Book · November 019 citation reads 4,694 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects

Пример 1.2.7. Рассмотрим формулу х+у=ху. При некоторых значениях 
переменных эта высказывательная форма является истинным высказыванием 
(х=2; у=2, или х=1,5; у=3), но при некоторых значениях она обращается в 
ложное высказывание (х=1; у=2). 
Теперь рассмотрим формулу (х+1)
2
=х
2
+2х+1. Эта формула обращается 
в истинное высказывание при подстановке вместо х любого числа.  
Формула, которая принимает истинное значение при любой 
подстановке вместо свободных переменных допустимых значений, 
называется тождественно истинной. Формула, которая принимает ложное 
значение при любой подстановке вместо переменных допустимых значений, 
называется тождественно ложной. 

---

17
17 
Пример 1.2.8. Формулы (a–b)(a+b)=a
2
–b
2
, x
2

0, sinx<2, где переменные 
a, b, x обозначают произвольные действительные числа, тождественно 
истинны, а формула sinx>1 тождественно ложна.  
Тождественно истинное равенство называют тождеством. 
Пример 1.2.9. Равенство 
1
1
1
2




a
a
a
есть тождество, так как при всех 
допустимых числах а является истинным высказыванием. Однако при 
значении а, равном 1, левая часть равенства не определена (терм 
1
1
1
1
2


не 
является именем никакого числа, потому что на нуль делить нельзя), а правая 
часть равенства равна 2. В этом случае принято говорить, что данное 
равенство является тождеством при а, не равном 1.  
Обратим внимание на один тонкий момент. На любую записанную 
формулу, содержащую свободную переменную, можно смотреть двояко: с 
одной стороны, как на предикат, с другой стороны, как на высказывание. 
Например, выражение х
2
>0 может пониматься как неравенство с переменной 
х. Оно может быть записано с целью нахождения множества корней. Также 
на это выражение можно посмотреть как на высказывание о том, что это 
неравенство верно при любых значениях х. Конечно, если нет никаких 
оговорок, мы имеем ложное высказывание. Однако при условии, что по 
каким-то причинам рассматриваются только ненулевые числа, неравенство 
х
2
>0 действительно определяет тождественно истинную формулу. Таким 
образом, что именно понимается под записанным выражением х
2
>0, зависит 
от контекста.