Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё132. Tomas-Fermi metodu Mürəkkəb atomda çoxlu sayda elektronların hərəkəti haqqında məsələnin həlli son dərəcə çətindir. Məsələn, rubidium atomunda 37, sezium atomunda 55, uran atomunda 92 elektron bir-biri ilə və nüvə ilə qarşılıqlı təsirdə olmaqla hərəkət edir. Ona görə də ağır atomların nəzəri hesablanması üçün təqribi kvant mexaniki üsullarla yanaşı bəzən Tomas və Ferminin təklif etdiyi statistik metodun tətbiq edilməsi daha əlverişli olur. Statistik yanaşma zamanı mürəkkəb atomdakı elektronlar çoxluğuna, metalların elektron nəzəriyyəsində olduğu kimi, mütləq sıfır temperaturunda (T=0) cırlaşmış elektron qazı kimi baxılır (Klassik statistikaya tabe olan qaz cırlaşmamış, kvant statistikası qanunları ilə təsvir olunan qaz isə cırlaşmış qaz adlanır.). Belə statistik yaxınlaşma zamanı ayrı-ayrı elektronların atomda özünü necə aparmasının bir çox xüsusiyyətlərini nəzərə almaq qeyri-mümkün olduğundan, Tomas-Fermi metodu Xartri- Fokun öz-özünə qərarlaşmış sahə metoduna (Ё135) nisbətən daha az dəqiqliyə malikdir. Bu cür ümumi çatışmazlıqlarına baxmayaraq, Tomas-Ferminin statistik metodu, atomun bir sıra mühüm xassələrini kifayət qədər sadə şəkildə izah etməyə imkan verdiyi üçün mühüm rol oynayır. Bu metod atomun təbəqəli elektron quruluşu haqqında heç bir təsəvvür yaratmasa da, onun köməyi ilə atomların elektron təbəqələrinin dolmasının bəzi mühüm xüsusiyyətləri izah edilmişdir. Fərz edək ki, atomda potensialı ϕ (r) olan müəyyən sferik-simmetrik sahədə böyük 878
sayda elektronlar hərəkət edir. Pauli prinsipinə görə bu elektronların çoxu kvant ədədlərinin böyük qiymətlərinə uyğun olan hallarda yerləşmiş olur. Əgər ϕ (r) potensialının fəzada dəyişməsi kifayət qədər ləng olsa, elektronlara kvaziklassik yaxınlaşmada baxmaq olar. Bundan başqa, elektronlar arasında qarşılıqlı təsir çox zəif olsa, belə elektronlar sistemini mütləq sıfır temperaturlu ideal Fermi qazı hesab etmək olar. Cırlaşmış Fermi qazında hər bir kvant halında iki elektron yerləşir, yəni faza fəzasında həcmi (2 π
3 =h 3 olan hər bir özəkdə spinləri antiparalel olmaqla ən çoxu bir cüt elektron yerləşə bilər (h–Plank sabitidir). Bu zaman impuls fəzasında 0 ≤p≤p maks
intervalına düşən impulsa uyğun olan bütün özəklər dolmuş olur. Belə ki, atomun stasionar halında hər bir dV həcm elementində zaman keçdikcə dəyişməyən dN sayda elektron yerləşir. Bu elektronların kinetik enerjilərinin cəminin minimum olması üçün onlar faza fəzasının dV həcm elementində yerləşən və impulsun sıfırdan müəyyən p
qiymətinə qədər olan qiymətlərinə uyğun gələn özəkləri hər özəkdə iki elektron olmaqla doldurmalıdır. İmpulsun bu p maks qiyməti aşağıdakı münasibətdən tapılır: ( )
⋅ = ⋅ 3 3 3 4 2 2 π π h
