D. K. S. Makdonald. Termoelektrik hodisalar negiziga kirish

Asosiy xossalari.

Sudralish effektlari, biz ta'kidlaganimizdek, elektronlar tomonidan olib boriladigan energiya bilan solishtirganda, panjara orqali energiyani tashishni e'tiborga olinmaganda paydo bo'ladi. O'tkazuvchi jismga ℇ_x elektr maydoni qo'llanilganda, o'tkazuvchanlik elektronni elektr maydonidan quyidagi tezlikdagi impuls p_x bilan qabul qiladi deb hisoblash mumkin:

. (63)

Turg'un oqim o'tganda, elektron, albatta, bu impulsdan atrofdagilar bilan tenglikda qutulishi kerak. Sof metallda panjaraning vazifasi elektronlardan olingan energiya va yo'naltirilgan impulsni tarqatishdir. Odatda, biz ayniqsa energiyaning tarqalishi haqida tashvishlanmaymiz (ya'ni, Joul issiqligi); agar energiyaning tarqalishi qandaydir tarzda to'sqinlik qilgan bo’lsa, u holda elektron harorati panjara haroratiga nisbatan ko'tariladi, yoki panjara harorati uning atrofiga nisbatan ko'tariladi, shunda energiyani tarqatish uchun zarur bo'lgan issiqlik oqimini keltirib chiqaradigan harorat farqi paydo bo'ladi. Shunday qilib, keling, birinchi navbatda, impuls uzatish muammosiga e'tibor qarataylik.

87-bet.

Agar biz qo'zg'atilgan panjara tebranishlarining ma'lum bir rejimi yoki ma'lum bir chastotali "fononlar" oqimi haqida o'ylaydigan bo'lsak, energiya va impulsni qayta taqsimlash uchun qo'zg'atilgan panjara tebranishlarining ushbu o'ziga xos rejimi boshqa panjara tebranishlari bilan o'zaro ta'sir qilishi kerak va bu angarmonik birikmani o'z ichiga oladi.

Yuqori haroratlarda panjara tebranishlarining amplitudasi sezilarli bo'ladi va bir normal rejimning boshqasi bilan angarmonik bog'lanishi absolyut harorat T ko'tarilishi bilan ortadi. Qo'pol qilib aytganda, "fonon-fonon to'qnashuvi" tobora ko'proq namoyon bo'lmoqda, deyishimiz mumkin; panjaradagi issiqlik muvozanatini tiklash uchun umumiy relaksatsiya vaqti, deylik, τ_pp 1/T ga mutanosib bo'lishini darhol taxmin qilishimiz ham mumkin. Bu, ehtimol, to'g'ridir, lekin biz juda past haroratlarda (T 1) vaziyatni ko'rib chiqadigan bo’lsak, birinchi marta Peierls tomonidan 19/30 yilda ta'kidlangan bir qator asosiy qiyinchiliklarga e'tibor qaratishimiz kerak. Past haroratlarda, asosan, uzoq to'lqin uzunlikdagi fononlar qo'zg'aladi, qo'pol qilib aytganda, har bir fononni h/λ impulsni tashuvchi deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni:


. ( ) (64)

Endi ikkita fononning (v₁, v₂ chastotalari; q₁, q₂ to'lqin vektorlari) angarmonik o'zaro ta'sirini ("to'qnashuvi") ko'rib chiqamiz. Bunday to'qnashuv kamida bitta fononni (v₃; q₃) keltirib chiqarishi kerak va bu "uch fononli jarayonda" (24-rasmga qarang) biz ikkita talabni qondirishimiz kerakligi ma'lum bo'ldi:

(65)


, (66)

bu erda g - vektor, biz buni endi muhokama qilamiz.

Agar biz fononlarni kvazizarralar deb tasavvur qilishga imkon beradigan bo'lsak, u holda 65-tenglama aslida to’qnashuv uchun energiyani saqlanishini ifodalaydi va 66-tenglamada g=0 deb hisoblasak, chiziqli impulsning saqlanishini ifodalagan bo‘lar edi (64-bet).

87-bet.

24-rasm. Ideallashtirilgan ikki o'lchovli panjarada yuzaga keladigan fonon-fonon to'qnashuvlari. Brillouin zonasi tuzilishi oddiygina "o'zaro panjara" ni belgilovchi vektorlar (g) bilan bog'liq va bu erda kvadrat deb taxmin qilinadi. Barcha panjara tebranish vektorlari q, kelib chiqishidan hiobga olinganda, birinchi Brilouen zonasida yotish bilan cheklanadi.

1. 
   "normal" to'qnashuv, bunda "fonon impulsi" saqlanib qoladi.
   
2. 
   bu erda hozir Umklapp to'qnashuvi.
   

