Book · November 019 citation reads 4,694 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

 
§ 1. Язык логических и математических знаков 
1.1. Высказывания и предикаты 
Высказыванием 
называется 
повествовательное 
предложение, 
относительно которого имеет смысл однозначно говорить, истинно оно или 
ложно. 
Приведем примеры. «Все рыбы умеют плавать», «От перестановки 
мест слагаемых сумма чисел не изменится» – истинные высказывания. 
«Каждый год содержит 365 дней» – ложное высказывание. Ясно, что 
вопросительные, 
восклицательные, 
повелительные 
предложения 
высказываниями не являются. Например, «Который час?», «Найдите сумму 

---

9
9 
чисел 10 и 15» или «Ребята, давайте жить дружно!». Эти предложения несут 
другую смысловую нагрузку и логикой не анализируются. 
Предложение «2014-й десятичный знак после запятой числа 
7
1
равен 
1» также является высказыванием, хотя кому-то будет сложно установить (по 
крайней мере, сразу), истинно оно или ложно. Имеем задачу: найти 2014-ый 
знак после запятой у данного числа. Тем не менее уровень наших знаний и 
умение решать задачи не влияют на истинность высказывания. Если кто-то 
плохо знает историю, то ему будет сложно определить истинность 
высказывания о том, что Вторая мировая война началась в 1939 г. Иногда 
одно и то же предложение можно по-разному интерпретировать, например в 
зависимости от контекста. Скажем, фраза «Число 3 красное» в обычном 
понимании не имеет смысла, однако если ученику начальных классов 
показали число 3, записанное на карточке красным цветом, то в этом смысле 
фраза является верной. В дальнейшем мы не будем останавливаться на 
подобных нюансах, так как это никак не влияет на понимание основ логики, 
которая, как было замечено ранее, интересуется способами конструкции 
предложений, не вдаваясь в содержание. 
Рассмотрим теперь такое предложение: «Ученик является 
отличником», понимая под отличником того, кто в данный момент времени 
имеет в дневнике только пятерки. Само по себе это предложение 
высказыванием не является, так как нельзя определить его истинность или 
ложность. Если иметь в виду какого-то определенного ученика, то тогда 
можно будет говорить о том, верно это предложение или нет. Таким образом, 
данное предложение легко превратить в высказывание, указав ученика, о 
котором говорится в предложении. В логике подобные предложения 
называются высказывательными формами, или предикатами. 
В обычном смысле термин «предикат» происходит от английского 
термина predicate, что в переводе на русский язык означает сказуемое (это то, 
о чем говорится в предложении). Поэтому в общем случае под предикатом 
понимают предложение, в котором утверждается, что неизвестный объект 
обладает каким-то свойством. В приведенном примере говорится о свойстве 
«быть отличником». Неизвестный объект обозначают буквой, которую 
называют переменной. Рассмотренное выше предложение можно 
сформулировать так: «Ученик х является отличником». Если вместо 
переменной х подставить имя конкретного объекта (в нашем случае, – имя 
ученика), то получим высказывание. Заметим, что в обыденной речи при 

---

10
10 
формулировке предложений переменная х не произносится, а просто 
подразумевается. Конечно, в предложении может присутствовать не одна, а 
две, три или большее число переменных. Дадим определение. 
Предикатом называется предложение, которое содержит одну или 
несколько переменных и превращается в высказывание, если переменным 
придать конкретные значения, то есть имена допустимых объектов. Если 
переменная одна, то предикат называется одноместным, или свойством, если 
две – двуместным. В общем случае, если имеем n переменных, то предикат 
называется n-местным. 
Кратко одноместный предикат обозначается в виде А(х). Заглавная 
буква используется для обозначения самого предложения, а малая буква 
обозначает объект или предмет, о котором говорится в предложении. 
Двуместный предикат обозначают А(x,y), трехместный – B(x,y,z) и т. д. Когда 
нет необходимости, предикат обозначают одной заглавной буквой, без 
указания переменных, от которых этот предикат зависит. Очень часто для 
обозначений пользуются определенными буквами того или иного алфавита 
(например, переменные, от которых зависит предикат, обозначают х, у, z, …), 
однако это не существенно, а просто удобно. Для обозначений можно 
использовать любые буквы, иногда с индексами, штрихами, например а
1
, а
2
, 
bʹ, 
1
с
и т. п.