Chiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Gauss usuli Reja: Kirish. Asosiy qism

f) tizimlarda r - tenglamalardan boshqa barcha tenglama­lar bir xil, r - tenglamalarning koeffitsiyentlari va ozod hadlari esa quyidagicha bog‘langan:

Faraz qilaylik, (a) tizim birgalikda bo‘lib, x₀ = (x°,Xj,...,x°) vektor (a) ning biror yechimi bo‘lsin. U holda bu tizimlarning r-tenglamalaridan boshqa barcha tenglamalari bir xil bo‘lgani uchun x₀ vektor (/?) tizim-ning r- tenglamadan boshqa barcha tenglamalarini kano-atlantiradi. Bu x₀ vektor (a) tizimni qanoatlantirgani uchun uning r- va q- tenglamalarini qanoatlantiradi:

Ikkinchi tenglikning ikki tomonini h ga ko‘payti-rib, birinchi tenglikka qo‘shsak, +

tenglikni olamiz. Bu esa vektorning (/?)data r- tenglamani ham qanoatlantirishini ko‘rsatadi. Demak (a) ning har bir yechimi (ft) ning ham yechimi ekan. Ammo (a) ham (fi) dan (II) tur elementar almashtirish or-qali hosil kilinadi. Bundan yuqoridagi mulohazalarni ishlatib, (/3) ning har bir yechimi (a) ning ham yechimi ekan-ligi olinadi.
Yuqorida keltirilgan mulohazalardan ko‘ramizki, agar tizimlarning birortasi ikkinchisidan bitta elementar almashtirish orqali hosil qilingan bo‘lsa, u holda bu tizimlarning birortasi birgalikda bo‘lsa, ikkinchisi ham birgalikda va ular bir xil yechimlarga ega. Bunga asosan, agar ularning birortasi birgalikda bo‘lmasa, ikkinchisi ham birgalikda bo‘lmaydi. Bu bilan teorema f) tizim (a) dan bitta elementar almashtirish orqali hosil kilin-gan holda isbotlandi.
Bundan foydalanib, umumiy hol matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi.
N a t i j a. Har qanday tenglamalar tizimi biror zi-napoya tizimga teng kuchli.
I s b o t. Natijaning isboti 2- va 3- teoremalardan kelib chiqadi.
Bu natijadan foydalanib, ixtiyoriy chizikli tengla­malar tizimini unga teng kuchli bo‘lgan zinapoya tizimga keltirib olib, bevosita yechamiz.
Ixtiyoriy p ta noma’lumli S ta chizikli tenglamali (a) tizim berilgan bo‘lsin. A va A' moye ravishda bu tizim-ning koeffitsiyentlari matritsasi va kengaytirilgan mat-ritsasi bo‘lsin. Bu tizimni chekli sondagi elementar al-mashtirishlar yordamida biror zinapoya ko‘rinishga keltiramiz. va moye ravishda tizimning koef­fitsiyentlari matritsasi va kengaytirilgan matritsasi bo‘lsin. U holda p ta ustunli va S ta satrli zinapoya matritsa bo‘ladi. esa matritsa ustunlarini o‘z ichiga olgan (h + 1) ta ustunli va S ta satrli zinapoya matritsa bo‘ladi. ning noldan farkli satrlari soni g ga teng bo‘lsin. Uning bosh ustunlarining nomerlari moye ravishda m_v t₂, t_g bo‘lsin. U holda
Quyidagi ikki holni ayrim ko‘ramiz: 1) , ya’ni r-satrda noldan farqli yagona
element bo‘lib, u (ya + 1)-ustunda yotadi; 2)
Birinchi hol, ya’ni ushbu tenglik o‘rinli
bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda r-tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

ya’ni bu tenglamaning chap tomonidagi barcha koeffitsi-yentlar nolga teng, ozod had esa noldan farkli. Ammo bunday tenglamaning yechimi yo‘q, chunki uning chap tomo-ni har qanday x_v x_v x_p lar uchun nolga teng, ammo o‘ng tomoni noldan farkli. Bundan tizimning ham yechi­mi yo‘kligi kelib chiqadi. 3-teoremaga kura (a) tizim ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi. Shunday qilib, holda (a) tizim birgalikda emas ekan. Endi holni ko‘ramiz. Bu hodsa tizim
quyidagi ko‘rinishda yoziladi:


bu yerda
Bosh ustunlarga moye keluvchi noma’lum-
larni bosh noma’lumlar va qolganlarini esa ozod no-
ma’lumlar deyiladi. Bosh noma’lumlarning soni g ta va ozod noma’lumlarning soni (p — g) ta. Agar p = g bo‘lsa, ozod noma’lumlar yo‘q. Bu holda u quyidagi ko‘rinishga ega:

bu yerda . Agar p = s bo‘lsa, tizim uch-