Boshlang`ich funksiya haqida tushuncha. Aniqmas integral tushunchasi

Ratsional va kasr ratsional funktsiyalarni integrallash
(7)
ko’rinishdagi ixtiyoriy butun ratsional funktsiyani integrallash ko’p qiyinchilik to’g’dirmaydi. Buni quyida ko’ramiz:

Endi kasr ratsional funktsiyani hisoblash usulini qaraymiz.

Faraz qilaylik,
va

ko’phadlar berilgan bo’lib, noto’g’ri kasrni integrallash talab qilinsin. Uning integralini hisoblash uchun uning butun qismi ajratilib, butun ratsional funktsiya va to’g’ri kasr yig’indisi ko’rinishida ifodalanadi, ya’ni:
(9)
Bunda -kasrning butun qismi, esa berilgan kasrning to’g’ri kasr qismidir.
(9) kasrning integral ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(10)
to’g’ri kasrni integrallash uchun ularni sodda kasrlar yig’indisiga keltirish lozim. Keyin esa ularning integrallari oson hisoblanadi.
To’g’ri kasrlarni integrallash
ko’rinishdagi to’g’ri kasrlarni integrallash uchun ularni sodda kasrlarga ajratish lozim.
Har qanday shakldagi to’g’ri kasrni chekli sondagi sodda kasrlarning yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin. Bu esa , ya’ni maxrajning sodda ko’paytuvchilarga yoyilishiga bog’liq.
Faraz qilaylik, maxraj ning yoyilmasi quyidagicha bo’lsin:
(11)
Maxrajdagi ning yoyilmasida har bitta ko’paytuvchiga k sodda kasrlar guruhi, ya’ni
(12)
lar mos keladi. ning har bitta ko’paytuvchisiga esa quyidagi m ta sodda kasrlardan tuzilgan kasrlar guruhi mos keladi:
(13)
(12) - kasrlarning suratlaridagi koeffitsiyentlari soni k ta, (13)-kasrlarning suratlaridagi koeffitsiyentlari soni 2m tani tashkil etadi. (12) va (13) dagi barcha koeffitsiyentlar soni n tadan iborat ekanligi ma’lum bo’ladi, ya’ni

A, B, C harfiy koeffitsiyentlarni topish uchun kasr yoyilmasining suratlari harfiy koeffitsiyentlar bilan ifodalanadi. Barcha sodda kasrlarning umumiy maxraji dan iborat. Shuning uchun ularni yig’ib, to’g’ri kasr hosil qilinadi, chunki to’g’ri ratsional kasrlarning yig’indisi-to’g’ri kasrdan iborat. Yoyilmaning o’ng va chap tomondagi maxraj tashlansa, ikkita darajali ko’phadning tengligi hosil qilinadi. Bu tenglik ga nisbatan ayniyatdir.
Tenglikning bir tomonida ning turli darajalardagi koeffitsiyentlari, ta koeffitsiyentga nisbatan harflar bilan belgilangan chiziqli bir jinsli ko’phadlilar mavjud bo’ladi. Ularni ikkinchi tomondagi ning mos sonli koeffitsiyentlariga tenglab, ta chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qilinadi va sistemani yechib, A, B va C koeffitsiyentlar topiladi.