Book · November 019 citation reads 4,694 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

Пример 1.2.6. 
4
12 (12 делится на 4) или 412 (4 делит 12), так как 12 
разлагается в произведение чисел 4 и 3, то есть для целого числа 3 имеем 
12=43. При этом 
8
12
, так как не существует целого числа q, при котором 
было бы верно равенство 12=8q. Действительно, последнее равенство 
возможно только при одном q, равном отношению чисел 12 и 8, которое 
равно не целому числу 1,5.  
Любое целое число а, не равное 0 и 1, имеет по меньшей мере два 
натуральных делителя (единицу 1 и само а) и четыре целых делителя (1, –1, 
а, –а). Натуральным делителем единицы является только она сама. 
Натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя, называется 
простым, а число, имеющее более двух натуральных делителей, – 

---

16
16 
составным. Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным. 
Простые числа, не превосходящие 20, таковы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 
Заметим, что в общем случае запись 
b
a
или ba определяет 
двуместный предикат, так как знаки  и  – это знаки отношений. А знак 
деления : или / – это знак операции. Напомним, что операция обязательно 
имеет результат во множестве рассматриваемых объектов. Например, запись 
12:4 означает, что производится операция деления, и этот терм является 
именем числа 3. В общем случае выражение а:b есть терм, обозначающий 
частное от деления числа а на число b. 
Если число а не делится на число b, то частное чисел а и b является не 
целым числом. Однако в этом случае можно рассмотреть неполное частное. 
Для этого нужно разделить а на b с остатком, то есть представить число а в 
виде а=bq+r, где q (неполное частное) и r (остаток) – целые числа, причем 
остаток r неотрицателен и меньше абсолютной величины числа b. Если b не 
ноль, то числа q и r всегда существуют и определены однозначно. Этот факт 
будет строго доказан в курсе теории чисел. На практике, чтобы найти 
частное и остаток при натуральных числах а и b, нужно выполнить 
известную процедуру деления столбиком. Теперь можно сказать, что 
делимость числа а на ненулевое число b означает, что при выполнении 
операции деления а на b с остатком получается остаток r, равный 0. 
Комбинация математических знаков, представляющая собой
символическую запись высказывания или предиката, называется формулой. 
Если формула содержит свободные переменные, то при каких-то значениях 
переменных она может обращаться в истинное высказывание, а при каких-то 
значениях переменных – в ложное высказывание.