Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha. Aniqmas integral tushunchasi

Mavzu: Ratsional va irratsional kasrlarni integrallash.
Reja:

1. 
   Ratsional kasrlarni integrallash
   
2. 
   Irratsional kasrlarni integrallash
   

Ratsional ifodalarni integrallash
Yuqorida aniqmas integralni integrallashning elementar usullarini ko’rib o’tdik. Ularning barchasi elementar funktsiyalar orqali ifodalash mumkin bo’lgan funktsiyalar edi. Ammo funktsiyalarning hammasi ham chekli sondagi amallar yordamida elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Bunday integrallarga quyidagilarni misol sifatida keltirish mumkin.
, ,
va hokazolar. Integral ostidagi bu funktsiyalarni elementar funktsiyalarga keltirib bo’lmaydi. Quyida integrallash mumkin bo’lgan funktsiyalarni ko’rib o’tamiz.


Sodda kasr va ularni integrallash
Ta’rif: Quyidagi kasrlarga sodda kasrlar deyiladi:
I. II. III. IV. (1)
va lar butun musbat sonlar. kvadrat uchhad haqiqiy ildizlarga ega emas deb qaraladi. , P va -o’zgarmas haqiqiy sonlardan iborat.
(1) sodda kasrlarni integrallashni qaraymiz.
I va II ko’rinishdagi kasrlarni integrallash bizga ma’lum, ya’ni:
I. (2)



II. (3)
III va IV ko’rinishdagi kasrlarni integrallash uchun ularning maxraji dan ikkihad to’la kvadratini ajratamiz:

Bunda almashtirish kiritish mumkin. U holda,

ko’rinishdagi integralni hosil qilamiz. Keyin,

belgilashni kiritib, va almashtirishni bajaramiz. Natijada, kvadrat uchhad quyidagi ko’rinishga keladi:


U holda, III ko’rinishdagi kasrning integrali quyidagicha hisoblanadi:

IV. Kasrning integralini hisoblashda yuqoridagi almashtirishlar bajariladi va uni hisoblash quyidagicha amalga oshiriladi:

(5)
(5) ning o’ng tomonidagi birinchi integralni hisoblash uchun quyidagi almashtirish kiritamiz:

U holda,
(6)
(5) ning o’ng tomonidagi integrallardan ikkinchisini rekkurent formula yordamida hisoblash mumkin.