Book · November 019 citation reads 4,694 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

Пример 1.3.2. Родители пообещали своему сыну Пете: если он 
успешно окончит университет, они купят ему машину. Известно, что сын 
университет не окончил, а машину ему родители все-таки купили. Можно ли 
утверждать, что слова родителей были ложью? 
Чтобы ответить на вопрос, рассмотрим предложения: А = «Сын 
оканчивает университет», В = «Ему покупают машину». При этом А=л, В=и. 
Обещание родителей имеет вид АВ. По определению это предложение при 
заданных значениях А и В верно (третья строка таблицы). Поэтому с точки 
зрения логики слова родителей верны. А вот если бы их сын окончил 
институт, а машину ему не купили, в этом случае (и ни в каком другом) 
обещание было бы не выполнено.  
Теперь рассмотрим еще одну логическую связку, которую часто имеют 
в виду, когда говорят слова «если, то». Например, если в условиях примера 
1.3.2 родители предполагали, что в случае, если их сын Петя не окончит 
институт, они не купят ему машину, правильно было бы сказать: «Машина 
будет куплена в том и только в том случае, если Петя окончит институт». 
5. Знак эквиваленции  или . Выражение АВ читается: «А тогда и 
только тогда, когда В». Возможны другие формулировки: «А в том и 
только в том случае, если В», «А в точности тогда, когда В» и т. п. 
А В АВ 
и и 
и 
и л 
л 
л и 
и 
л л 
и 

---

22
22 
Значения предложения АВ задаются таблицей: 
В случаях, когда А и В принимают одинаковые значения, предложение 
АВ верно, в остальных случаях предложение АВ ложно. 
Нетрудно заметить, что фраза «А тогда и только тогда, когда В» 
состоит из двух фраз: «А тогда, когда В» и «А только тогда, когда В». Первое 
предложение записывается ВА, а второе АВ. Эти два предложения 
одновременно истинны в двух случаях: А=и, В=и, а также А=л, В=л. 
Итак, мы определили пять знаков:  (конъюнкция),  (дизъюнкция),  
(импликация),  (эквиваленция),  (отрицание), которые называют 
логическими связками. Эти знаки позволяют из данных предложений А и В 
получать новые предложения. При этом значение (истины или лжи) нового 
предложения однозначно определяется значениями предложений А и В. 
Правило получения нового предложения из исходных предложений 
называется логической операцией. Таким образом, каждая из логических 
связок определяет логическую операцию, которая имеет такое же название 
что и соответствующая ей связка. 
Рассмотренные операции можно использовать и для высказываний, и 
для предикатов. Например, соединив два одноместных предиката «Число х 
больше 3» и «Число х отрицательное» знаком дизъюнкции, получим 
одноместный предикат: «Число х больше 3 или отрицательное». 
Единственно, для того чтобы соединить два предиката логической связкой, 
нужно, чтобы была задана некоторая общая область D допустимых объектов, 
которые можно подставлять в данные предикаты вместо переменных. 
Определим еще две логические связки, называемые кванторами, 
которые позволяют из одноместных предикатов получать высказывания. 
Термин «квантор» в переводе с латинского языка означает «сколько». 
Поэтому эти знаки используются для ответа на вопрос о том, сколько 
объектов удовлетворяют предложению А, – все или хотя бы один. 
Возьмем произвольный предикат, у которого выделим переменную, от 
которой зависит его значение. Обозначим его А(х). 
А В АВ 
и и 
и 
и л 
л 
л и 
л 
л л 
и 

---

23
23 
6. Квантор общности . Данный знак происходит от английского 
слова All и является сокращением следующих слов: «все», «каждый», 
«всякий», «любой». 
Выражение хА(х) означает, что предикат А(х) выполняется для всех 
допустимых объектов х. Читается: «Для всех икс а от икс». 
7. Квантор существования . Данный знак происходит от английского 
слова Exist и является сокращением следующих слов: «существует», 
«найдется», «хотя бы один», «некоторый». 
Выражение хА(х) означает, что предикат А(х) выполняется хотя бы 
для одного из допустимых объектов х. Читается: «Существует икс а от икс».