Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash

INVERTOR.

Shu vaqtgacha ko‘rilgan mantiqiy elementlar hech bo‘lmasa ikkita kirish va bitta chiqishga ega edi. INVERTOR deb yuritiladigan “yo‘q” sxemasi esa bitta kirish va bitta chiqish mavjud. Invertorning asosiy vazifasi chiqishda kirish signaliga teskari bo‘lgan signalni ta’minlashdan iborat. Invertor quyidagicha belgilanadi:

5-rasm
Rostlik jadvaliga ko‘ra Bul ifodasi ko‘rinishda bo‘1adi.

“Va-yo‘q” mantiqiy elementi.

“Va-yo‘q” mantiqiy elementi va-yo‘q mantiqiy funtsiyani yoki inventorlangan “Va” ni amalga oshiradi. Ushbu mantiqiy amal quyidagicha belgilanadi:

6-rasm
Bu belgini quyidagicha yoyib ham yozish mumkin.
7-rasm

Rostlik jadvali esa quyidagi ko‘rinishni oladi:

“Yoki-yo‘q” mantiqiy elementi.

“Yoki-yo‘q” mantiqiy elementi yoki-yo‘q mantiqiy funktsiyani yoki inventorlangan “yoki” ni amalga oshiradi.Sxemada quyidagicha belgilanadi:

8-rasm

Rostlik jadvali esa quyidagi ko‘rinishni oladi:

Shunga o‘xshash yana bir qancha standart belgilashlar kiritiladi:






Ikkitadan ortiq sondagi kirishga ega bo‘lgan mantiqiy elementlar uchun ham mos ravishda quyidagicha belgilashlar ishlatiladi:



