Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

 

 

XV  F Ə S İ L.  ATOM SISTEMLƏRININ HESABLANMASININ 

BƏZI METODLARI 

 

 

Ё129. İki elektrondan ibarət olan sistemin 

dalğa funksiyası 

 

Ümumilik naminə spini ½-ə  bərabər olan iki eyni hissəcikdən ibarət sistemin dalğa 

funksiyasının tapılmasına baxaq. Aydındır ki, belə sistemin dalğa funksiyası hissəciklərin 

 və   fəza koordinatlarından və 

σ

1

rr

2

rr

1

 və 

σ

2

 spin koordinatlarından asılı olacaqdır: 

(

)

(

)

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

,

,

,

;

,

,

,

,

;

,

σ

σ

σ

σ

z

y

x

z

y

x

r

r

Ψ

=

Ψ

r

r

         (129.1) 

Qeyri-relyativistik halda hissəciklər arasında qarşılıqlı  təsirin onların spinlərindən asılı 

olması  nəzərə alınmadığından, sistemin Hamilton operatorunun ifadəsinə spindən asılı 

olan hədlər daxil olmur və bunun sayəsində (129.1) dalğa funksiyası iki funksiyanın hasili 

kimi yazıla bilər (Ё104): 

(

)

(

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

,

,

,

;

,

σ

σ

ϕ

σ

σ

⋅

Ψ

=

Ψ

r

r

r

r

r

r

r

r

 

        (129.2) 

Burada 

–fəza koordinatlarından, 

(

2

1

, r

r r

r

Ψ

)

(

)

2

1

,

σ

σ

ϕ

 isə spin koordinatlarından asılı olan 

funksiyadır. 

Məlumdur ki, spini ½-in tək tam ədədlərə hasilinə  bərabər olan eyni hissəciklərdən 

ibarət olan sistemin dalğa funksiyası bu sistemdə iki hissəciyin yerinin (koordinatlarının 

və ya halının) dəyişməsinə  nəzərən antisimmetrik olmalıdır (Ё107). (129.2) dalğa 

funksiyasının da antisimmetrik funksiya olması üçün koordinatlardan asılı olan 

 

funksiyası simmetrikdirsə (antisimmetrikdirsə), 

(

)

2

1

, r

r r

r

Ψ

(

)

2

1

,

σ

σ

ϕ

 spin funksiyası 

antisimmetriklik (simmetriklik) şərtini ödəməlidir. 

Baxılan sistemin yekun spini S iki qiymət ala bilər: 1) hissəciklərin spinləri bir-birinə 

antiparaleldirsə,  S=0; 2) hissəciklərin spinləri bir-birinə paraleldirsə,  S=1. Birinci halda 

tam spinin üstün istiqamət üzrə proyeksiyasını xarakterizə edən kvant ədədi bir dənə 

M

S

=0, ikinci halda isə üç dənə  M

S

=1,0,-1 qiymətlərini alır.  İki eyni hissəcikdən ibarət 

olan sistemin tam spini S=0 olan halı para hal, S=1 olan halı isə orto hal adlanır. 

(129.2)-yə daxil olan 

(

)

2

1

,

σ

σ

ϕ

 spin funksiyasının S və M

S

 kvant ədədlərinin müxtəlif 

qiymətlərinə uyğun gələn ifadələrini tapaq. Aydındır ki, hər bir hal üçün 

(

2

1

,

)

σ

σ

ϕ

 spin 

funksiyası aşağıdakı iki operator tənliyini eyni zamanda ödəməlidir: 

(

)

(

)

ϕ

ϕ

 

1

ˆ

ˆ

2

2

2

1

+

=

+

S

S

s

s

h

r

r

, 

               (129.3) 

(

)

ϕ

ϕ

S

z

z

M

s

s

h

=

+

 

ˆ

ˆ

2

1

 

 

           (129.4) 

Burada   və 

–birinci, 

1

ˆsr

z

s

1

ˆ

2

ˆsr  və 

 ikinci hissəcik üçün, 

z

s

2

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

s

s

s

r

r

r

+

=

 və 

 isə 

baxılan sistem üçün tam spin operatorlarıdır,  S  və  M

z

z

z

s

s

s

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

S

 kvant ədədləri isə uyğun olaraq, 

S=0, M

S

=0 və S=1, M

S

=1,0,-1 qiymətlərini ala bilər. 

k-cı hissəcik üçün 

2

ˆ

k

sr

  və 

 operatorlaranın ümumi məxsusi funksiyaları 

kz

sˆ

( )

k

m

s

σ

ϕ

 

 

859

aşağıdakı kimi təyin olunur /bax: (104.13) və (104.14)/: 

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

+

0

1

2

1

k

σ

ϕ

, 

( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

1

0

2

1

k

σ

ϕ

  

        (129.5) 

Burada 

σ

k

=m

k

  şərti ödənməlidir.  Əks halda spin funksiyası  sıfra bərabər olur /bax: 

(104.87)/. Bundan sonra sadəlik naminə (129.5) spin funksiyalarını, uyğun olaraq, 

ϕ

+

(k) 

və 

ϕ

-

(k) kimi işarə edəcəyik. 

