Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha. Aniqmas integral tushunchasi

1-misol. Quyidagi integralni o’zgaruvchini almashtirish usulida toping.

Yechilishi: Ildiz ostidagi ifodani t bilan belgilaymiz, ya’ni:

Tenglikning ikkala tomonini differentsiallayiz:
.
Integraldagi va larning o’rniga ularning topilgan qiymatlarini qo’yib, quyidagi natijaga kelamiz:

t ni uning x orqali ifodasi bilan almashtiramiz, ya’ni eski o’zgaruvchiga qaytamiz. U holda,

. Aniqmas integralni bo’laklab integrallash
va funktsiyalar biror x sohada uzluksiz va differentsiallanuvchi bo’lsin. Shu funktsiyalar ko’paytmasining differentsialini topamiz:
(1)
Shartga asosan, va funktsiyalar uzluksiz bo’lganligi sababli, (1) tenglikning ikkala tomonini integrallash mumkin:
yoki (2)
Aniqmas integralning 3-xossasiga asosan edi. Bundan foydalanib, (2) tenglikni quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin:
(3)
(3) tenglikka aniqmas integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
(3) formula yordamida integrallash uchun integral ostidagi ifodani va ko’paytiruvchilar orqali ifodalash kerak. ko’paytiruvchini shunday tanlash lozimki, uning hosilasi ga nisbatan soddaroq bo’lsin.
1-misol. integralni toping.
Yechilishi: Berilgan integral x va funktsiyalarning ko’paytmasidan iborat. Bizga ma’lum bo’lgan integrallash usullari ushbu integralni topish imkoniyatini bermaydi. Shuning uchun ham bo’laklab integrallash usulidan foydalanamiz. Buning uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
.
U holda, va Bunda c o’zgarmas son yozilmaydi, chunki funktsiya ning boshlang’ich funktsiyalaridan biridir. Bo’laklab integrallash formulasi, (3) dan foydalanamiz:

Talab qilingan integral osongina topildi.
Agar integral ostidagi ifodada ko’paytuvchi ishtirok etsa, belgilash o’rinli bo’ladi, chunki u daraja ko’rsatkichini pasaytirish imkonini beradi.