(132.1) dV p maks ⋅ 3 3 4 π kəmiyyəti fiziki fəzanın dV həcm elementində yerləşən faza fəzasının həcmidir. (132.1)-də dV dN nisbəti dV həcm elementinin götürüldüyü yerdə elektronların n sıxlığına bərabərdir. Elektronların atomda paylanmasını sferik-simmetrik hesab edərək, (132.1)-ə əsasən ( ) ( )
( ) [ ] 3 3 2 3 8
p r n maks h π π =
(132.2) yaza bilərik. Burada r–atomun mərkəzindən (nüvədən) olan məsafədir. Atomun nüvəsindən r məsafədə elektronun tam enerjisinin maksimal qiyməti ( )
( ) [ ] ( ) 0 2 2 ϕ ϕ e r e m r p r Е maks maks − = − =
(132.3) olar. Burada -e ϕ ( r) elektronun potensial enerjisi, ϕ 0 isə potensial vahidi ilə ölçülən müəyyən kəmiyyətdir. Atomun stasionar halında elektronun maksimal tam enerjisi nüvədən olan bütün məsafələrdə eyni olmalıdır. Əgər belə olmasa, onda elektronlar maksimal tam enerjinin çox olduğu yerdən az olduğu yerə keçərək yenidən paylanmış olardılar. Deməli, (132.3) ifadəsində ϕ 0 sabitdir: ϕ 0 =const. (132.3)-dən p maks (
hər bir nöqtədə elektronların sıxlığını və potensialı əlaqələndirən aşağıdakı ifadəni alarıq: ( )
( ) ( ) [ ] 2 3 0 2 3 3 2 2 3 1 ϕ ϕ π − =
me r n h
(132.4) Atomda elektrik yükünün paylanması xarakterindən görünür ki, müsbət kəmiyyət olan ϕ
r) potensialı r artdıqca azalmalı və atomun sərhəddində sıfra bərabər olmalıdır. Deməli, atomun sərhəddini təyin edən məsafə R olsa, ϕ ( R)=0 şərti ödənməlidir. Atomun sərhəddində elektronların sıxlığı da sıfra bərabər olur. Bu mülahizələrdən görünür ki, (132.4) ifadəsindəki ϕ 0 sabiti yalnız sıfra bərabər ola bilər: ϕ 0 =0. Beləliklə, (132.4)
879 ifadəsi aşağıdakı şəklə düşür: ( )
( ) ( ) [ ] 2 3 2 3 3 2 2 3 1 r me r n ϕ π h =
(132.5) n(r) kəmiyyətini –e-yə vuraraq atomun daxilində yükün ρ orta sıxlığını alarıq: ρ (
en(r). Məlumdur ki, ϕ ( r) potensialı ilə yükün ρ sıxlığı arasındakı əlaqə Puasson tənliyi ilə verilir: πρ ϕ 4 2 − = ∇
(132.6) Burada –sferik koordinatlarda Laplas operatorudur (Ё76). ϕ potensialı yalnız r-dən asılı olduqda 2 ∇
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ dr d r dr d r ϕ ϕ 2 2 2 1
(132.7) (132.5) və (132.7)-ni də nəzərə alsaq ( )
3 2 3 3 2 2 2 3 4 1 ϕ π ϕ me e dr d r dr d r h = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (132.8) tənliyi alınır. Aydındır ki, (132.8)-i aşağıdakı kimi də yazmaq olar: ( )
( ) 2 3 2 3 3 2 2 2 3 4 1 ϕ π ϕ me e dr r d r h = (132.9) (132.8) və ya (132.9) ifadəsi Tomas-Fermi tənliyi adlanır. Bu tənliyin həlli
nömrəsi böyük olan atomların daxilində ϕ (
(132.8) tənliyini həll etmək üçün əlavə olaraq sərhəd şərtlərindən istifadə edilməlidir. Əvvəlcə neytral atomlar üçün bu tənliyin həll edilməsi qaydasına baxaq. Sərhəd şərtlərindən biri ondan ibarətdir ki,
→0 olduqda, yəni nüvənin yaxınlığında nüvənin yükü elektronlar tərəfindən ekranlanmadığı üçün sahə sırf Kulon sahəsi olmalıdır. Başqa sözlə,
r →0 olduqda ϕ (
götürülməlidir: ( )
r ze r → ϕ , r →0.