(104.53) ifadələrindən istifadə edərək 

, 

  və 

 operatorlarının (129.5) 

funksiyalarına təsirini tapaq: 

kx

sˆ

ky

sˆ

kz

sˆ

( )

( )

k

k

s

kx

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ϕ

ϕ

2

1

0

2

1

0

 

0

1

1

0

2

ˆ

h

h

h

,              (129.6) 

( )

( )

k

i

i

i

i

k

s

ky

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

ϕ

2

0

2

0

1

 

0

0

2

ˆ

h

h

h

,           (129.7) 

( )

( )

k

k

s

kz

+

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

ϕ

2

0

1

2

0

1

 

1

0

0

1

2

ˆ

h

h

h

,            (129.8) 

( )

( )

k

k

s

kx

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

ϕ

ϕ

2

0

1

2

1

0

 

0

1

1

0

2

ˆ

h

h

h

,            (129.9) 

( )

( )

k

i

i

i

i

k

s

ky

+

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

ϕ

2

0

2

1

0

 

0

0

2

ˆ

h

h

h

,        (129.10) 

( )

( )

k

k

s

kz

−

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

ϕ

ϕ

2

1

0

2

1

0

 

1

0

0

1

2

ˆ

h

h

h

.        (129.11) 

(129.5) funksiyalarından aşağıdakı kimi dörd dənə funksiya düzəltmək olar: 

ϕ

1

(1,2)=

ϕ

+

(1)

⋅

ϕ

+

(2), 

 

          (129.12) 

ϕ

2

(1,2)=

ϕ

-

(1)

⋅

ϕ

-

(2), 

 

          (129.13) 

( )

( ) ( )

( ) ( )

[

]

2

 

1

2

 

1

2

1

2

,

1

3

+

−

−

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

,            (129.14) 

( )

( ) ( )

( ) ( )

[

]

2

 

1

2

 

1

2

1

2

,

1

4

+

−

−

+

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

           (129.15) 

Göründüyü kimi, (129.12)-(129.14) funksiyaları simmetrik, (129.15) funksiyası isə 

antisimmetrikdir. 

(104.89) düsturuna əsasən 

ϕ

+

(1), 

ϕ

-

(1), 

ϕ

+

(2), 

ϕ

-

(2) spin funksiyaları normallıq şərtini 

ödədiyindən, (129.12) və (129.13) funksiyaları da normallaşmış funksiyalar olacaqdır. 

(129.14) və (129.15) ifadələrində isə 

2

1

 normallaşdırıcı vuruqdur. Deməli, (129.12)-

(129.15) funksiyalarının dördü də ortonormallıq şərtini ödəyir. 

 

860 

z

s

1

ˆ

 operatorunun yalnız 

ϕ

+

(1), 

 operatorunun isə yalnız 

ϕ

z

s

2

ˆ

+

(2) funksiyasına təsir 

etdiyini nəzərə alaraq 

z

z

s

s

2

1

ˆ

ˆ

+

 operatorunun (129.12) funksiyasına təsirini tapaq: 

(

) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

ˆ

 

1

1

ˆ

 

2

2

 

1

 

ˆ

ˆ

2

1

2

1

+

+

+

+

+

+

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

z

z

z

z

s

s

s

s

. 

Burada (129.8)-i nəzərə alsaq 

(

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

 

1

2

 

1

2

2

 

1

2

2

 

1

 

ˆ

ˆ

2

1

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

h

h

h

z

z

s

s

  (129.16) 

yaza bilərik. 

(129.16) ifadəsinin (129.4) ilə müqayisəsindən görünür ki, (129.12) funksiyası 

 operatorunun M

z

z

z

s

s

s

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

S

=1 qiymətinə uyğun olan məxsusi funksiyasıdır. 

Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, (129.13)-(129.15) funksiyaları da 

 

operatorunun məxsusi funksiyalarıdır və özü də (129.13) funksiyası M

z

z

z

s

s

s

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

S

=-1, (129.14) və 

(129.15) funksiyaları isə M

S

=0 qiymətinə uyğundurlar. 

