Book · November 019 citation reads 4,694 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

Примеры одноместных предикатов 
1) А(х) = «х – целое число». Здесь знак равенства имеет следующий 
смысл: справа от него записано предложение, а слева – обозначение этого 
предложения. Допустимый объект, который можно подставить вместо х, – 
произвольное число. Если вместо х подставить число (–3), получим истинное 
высказывание, если взять число 3,5, то будем иметь ложное утверждение. 
Кратко это записывается так: А(–3) = и, А(3,5) = л. Буквы и и л обозначают 
значения истины и лжи соответственно. 
2) В(х) = «Фигура х – это треугольник». Чтобы предложение имело 
смысл, вместо х можно подставлять любую фигуру на плоскости или в 
пространстве. 
3) С(х) = «х – студент ВятГГУ». Здесь под переменной х понимается 
любой человек. Также можно сузить область допустимых объектов и 
понимать под х произвольного студента вуза. 
Таким образом, какие объекты считаются допустимыми, а какие нет, 
зависит от контекста либо отдельным образом оговаривается. 

---

11
11 
Примеры двуместных предикатов 
1) А(х,у) = «х является отцом у». Допустимые объекты – люди. 
2) В(х,у) = «Треугольник х подобен треугольнику у». Допустимые 
объекты – треугольники. 
3) С(х,у) = «Сумма чисел х и у положительна». Вместо переменных х и 
у можно подставлять произвольные числа. 
Примеры трехместных предикатов 
1) А(х,у,z) = «Точка х лежит между точками y и z». Здесь переменные 
обозначают точки, лежащие на какой-то одной прямой. 
2) В(u
1
,u
2
,u
3
) = «Сумма функций u
1
и u
2
равна функции u
3
». Переменные 
u
1
, u
2
и u
3
используются для обозначения функций. Например, взяв вместо u
1
функцию у = х
2
, вместо u
2
функцию у = 2х+1, а вместо u
3
функцию у = (х+1)
2
, 
получим истинное высказывание. 
В последнем примере мы сталкиваемся с определенной сложностью 
психологического характера. Кому-то может показаться, что необычно 
обозначать функцию одной переменной u, ведь привычным образом функция 
обозначается как y = f (x). Однако последняя запись – это один из способов 
записать функцию в общем виде, подчеркивающий, что х является 
независимой переменной, то есть аргументом функции, а у – это зависимая 
переменная, то есть значение функции. Сама же функция имеет обозначение 
f. Вместо буквы f можно использовать, вообще говоря, любую букву. 
Сделаем еще один вывод из рассмотренных примеров. В записи А(х) 
буква А обозначает предложение, а буква х обозначает переменную. При 
этом, как мы видели, за х может скрываться имя не только числа, которое в 
математике принято обозначать малыми буквами. Переменная х может 
обозначать треугольник, точку, функцию или любой другой объект, 
возможно, нематематической природы. Поэтому, несмотря на то что 
треугольник, например, принято обозначать заглавными буквами АВС, в 
рассмотренном выше примере треугольник обозначен малой буквой. Запись 
АВС подчеркивает, что рассматривается треугольник с вершинами А, В, С. 
Аналогично, точки на плоскости принято обозначать заглавными буквами А, 
В, M, N, P и т. д., однако это не мешает нам обозначить произвольную точку 
переменной х, или а, или а
1
. 
Итак, логику интересуют только предложения, которые имеют два 
значения: истины или лжи. Договоримся в дальнейшем под термином 
«предложение» (синоним «утверждение») понимать именно такое 
предложение, то есть высказывание или предикат, обозначая его заглавными 

---

12
12 
буквами латинского алфавита: А, В, С
1
, С
2
, P, Q, ... Заметим, что 
высказывание можно считать частным случаем предиката, значение 
истинности которого не зависит ни от одной переменной. Поэтому в логике 
говорят, что высказывание – это нульместный предикат.
Введем важное понятие равносильных предложений, аналогичное 
понятию равенства числовых выражений. Два предложения А и В 
называются равносильными (логически равными), если они всегда принимают 
одинаковые истинностные значения. 
Равносильность предложений, как правило, обозначается знаком . 
Наряду с этим знаком используют другие, например знак волны ~ или . 
Расшифруем определение для случаев, когда мы имеем высказывания 
или предикаты. 
Два высказывания будут равносильными, если они оба одновременно 
истинны или одновременно ложны.