(132.10) İkinci sərhəd şərti isə ondan ibarətdir ki,
→∞ olduqda ϕ (
→0 və ϕ
'
r)=d ϕ / dr →0
olmalıdır, yəni atomun sərhəddində və atomdan kənarda potensial sıfra bərabər olmalıdır. Beləliklə, atomun sərhəddində ϕ (
( ) 0 ' = = = R dr d R r ϕ ϕ (132.11) şərti ödənməlidir. (132.8) tənliyini 2 3
2 2 ϕ ϕ ϕ
dr d r dr d = +
(132.12) kimi yazaq. r=R olduqda (132.11) şərtinin ödəndiyini (132.12)-də nəzərə alsaq, həm də ϕ '' ( R)=0 olar. (132.12) tənliyini r üzrə diferensiallayaraq
880 dr d c dr d r dr d r dr d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⋅ ⋅ = − + 2 1 2 2 2 3 3 2 3 2 2 (132.13) tənliyini yaza bilərik. Burada ϕ ( R)= ϕ ' ( R)= ϕ '' ( R)=0 olduğunu nəzərə alsaq, ϕ ''' ( R)=0 olduğunu görərik və s. Deməli, belə nəticəyə gəlirik ki, r=R olduqda, yəni atomun sərhəddində həm ϕ potensialı, həm də onun bütün törəmələri sıfra bərabərdir. Funksiyanın özünün və onun bütün törəmələrinin sonsuz uzaq olmayan müəyyən nöqtədə sıfra bərabər olması yalnız o zaman mümkündür ki, funksiya eynilik kimi sıfra bərabər olsun. Deməli, (132.8) Tomas-Fermi tənliyinin (132.11) sərhəd şərti daxilində sıfırdan fərqli həlli yalnız R= ∞ olduqda alınır. Beləliklə, Tomas-Fermi tənliyinə görə neytral atomun radiusu sonsuz böyükdür. Atomun daxilində orta elektron yükü sferik simmetrik paylandığına görə nüvədən r məsafədə potensial ( ) ( )
r r q ze r − = ϕ
(132.14) kimi təyin olunur. Burada - q(r)–r radiuslu sferanın daxilində yerləşən tam elektron yüküdür. Aydındır ki, r →0 olduqda -q(r) kəmiyyəti –ze-yə yaxınlaşacaqdır. Deməli, ϕ (
funksiyası r 1 -ə nisbətən sıfra daha sürətlə yaxınlaşır, yəni r ϕ ( r) →0, r→∞
(132.15) şərti ödənir. Deməli, (132.8) tənliyi (132.10) və (132.15) sərhəd şərtlərini ödəməlidir. (132.9) Tomas-Fermi tənliyinin (132.10) və (132.15) sərhəd şərtlərini ödəyən həllərini tapmaq üçün bu tənlikdə ϕ ( r) və r kəmiyyətlərinin əvəzinə aşağıdakı kimi təyin χ və
x adsız kəmiyyətlərinə keçmək əlverişlidir: ,
r ϕ χ =
r x = .
(132.16) Burada,
(132.9) tənliyinin əvəzinə χ üçün aşağıdakı tənliyi alırıq ( ) x d z m e dx d 2 3 3 2 3 2 1 2 3 3 2 2 3 2 4 χ π χ ⋅ = h .
(132.17) Burada
d-ni elə seçək ki, sağ tərəfdəki əmsal 1-ə bərabər olsun. Bu şərtin ödənməsi üçün 3 1 0 3 1 2 2 3 1 2 885 , 0 1 16 9 2 1 z a z me d = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = h π (132.18) olmalıdır. Burada
0 –birinci Bor orbitinin radiusudur. Beləliklə, (132.18)-i nəzərə almaqla (132.16) kimi təyin olunan χ və x adsız kəmiyyətləri vasitəsilə Tomas-Fermi tənliyi
2 3 2 2 χ χ = dx d x
(132.19) şəklinə düşür. (132.16)-dan görünür ki, r →0 olduqda x→0 olur. Ona görə də (13.16) əvəzləmələri etdikdə (132.10) və (132.15) sərhəd şərtləri aşağıdakı şəklə düşür:
881 χ →1, x→0 (132.20)
χ →0, x→∞ (132.19) tənliyinin (132.20) sərhəd şərtlərini ödəyən sadə analitik formaya malik olan həlli təəssüf ki, tapılmamışdır. Ona görə də həmin tənliyi həmin sərhəd şərtləri daxilində ədədi hesablama metodları vasitəsilə həll edirlər. Qeyd edək ki, x-in kiçik və böyük qiymətləri üçün həllin asimptotik ifadələrini tapmaq mümkün olmuşdur. Müəyyən edilmişdir ki,
