Bir va bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyalarining differentsial hisoblari

Differentsial tenglamalar turlari

Birinchi darajadagi differentsial tenglamalar bilan bog'liq deyarli barcha nazorat ishlarida tenglamalarning 3 turi mavjud: bir hil, o'zgaruvchan o'zgaruvchan, chiziqli bir hil bo'lmagan.
Tenglamaning noyob turlari ham mavjud: total differentsiallar bilan, Bernulli tenglamalari va boshqalar.

Qaror asoslari

Birinchidan, siz maktab kursidan algebraik tenglamalarni eslab qolishingiz kerak. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Oddiy tenglamani echish uchun berilgan shartni qanoatlantiradigan sonlar to'plamini topish kerak. Qoida tariqasida, bunday tenglamalar bitta ildizga ega edi va to'g'riligini tekshirish uchun faqat ushbu qiymatni noma'lum o'rniga almashtirish kerak edi.
Differentsial tenglama shunga o'xshash. Umuman olganda, bunday birinchi darajali tenglama quyidagilarni o'z ichiga oladi:

• 
  Mustaqil o'zgaruvchi.
  
• 
  Birinchi funktsiya hosilasi.
  
• 
  Funktsiya yoki bog'liq o'zgaruvchi.
  

Ba'zi hollarda, noma'lumlardan biri, x yoki y yo'qolib qolishi mumkin, ammo bu unchalik muhim emas, chunki yuqori darajadagi hosilalarsiz birinchi hosilaning mavjudligi eritma va differentsial hisobning to'g'ri bo'lishi uchun zarurdir.
Differentsial tenglamani echish degani, berilgan ifodaga mos keladigan barcha funktsiyalar to'plamini topish demakdir. Shunga o'xshash funktsiyalar to'plami ko'pincha umumiy DE echimi deb nomlanadi.

Integral hisob

Integral hisoblash - bu integral tushunchasini, uni hisoblash xususiyatlari va usullarini o'rganadigan matematik tahlilning bir sohasi.
Integralni hisoblash ko'pincha egri figuraning maydonini hisoblashda uchraydi. Ushbu maydon ma'lum bir rasmga yozilgan ko'pburchakning maydoni tomonining asta-sekin o'sishiga intilishining chegarasini bildiradi, shu bilan birga bu tomonlar ilgari ko'rsatilgan har qanday o'zboshimchalik kichik qiymatidan kamroq bajarilishi mumkin.

Ixtiyoriy geometrik figuraning maydonini hisoblashda asosiy g'oya to'rtburchakning maydonini hisoblash, ya'ni uning maydoni uzunlik va kenglik ko'paytmasiga tengligini isbotlashdir. Geometriya haqida gap ketganda, barcha konstruktsiyalar o'lchagich va kompas yordamida amalga oshiriladi, so'ngra uzunlikning kenglikka nisbati ratsional qiymatdir. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashda uning yoniga bir xil uchburchakni qo'ysangiz, to'rtburchak hosil bo'lishini aniqlash mumkin. Parallelogrammada maydon shu kabi, ammo biroz murakkabroq usulda to'rtburchak va uchburchak orqali hisoblanadi. Ko'pburchaklar ichida maydon unga kiritilgan uchburchaklar orqali hisoblanadi.
Ixtiyoriy egri chiziqning maydonini aniqlashda ushbu usul ishlamaydi. Agar biz uni birlik kvadratlarga ajratsak, u holda bo'sh joylar bo'ladi. Bunday holda, ular ikkita qopqoqdan foydalanishga harakat qilishadi, yuqori va pastki qismida to'rtburchaklar, natijada ular funktsiya grafigini o'z ichiga oladi va yo'q. Ushbu to'rtburchaklar ichiga bo'lish usuli bu erda muhim bo'lib qolmoqda. Bundan tashqari, agar biz tobora kamayib borayotgan bo'limlarni olsak, unda yuqoridagi va pastdagi maydon ma'lum bir qiymatga yaqinlashishi kerak.
To'rtburchaklarga bo'lish usuliga qaytishingiz kerak. Ikkita mashhur usul mavjud.
Riman Leybnits va Nyuton tomonidan yaratilgan integralning ta'rifini subgraf maydoni sifatida rasmiylashtirdi. Bunday holda, ma'lum bir sonli vertikal to'rtburchaklardan tashkil topgan va segmentni bo'lish yo'li bilan olingan raqamlar ko'rib chiqildi. Qachon bo'linishni kamayishi bilan, bunday raqamning maydoni kamaytiriladigan chegara bo'lsa, bu chegara berilgan segmentdagi funktsiyani Rimann integrali deb ataladi.
Ikkinchi usul - Lebesg integralining qurilishi, bu aniqlangan hududni integralning qismlariga ajratish va keyin olingan qismlardan integral yig'indini shu qismlarga yig'ish joyi uchun uning qiymatlari oralig'i intervallarga bo'linishidan iborat.va keyin bu integrallarning teskari tasvirlarining mos o'lchovlari bilan yig'iladi.