Formulalarning chinlik to’plami tushunchasi
Formulaning chinlik to plami tushunchasi. Ma'lumki, farqli mumkin bo'lgan qiymatlar satrlari kombinatsiyalari ta (ushbu bobning 1-paragrafiga qarang). Tarkibida ta o'zgaruvchilar ishtirok etgan formula shu ta qiymatlar satrlarining bir qismida 1 , qolgan qismida esa 0 qiymatni qabul qiladi.
1- t a'rif. Berilgan formula tarkibidagi elementar mulohazalarning qiymatlaridan qandaydir tartibda tuzilgan va shu formulaning 1 qiymatiga mos keluvchi barcha kortejlar to 'plami formulaning chinlik to'plami deb ataladi.
Ravshanki, tarkibidagi o'zgaruvchilarning soni qanday bo'lishidan qat'i nazar, aynan yolg'on formulaning chinlik to'plami bo'sh (Ø) to'plamdan iboratdir.
ta elementar mulobazalarning mumkin bo 'lgan barcha ta teng kuchlimas formulalaridan tasi qiymatlar satridagi ta qiymatlardan faqat bittasi 1 , qolgan tasi esa 0 bo'lganda 1 qiymat qabul qiladi. Shuning uchun, bunday formulalarning har biri bir elementli chinlik to'plamiga ega.
Xuddi shuningdek, ta elementar mulohazalarning mumkin bo'lgan barcha teng kuchlimas formulalaridan tasi qiymatlar satridagi ta qiymatlardan faqat ikkitasi 1 , qolgan tasi esa 0 bo'lganda 1 qiymat qabul qiladi. Shu sababli, bunday formulalarning har biri uchun chinlik to'plami ikkita kortejdan tashkil topgan bo'ladi.
Shu usulda davom etsak, ta teng kuchlimas formulalardan tasining har biri uch elementli chinlik to " plamiga, tasining har biri to elementli chinlik to plamiga, va hokazo, tasining har biri elementli chinlik to plamiga, bitta formula esa ta elementli chinlik to'plamiga egaligiga ishonch hosil qilamiz.
Tarkibida ta elementar mulohazalar ishtirok etgan aynan chin formulaga mos chinlik to plamini universal to'plam ( ) deb olsak, tarkibida shu elementar mulohazalar qatnashgan mumkin bo'lgan barcha formulalarning har biriga mos chinlik to'plamlar to'plamning qism
to'plamlaridan iborat va bu universal to'plam qismlari soni bo ladi.
Shunday qilib, tarkibida ta elementar mulohazalar ishtirok etgan mumkin bo'lgan barcha formulalar bilan ularning chinlik to'plamlari orasida o'zaro bir qiymatli moslik otmatildi. Demak, barcha o'zaro teng kuchli formulalarga faqat bitta chinlik to plami mos keladi.
1- misol. Ikkita va elementar mulohazalarning formulasi aynan chindir (ushbu bobning 3paragrafidagi 1- misolga qarang). Shuning uchun berilgan formulaning chinlik to'plami elementli universal to plamdan iboratdir.
2- misol. Tarkibida uchta va elementar mulohazalar qatnashgan formula qiymatlar satrlarining faqat bittasida (aniqrog'i, satrda) 1 qiymat, qolgan yettitasida esa 0 qiymat qabul qiladi. Shuning uchun, formulaning chinlik to plami , ya'ni bitta kortejdan tashkil topgan bo'ladi.
3- . Ushbu formula tarkibida uchta kortej bo'Igan chinlik to'plamiga egadir.
Agar qandaydir formula chinlik to'plamiga ega bo'lsa, u holda " formula to 'plamda chin qiymat qabul qiladi" (yoki, qisqacha, " formula to plamda chin") deb ham yuritiladi. Shunga o'xshash, " formula to'plamda yolg'on" deyish mumkin, bu yerda , ya'ni to'plamning to'ldiruvchisi. Agar formula to'plamda chin bo'lsa, u holda formula to'plamda chin, to'plamda esa yolg'on bo'ladi. Xuddi shu kabi, aynan chin formula universal to'plamda chin va to plamda yolg'on qiymat qabul qiladi. Aynan yolg on formula esa, aksincha, to'plamda chin va to'plamda yolg'ondir.
Formulalar bilan chinlik to plamlari orasidagi yuqorida ifodalangan bog'lanish mulohazalar mantiqiga oid masalani to'plamlar nazariyasi masalasiga va, aksincha, to plamlar nazariyasidagi masalani mulohazalar mantiqiga doir masalaga chirish imkoniyatini beradi.
3.8.2. Asosiy mantiqiy amallarning chinlik to'plamlari. Chinlik to plamlari mos ravishda va bo'lgan va formulalar berilgan bo' .
Kon'yunksiyaning chinlik to'plami. va formulalar kon'yunksiyasining chinlik to'plami bo'ladi. Haqiqatdan ham, kon'yunksiya ta'rifiga asosan, formula va formulalarning ikkalasi ham chin bo'lgandagina chindir. Shuning uchun, formulaning chinlik to'plami va to'plamlarning umumiy elementlaridan tuzilgan kesishmasidan iborat bo'ladi. Demak, mulohazalar mantiqidagi kon'yunksiya amaliga belgiga) to'plamlar nazariyasidagi kesishma amali (ก betgi) mos keladi (I bobning 2paragrafidagi 2- shaklga qarang).
4- va formulalarning chinlik to plamlari, mos ravishda, va bo'lgani uchun (2- va 3- misollarga qarang) kon'yunksiyaning chinlik to'plami bo'ladi.
Diz'yunksiyaning chinlik to'plami. va formulalar diz'yunksiyasining chinlik to'plami bo'ladi. Haqiqatdan ham, diz'yunksiya ta'rifiga asosan, formula va formulalarning kamida bittasi chin bo'lgandagina chindir. Demak, to formula chindir. Shunday qilib, formulaning chinlik
l- shakl to'plami va to'plamlarning barcha elementlaridan, ularni takrorlamasdan, tuzilgan birlashmasidan iborat bo'ladi. Demak, mulohazalar mantiqidagi diz'yunksiya ( ) amaliga to plamlar nazariyasidagi birlashma (U) amali mos keladi (I bobning 2- paragrafidagi 1- shaklga qarang).
5- miso1. 4- misolda aniqlangan va formulalar diz'yunksiyasi uchun chinlik to plami bo 'ladi.
Implikatsiyaning chinlik to plami. va formulalar implikasiyaning chinlik to 'plamini topamiz. formulaning chinlik to va formulaning chinlik to plami bo'lgani uchun, teng kuchlilikka ko formulaning chinlik to'plami bo'ladi. 1- shaklda tasvirlangan to plamning bo'yalmagan qismi implikatsiyaning chinlik to'plamiga mos keladi.
6- misol. 4- misolda aniqlangan va formulalar tarkibida uchtadan va elementar mulohazalar qatnashgani uchun, implikatsiyasining chinlik to plamini topish maqsadida, dastlab