Bunday to'qnashuvdan so'ng, bu uchta panjara tebranish rejimi o'rtasida energiya va impulsning qayta taqsimlanishi aniq bo'lar edi, lekin kvazizarralar o'rtasida impuls saqlanib qolganligi sababli, bunday to'qnashuv panjara orqali haqiqiy energiya (issiqlik) oqimini so’ndirishda samarali bo'lmaydi. Agar bu umumiy ma’no hosil qilsa, Peierls dastlab ta'kidlaganidek, angarmonik o'zaro ta'sirlar o'z-o'zidan, garchi ular panjaradagi energiya oqimini qayta taqsimlashsa ham, har qanday aniq termal qarshiligini keltirib chiqaradi; boshqacha qilib aytganda, bir marta boshlangan issiqlik oqimi nazoratsiz davom etadi, bu esa eksperimental faktlarga mutlaqo ziddir.

Oxir-oqibat Peierls ta'kidlaganidek, 66-tenglamadagi o'ng tomoni nolga teng bo'lmagan o'zaro ta'sirlarga murojaat qilishimiz kerak.

89-bet.

g - har qanday o'zaro panjara deb ataladigan elementar vektor bo'lib, u ishtirok etayotgan haqiqiy fazoviy panjaraning tuzilishi va davriyligi bilan belgilanadi. g vektorining kattaligi odatda 2π/a₀ ga teng, bu erda a₀ haqiqiy panjaraning atomlararo masofasi va shuning uchun g har doim q-fazoda nisbatan katta vektor hisoblanadi (24b-rasmga qarang). Ushbu turdagi o'zaro ta'sir (E) sodir bo'lganda, so'zma-so'z aytishimiz mumkinki, nafaqat fononlar to'qnashgan, balki ishtirok etgan fononlardan biri davriy atom panjarasining o'zi tomonidan Bragg aksini o'tkazgan va natijada bu uchta fononning aniq "momentumida" keskin o'zgarishlar yuz bergan bo’ladi. Qaysidir ma’noda aytish mumkinki, bu fonon-fonon to’qnashuvi bo’lib, unda impuls saqlanib qolmaydi, chunki fononlardan biri ham butun panjaradan “orqaga qaytgan” – yoki, aksincha, devordan ortga qaytgan tennis to’pi kabidir. Peierlsning takidlashicha, bu to’qnashuvlar issiqlik oqimini cheklashda juda muhim ahamiyatga ega, chunki bizda fononlar oqimi tomonidan olib boriladigan impulsning umumiy oqimini samarali ravishda buzadigan mexanizm mavjuddir. Peierls bu o’zaro ta’sirlarni “Umclapp” jarayonlari deb atagan va 66-tenglamadagi g=0 bilan mos keladigan jarayonlarni “normal” jarayonlar deb hisoblagan.
Endi past va yuqori haroratlarda fononlarning o'zaro ta'siridan nimani kutish mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Juda past haroratlarda (T θ) odatda faqat past chastotali fononlarning hayajonlanishini kutamiz; boshqacha qilib aytganda, fononlarning katta qismi kichik to’lqin vectorlariga- q ega bo’lganlaridir. Boshqa tomondan, 66-tenglamadan biz darhol ko'ramizki, bu maxsus U-jarayonlardan biriga ega bo'lish uchun to'qnashuvchi fononlarning kamida bittasi g kattalik tartibidagi to'lqin vektoriga - q ega bo'lishi kerak; boshqa so'z bilan aytganda, kamida bitta fonon juda qisqa to'lqin uzunligiga ega bo'lishi kerak - λ, a₀ - atomlararo oraliq. O'z navbatida, bu "to'qnashuvda" ishtirok etuvchi kamida bitta panjara tebranishlari panjaraning xarakterli (Debay) chastotasi bilan taqqoslanadigan chastotaga ega bo'lishi kerakligini anglatadi va juda past haroratlarda bunday chastotani qo'zg'atish ehtimoli juda tez kamayadi, e^-θ*/T kabi ko'proq yoki kamroq, bu erda θ* Debay harorati tartibidagi haroratdir.

90-bet.

Shunday qilib, Peierls dastlab, etarlicha past haroratlarda fononlarni o'z ichiga olgan ushbu U-jarayonlarning paydo bo'lish tezligini va shu tarzda juda tez parchalanishini kutishimiz kerakligini bashorat qilgan edi va shuning uchun ham juda past haroratlarda panjaraning termal qarshiligini shu tezlikda parchalanishini kutamiz.
Yuqori haroratlarda (T≳th) esa, aksincha, barcha chastotalarning panjara tebranishlari kuchli qo'zg'atiladi va fononlarning impuls oqimini (va mos keladigan issiqlik oqimini) cheklash uchun zarur bo'lgan U-jarayonlarini ta'minlashda, umuman, hech qanday qiyinchilik bo'lmasligi kerak. Turli dalillar (masalan, MacDonald, 1960) yuqori haroratlarda fonon-fonon to'qnashuvi tufayli fononning o'rtacha erkin yo'lini l_pp uchun yozishimiz mumkinligini ko'rsatadi:


, (67)

bu yerda a₀ - atomlararo oraliq va T_anh - angarmoniklik harorat deb belgilangan:

;