İndi isə isbat edək ki, (129.12)-(129.15) spin funksiyaları  həm də 

 

operatorunun da məxsusi funksiyalarıdır /bax: (129.3)/. Bunun üçün əvvəlcə 

(

)

2

2

1

2

ˆ

ˆ

ˆ

s

s

s

r

r

r

+

=

(

)

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s

r

r +

 

operatorunu hissəciklərin spinlərinin proyeksiyalarına uyğun olan operatorlarla ifadə 

edək: 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

.

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

z

z

y

y

x

x

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

=

+ r

r

      (129.17) 

kx

sˆ  kimi operatorların hər biri yalnız  k-cı hissəciyin spin funksiyasına təsir 

etdiyindən, məsələn, 

  və 

 operatorları bir-biri ilə kommutativ olur və bu fakt da 

(129.17) ifadəsində nəzərə alınmışdır. 

x

s

1

ˆ

x

s

2

ˆ

(129.17) operatorunun (129.12)-(129.15) funksiyalarına təsirini tapmaq üçün (129.6)-

(129.11) ifadələrindən istifadə etməklə alınmış aşağıdakı düsturlardan istifadə edəcəyik: 

( )

( )

k

k

s

kx

+

+

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

, 

( )

( )

k

k

s

ky

+

+

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

, 

( )

( )

k

k

s

kz

+

+

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

, 

(129.18)

 

( )

( )

k

k

s

kx

−

−

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

, 

( )

( )

k

k

s

ky

−

−

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

, 

( )

( )

k

k

s

kz

−

−

=

ϕ

ϕ

4

ˆ

2

2

h

 

 

861

(129.6)-(129.11) və (129.18) ifadələrindən istifadə etməklə (129.17) operatorunun 

(129.12) spin funksiyasına təsirinə baxaq: 

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[

{

( ) ( )

( )

]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[

]

( ) ( )

( )

[

( )

( ) ( )

]

}

( )

( ) ( )

( ) ( )

.

2

 

1

2

2

 

1

8

4

 

2

 

1

2

1

2

2

 

1

2

 

1

2

 

1

2

2

 

1

2

 

1

2

 

1

2

2

 

1

 

4

2

ˆ

 

1

2

ˆ

 

1

ˆ

2

1

ˆ

 

2

2

ˆ

 

1

2

ˆ

 

1

ˆ

2

1

ˆ

 

2

2

ˆ

 

1

2

ˆ

 

1

ˆ

2

1

ˆ

 

2

2

 

1

ˆ

ˆ

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

+

+

+

+

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

⋅

=

+

⋅

⋅

+

+

+

−

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

h

h

h

r

r

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

(129.19) 

(129.19) və (129.3) ifadələrinin müqayisəsindən görünür ki, (129.12) funksiyası 

(

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s

)

r

r +

 operatorunun S=1 qiymətinə uyğun olan məxsusi funksiyasıdır. 

Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, (129.13)-(129.15) funksiyaları da 

(

)

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s

r

r +

 

operatorunun məxsusi funksiyasıdır və özü də (129.13) və (129.14) funksiyaları  S=1, 

(129.15) funksiyası isə S=0 qiymətinə uyğundur. 

Beləliklə, aydın olur ki, spini ½ olan iki eyni hissəcikdən ibarət sistemin spin 

funksiyası tam spin S=1 olduqda simmetrik funksiya olub, M

S

=1,0,-1 qiymətlərində, 

uyğun olaraq, (129.12), (129.13) və (129.14) kimi təyin olunur. Tam spin S=0 olduqda isə 

spin funksiyası antisimmetrik olub, (129.15) kimi təyin olunur. Deməli, 

(

2

1

,

)

σ

σ

ϕ

S

SM

 spin 

funksiyası üçün aşağıdakı yekun ifadələri yaza bilərik: 

S=1, M

S

=1; 

ϕ

11

(

σ

1

,

σ

2

)=

ϕ

+1/2

(

σ

1

)

ϕ

+1/2

(

σ

2

),             (129.20) 

M

S

=0;

(

)

( )

( )

( )

( )

[

]

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

10

 

 

2

1

,

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

ϕ

+

−

−

+

+

=

,   (129.21) 

M

S

=-1; 

ϕ

1-1

(

σ

1

,

σ

2

)=

ϕ

-1/2

(

σ

1

)

ϕ

-1/2

(

σ

2

), 

           (129.22) 

S=0, M

S

=0;

(

)

( )

( )

( )

( )

[

]

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

00

 

 

2

1

,

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

ϕ

σ

σ

ϕ

+

−

−

+

−

=

   (129.23)