χ ( x) funksiyası ( )
... 3 4 588 , 1 1 2 3 + + − = x x x χ
(132.21) sırası kimi təyin oluna bilər. x-in böyük qiymətlərində isə (x>10) χ ( x) funksiyası ( )
λ λ χ 3 3 144 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
x , λ =0,772 (132.22) analitik ifadəsi şəklində göstərilə bilər. Yuxarıda qeyd olunduğu kimi, Tomas-Fermi metodu Xartri-Fok metoduna (Ё135) nisbətən daha çox təqribidir. Belə ki, Tomas-Fermi metodu atomların fərdi xüsusiyyətlərini nəzərə ala bilmir, atomlarda elektron təbəqələrinin quruluşunu müəyyən etmir və atomla nisbətən zəif əlaqədə olan valent elektronlarının sıxlığının paylanmasını yaxşı əks etdirmir. Lakin Tomas-Fermi metodunun üstün cəhəti onun riyazi baxımdan nisbətən sadə olmasındadır. Bundan başqa, həmin metod çoxlu sayda hissəciklərdən təşkil olunmuş digər sistemlərə – atom nüvələrinə, molekullara və kristallara da müvəffəqiyyətlə tətbiq oluna bilər. Bir məsələni də qeyd edək ki, (132.19) tənliyi universal xarakter daşıyır, yəni atomun z sıra nömrəsindən asılı deyildir. Ona görə də Tomas-Fermi tənliyinin ədədi inteqrallanmasından alınan nəticədən, z-dən asılı olan miqyası dəyişməklə, istənilən ağır atom üçün istifadə etmək olar. 132.1 cədvəlində (132.19) Tomas-Fermi tənliyinin ədədi inteqrallama metodu ilə həllindən tapılmış χ (
132.1 şəklində atom üçün χ ( x) funksiyasının qrafiki qırıq xətlə göstərilmişdir. x →∞
olduqda χ ( x) funksiyası asimptotik olaraq sıfra yaxınlaşdığından, potensial və onunla birlikdə elektron sıxlığı heç yerdə sıfra bərabər olmur /bax: (132.16) və (132.5)/. Bu isə o deməkdir ki, baxılan yaxınlaşmada atomun radiusunun sonlu qiymətini tapmaq olmaz. 132.2 şəklində arqon atomu üçün D=4 π
2 ρ
r)radial elektron sıxlığının Tomas-Fermi metoduna görə qrafiki (bütöv xətt) Xartri-Fok metoduna əsasən qurulmuş qrafiklə (qırıq xətt) müqayisə olunur. Bu qrafiklər Tomas-Fermi metodunun yaxşı cəhətlərini və çatışmazlıqlarını əyani şəkildə təsvir edir. Göründüyü kimi, bu metod atom daxilində elektron sıxlığının məsafədən asılılığının bütün incəliklərini təsvir etmirsə də, bu asılılığın ümumi gedişini kifayət qədər dəqiq müəyyən etməyə imkan verir.
882
χ (x) 0
χ (x) 0 x x* Шякил D 0 0 a r D 0 0 a r Шякил Atomun nüvədən uzaqda yerləşən xarici hissələrində elektron sıxlığı üçün Tomas- Fermi metoduna görə hesablanmış qiymətlər nisbətən böyük alınır. Atomun periferik oblastları üçün Tomas-Fermi metodunun pis nəticələr verməsi bu metodun tətbiq oluna bilməsi şərtləri ilə əlaqədar olaraq meydana çıxır. Elektron sıxlığının nüvədən olan məsafədən asılılığının ədədi hesablanması göstərir ki, atomun tam elektron yükünün yarısı radiusu
≈1,33a 0
-1/3
olan sferanın daxilində yerləşir. Ona görə də bu
R kəmiyyətini atomun keyfiyyətcə effektiv radiusu hesab etmək olar. Atomun z sıra nömrəsi artdıqca bu effektiv radius kiçilir.
