Chiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Gauss usuli Reja: Kirish. Asosiy qism

burchak tizim deyiladi. Bu holda tizimda aynan nol ko‘rinishidagi tenglamalar yo‘q. Agar bo‘lsa, da (s - ri) ta aynan nol kurinishidagi tengla­malar bo‘ladi. Aynan nol kurinishidagi tenglamalarni har qanday vektor qanoatlantirgani uchun tizimni yechishda aynan nol bo‘lgan tenglamalarni tashlab yubo-rish mumkin. Demak tizimni yechish kuyidagi uchbur-chak tizimni yechishga keltiriladi.


Bu yerda oxirgi tenglamadan x_p ni topamiz:

Buni barcha boshqa (l - 1) ta tenglamaga qo‘ysak, nati-jadaXr x₂, ...,x_p_₁ noma’lumli uchburchaktizim hosil bo‘la di. Bundan oxirgi x_p_₁ noma’lumni topib, boshqa teng-lamalarga qo‘yamiz. Shu yo‘sinda noma’lumlarni ketma-ket topib, natijada barcha noma’lumlarni bir qiymatli topamiz.
Bu bilan biz tizimni p = g bo‘lgan holda yechdik. Endi bo‘lgan holni ko‘ramiz. Bu holda yuqoridagi-ga o‘xshab, tizimdan aynan nolga teng bo‘lgan tenglama-larni tashlab, quyidagi tizimni yechishga kelamiz:

Bu tizimda ozod noma’lumlar qatnashgan barcha had-larni tizimning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz va ozod noma’-lumlarga ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. U holda tizim­ning o‘ng tomoni sonlarga aylanib, tizim bosh noma’-.lumlarga nisbatan uchburchak tizim bo‘ladi. Bu tizimni ham yuqoridagiga o‘xshash yechib, bosh noma’lumlarning qiy-matini bir qiymatli topamiz. Bu bilan tizimning yechimi topildi. Bunday yechishda ozod noma’lumlarning barchasiga ixtiyoriy qiymatlarni berib, bosh noma’lum­larning bularga moye qiymatlari bir qiymatli topila-di. Shunday qilib, bu usul bilan tizimning barcha yechimlari topiladi. Bu bilan (a) tizimlar teng kuchli bo‘lgani uchun (a) va tizimning ham barcha yechimlari topildi.
Chizikdi tenglamalar tizimini elementar almashti-rishlar orqali zinapoya usulga keltirib, yuqorida kelti-rilgan usulda yechishni Gauss usuli (ba’zan noma’lumlar­ni ketma-ket yo‘qotish usuli) deyiladi.
Yuqorida keltirilgan mulohazalar jarayonida quyi-dagi teoremalar ham olindi: