2-misol. ∫ ��� ��� ������� =- � � ∫ �(�������) ������� =- � � ln|2-3sinx|+c. 3-misol. ∫ 2 � 𝑒 � dx=∫ (2𝑒) � 𝑑𝑥 = �� � ���� + 𝑐 = � � � � ����� + 𝑐. 4-misol. ∫ �� √���� � = � √� ∫ �(√��) �(�) � �(��) � = � √� 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 √�� √� +c. 5-misol. ∫ cos(𝑙𝑔𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛10∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑔𝑥)𝑑(𝑙𝑔𝑥) = 𝑙𝑛10𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑔𝑥) + 𝑐. 3. O'rniga qo'yish usuli. 71 Август 2020 17-қисм Тошкент O'rniga qo'yish usuli bilan integrallashning mohiyati shundan iboratki, integrallash o'zgaruvchisi xni yangi t o'zgaruvchi bilan qulay almashtirib, berilgan integralni ancha soddaroq integralga yoki jadval integraliga keltiradi. Masalan, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 integralda x o'zgaruvchini x=φ(t), dx=φ'(t)dt formula bo'yicha t o'zgaruvchi bilan almashtiraylik. U holda: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓〔𝜑(𝑡)]𝜑′(𝑡)𝑑𝑡. 1-misol. ∫ 𝑥�3 − 2𝑥 � � 𝑑𝑥. √3 − 2𝑥 � � = 𝑡 deymiz. U holda 3-2𝑥 � =𝑡 � . Ikki tomonni differensiallaymiz: -8𝑥 � dx=2tdt, 𝑥 � 𝑑𝑥 = − � � 𝑡𝑑𝑡. Demak, ∫ 𝑥 � √3 − 2𝑥 � 𝑑𝑥 = − � � ∫ 𝑡 � 𝑑𝑡 = − � � ∗ � � � + 𝑐 = − � �� �(3 − 2𝑥 � ) � + 𝑐 (bu yerda 𝜑(𝑥) = √3 − 2𝑥 � ) 4. Bo'laklab integrallash usuli. Ma'lumki, agar u(x) va v(x)lar x o'zgaruvchining birorta differensiallanuvchi funksiyalari bo'lsa, u holda: d(uv)=du*v+dv*u va udv=d(uv)-vdu Keyingi tenglikni har ikki tomonini integrallab, ∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢𝑣) − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ni yoki ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 tenglikni hosil qilamiz. Bu ohirgi formulaga bo'laklab integrallash formulasi deyiladi. Bo'laklab integrallashning mohiyati shundan iboratki, berilgan integralni hisoblashda integral ostidagi f(x)dx ifodani u*dv ko'paytma shaklida tasvirlab va ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 formulani tadbiq qilib, berilgan ∫ 𝑢𝑑𝑣 integralni ∫ 𝑣𝑑𝑢 jadval integrali yoki osongina olinadigan integral bilan almashtiramiz. Buni quyidagi misol orqali tushuntiramiz. Misol: ∫ (𝑥 − 1)𝑙𝑛𝑑𝑥. 𝑙𝑛𝑢 = 𝑢, 𝑑𝑢 = �� � deymiz, u holda (x-1)dx=dv, 𝑣 = � � � − 𝑥. formulaga ko'ra: ∫ (𝑥 − 1)𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = ( 𝑥 � 2 − 𝑥)𝑙𝑛𝑥 − ∫ ( 𝑥 � 2 − 𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 = ( 𝑥 � 𝑥 − 𝑥)𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 � 4 + 𝑥 + 𝑐. Foydalanilgan adabiyotlar: 1. “Сборник задач по курсу математического анализа”. Берман.Г.Н. 2. “Oliy matematika” uslubiy qo'llanma. (17-қисм) Download 0.76 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|