Chiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Gauss usuli Reja: Kirish. Asosiy qism

n O‘LChOVLI ARIFMETIK FAZO
Matritsalarning satrlari va ustunlari orasidagi bog‘-lanishlarni o‘rganish maqsadida R" dagi (R — haqiqiy to‘plami) vektorlar ustida amallar kiritib, ularning xos-salarini o‘rganamiz.
Agar va koordinata-
lari haqiqiy son bo‘lgan p o‘lchamli vektorlar bo‘lsa, uщbu (Xj + y_v x₂ + y_v x + u_p) vektor ularning yig‘indisi deb ataladi va X + Uorqali belgilanadi. Barcha koordinata-li nolga teng bo‘lgan (0, 0, 0) vektor nol vektor deb ataladi va 0 (ko‘pincha 0) orqali belgilanadi.
Haqiqiy sonlarni qo‘shish amalining xossalaridan vektorlarni ko‘shish amalining kuyidagi xossalari be-vosita kelib chiqadi:
flj) har qanday uchta vektorlar uchun
(assotsiativlik)
a₂) har qanday vektor uchun

a₃) har qanday vektor uchun

tengliklarni qanoatlantiruvchi Uvektor mavjud; bu vek­tor bo‘lib, X ga qarama-qarshi vektor deyiladi va -X orqali belgilanadi.
a₄) har qanday vektorlar uchun
(kommutativlik). Bu xossalar to‘plam qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ guruh hosil qilishini ko‘rsatadi. Agar va bo‘lsa, ushbu
vektor Xvektorning songa ko‘paytmasi deyi­ladi va XX orqali belgilanadi.
Xaqiqiy sonlarni ko‘paytirish amalining xossalari­dan vektorni songa ko‘paytirish amalining kuyidagi xos­salari bevosita kelib chikadi:
6j) har qanday vektor uchun
1 >X=X;
b₂) har qavday sonlar va vektor uchun

b₃) har qavday va uchun

₄) har qanday vektorlar uchun

K" to‘plam vektorlarni ko‘shish va vektorlarni songa ko‘paytirish amallari bilan birga l - o‘lchamli arifmetik fazo deyiladi.
Berilgan vektorlar va
sonlar uchun ushbu + +...+ sX_k vektor X_v X₁, ' X_k vektorlarning s_r s₂, s. koeffitsiyentli chizikli ifodasi (kombinatsiyasi) deyiladi. Agar U vektor X_v X^, X_k vektorlarning biror chizikli ifodasiga teng bo‘lsa, u X_v X_2> X_k vektorlar orqali chiziqli ifodalanuvchi deyiladi.
Agar X_v X₂, X_kvektorlar tizimi uchun ushbu

tenglikni qanoatlantiruvchi kamida biri noldan farkli bo‘lgan Cj, c_v s_k sonlar mavjud bo‘lsa, bu vektorlar tizimi chizikli boglangan deyiladi. Masalan, nol vek-torni yoki ikkita bir xil vektorni o‘z ichiga oluvchi R" dagi ixtiyoriy chekli vektorlar tizimi chizikli boglan­gan.
1-teorema. X_l, X_z, X_k vektorlar tizimi chizikli bog‘langan bo‘lishi uchun bu tizimdagi biror vektorni bosh-
qalari orqali chizikli ifodalash mumkinligi zaruriy va kifoyaviy shartdir.
I s bot. X_v X_k vektorlar chizikli bog‘langan
bo‘lsin. U holda kamida biri noldan farkli bo‘lgan s_r s₂, s_k sonlar mavjudki, s₁X₁ + s₂X₂+...+s_kX_x = 0. Bu sonlar ichida noldan farqlisis.bo‘lsin. U holda yuqori-dagi tenglikdan ushbu

tenglik, ya’ni X_i vektorning boshqalari orqali chizikli ifodalanganligi kelib chiqadi.
Endi, aksincha, X_v X₁, X_k vektorlarning birortasi, masalan X., boshqalari orqali ifodalangan bo‘lsin.

U holda Bu yerda
deb olsak, bo‘lgani uchun X_v X₂, X_k tizim chizikli bog‘langan.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. Agar biror vektorlar tizimi chizikli bog‘langan kiyem tizimiga ega bo‘lsa, bu tizimning o‘zi ham chizikli bog‘langan bo‘-ladi.
Chizikli bog‘lanmagan vektorlar tizimi chiziqli erkli tizim ham deb ataladi. Shunday kilib, agar tizim uchun har qanday ushbu

ko‘rinishdagi tenglikdan s_g = s₂ = ... = s_k =0 tenglik ke­lib chiqsa, bu tizim chizikli erkli bo‘ladi. Ravshanki,