universal to'plamni tuzamiz. formulaning chinlik to'plami bo'lgani uchun formulaning chinlik to

bo'ladi. Endi to plam bilan formulaning chinlik to'plami birlashmasini aniqlasak, , ya'ni formulaning chinlik to'plami universal to "plamdan iborat bo'ladi. Bu yerdan xulosani hosil qilamiz.
Ekvivalensiyaning chinlik to 4 plami. va formulalar ekvivalensiyasining chinlik to lamini aniqlash uchun teng kuchlilikdan foydalanamiz. Yuqorida qilingan xulosalarga ko'ra formulaning chinlik to plami bo'ladi. 2- shaklda tasvirlangan to tlamning bo'yalmagan qismi
2- shakl ekvivalensiyaning chinlik to 'plamiga mos keladi.
7- i s o1. 4-misolda aniqlangan va formulalar ekvivalensiyasining chinlik to "plamini topamiz. 6- misolda bo'lishi aniqlangan edi. va , to plamlar yordamida , to plamni topamiz. Demak, , to plam ekvivalensiyasining chinlik to plamidir.
Chinlik to plami tushunchasining qo'llanilishi. Chinlik to'plami tushunchasidan foydalanib mulohazalar algebrasi bilan matematikaning boshqa sohalari, jumladan, to plamlar algebrasi orasidagi bog'lanishlarni ifodalash mumkin. Mulohazalar algebrasidagi (kon'yunksiya), (diz'yunksiya) va (inkor) mantiqiy amallarga, mos ravishda, to plamlar algebrasidagi (kesishma), (birlashma) va (to ldirish) amallari to ri keladi. Mulohazalar algebrasidagi 1 va 0 zgarmaslarga (konstantalarga) to'plamlar algebrasidagi va (universal va bo'sh) to'plamlar mos keladi. Demak, mulohazalar algebrasidagi biror ifodada (tasdiqda) belgisini belgisiga, ni ga, inkor belgisini to'ldiruvchi belgisiga, 1ni ga, Oni (三ni ga) almashtirsak, to plamlar algebrasidagi ifoda (tasdiq) hosil bo'ladi va, aksincha almashtirishlar bajarsak, to'plamlar algebrasidagi ifodadan (tasdiqdan) mulohazalar algebrasidagi ifoda (tasdiq) hosil bo 'ladi.
6- misolda chinlik to plami tushunchasidan foydalanib teng kuchlilik o'rinli bo'lishi ko rsatilgan edi. Yuqoridagi xulosalar asosida, mulohazalar algebrasining to'plam algebrasidagiga shash tasdiqlarini keltirib chiqarish mumkin.
Bunday 8- misol. va formulalar uchun teng kuchlilikning o'rinli bo'lishini ularga mos va chinlik to'plamlaridan foydalanib isbotlaymiz. formulaning chinlik to'plami . Shu sababli, tavtologiyadir.
1- te orema. Agar chinlik to'plamlari mos ravishda va bo'lgan va formulalar uchun teng kuchlilik o'rinli bo'lsa, u holda bo'ladi.
Isb oti. Ma'lumki, formulaning chinlik to'plami universal to'plamning qism to 'plamidan iborat. (I bobninig 2- paragrafidagi 10- topshiriqqa qarang) bo'lgani uchun shartga ko'ra bo'lishi kerak. Bundan yoki kelib chiqadi. Bu esa ekanligini bildiradi. Demak, tavtologiya bo'lishi uchun formulaning chinlik to'plami formula chinlik to "plamining qism to plami bo'lishi shart.
2- teorema. va formulalar teng kuchli bo lishi uchun formula tavtologiya bo "lishi zarur va yetarli.
Is b oti. va formulalarning chinlik to plamlari, mos ravishda, va bo'lsin.
a) va formulalar teng kuchli, ya'ni bo'lsin. U holda va, shu sababli ekvivalensiyaning chinlik to'plami

bo'ladi. Bundan formulalarning tavtologiya ekanligi kelib chiqadi.