Cədvəl 132.1 x χ ( x) X χ ( x) x χ ( x) 0,00
0,02 0,04
0,06 0,08
0,10 0,2
0,3 0,4
0,5 0,6
0,7 0,8
0,9 1,0
1,2 1,000
0,972 0,947
0,924 0,902
0,882 0,793
0,721 0,660
0,607 0,561
0,521 0,485
0,453 0,424
0,374 1,4
1,6 1,8
2,0 2,2
2,4 2,6
2,8 3,0
3,2 3,4
3,6 3,8
4,0 4,5
5,0 0,333
0,298 0,268
0,243 0,221
0,202 0,185
0,170 0,157
0,145 0,134
0,125 0,116
0,108 0,0919
0,0788 6 7 8 9 10 11 12
13 14
15 20
25 30
40 50
60 0,0594
0,0461 0,0366
0,0296 0,0243
0,0202 0,0171
0,0145 0,0125
0,0108 0,0058
0,0035 0,0023
0,0011 0,00061
0,00009
883 Atomda bütün elektronların tam enerjisi tərtibcə bir elektronun 2 3 4 2 ~ e z R ze orta
elektrostatik enerjisinin elektronların z sayına hasilindən alınan 3 7 2 z a e kəmiyyətinə bərabərdir. Deməli, Tomas-Fermi metodu neytral atomun effektiv radiusunu və atomun tam elektron enerjisini qiymətləndirməyə imkan verir. Bütün bu orta kəmiyyətlər, həm də atomların daxili oblastlarının xassələrinə aid olan bütün kəmiyyətlər (məsələn, rentgen səviyyələrinin quruluşu) təcrübi faktlarla yaxşı uyğun gəlir. Əksinə, atomların periferik elektronlarının xassələrindən asılı olan kəmiyyətlər (məsələn, atomların ionlaşma potensialları) Tomas-Fermi metodu ilə kifayət qədər qənaətbəxş şəkildə təyin oluna bilmirlər. Bunun səbəbi isə ondan ibarətdir ki, atomun periferiyasında (kənar oblastlarında) elektron sıxlığı elə kiçikdir ki, burada elektronları cırlaşmış elektron qazı hesab etmək olmur. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, Tomas-Fermi metodunun məziyyətlərindən biri onun sadəliyidir. Buna misal olaraq, həmin metod vasitəsilə
dolmağa başladığı atomun z sıra nömrəsinin tapılmasını göstərmək olar. Bu məsələni Xartri-Fok metoduna əsasən həll etmək üçün həddən artıq və özü də çətin hesablamaların aparılması tələb olunur. Lakin 1928-ci ildə Fermi kvaziklassik təsəvvürlər əsasında
orbital kvant ədədinin müəyyən qiymətinə uyğun elektron təbəqəsinin ilk dəfə dolmağa başladığı atomun
Məlumdur ki, klassik mexanikada hissəciyin impuls momenti rr radius vektoru ilə pr impulsunun vektorial hasili kimi təyin olunur: [ ]
p r M r r r = . Buradan görünür ki, impulsun radius-vektorun istiqamətinə perpendikulyar olan proyeksiyası p n =
α üçün
2 2 2 r M p n =
(132.23) yazmaq olar. Aydındır ki, impulsun proyeksiyasının kvadratı p n 2 impulsun maksimal qiymətinin kvadratından ( ) böyük ola bilməz. Ona görə də p 2
p maks və
r kəmiyyətlərinin verilmiş qiymətində M impuls momenti yalnız ( )
2 2 2 2 2 1 r l l r M p maks + = > h
(132.24) şərtini ödəyən qiymətlər ala bilər. Kvant mexanikasında göstərilir ki, kvaziklassik yaxınlaşmada impuls momentinin kvadratı üçün
2 = ħ 2 ( l+1/2) 2
(132.25) götürmək lazımdır. Bu ifadə elə bil ki, impuls momentinin kvadratı üçün Bor nəzəriyyəsindəki M 2 = ħ 2 ( l+1) ilə kvant mexanikasındakı M 2 = ħ 2
müəyyən kompromis yaradır. (132.2) ifadəsinə əsasən kəmiyyətini elektron qazının ρ 2 maks p 0 = n(r) sıxlığı ilə aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: ( )
2 0 2 2 2 3 ρ π h = maks p .
(132.26) Elektron qazının ρ 0
n(r) sıxlığı isə (132.19) Tomas-Fermi tənliyini həll edərək, (132.16)- nı nəzərə almaqla, (132.5)-ə əsasən tapıla bilər. Ritsin variasiya metoduna (Ё131) əsasən
884
müəyyən edilmişdir ki, Tomas-Fermi tənliyinin həlli zamanı elektron qazının ρ 0 sıxlığı üçün yaxşı sınaq funksiyası r e r z λ π λ ρ − = 2 3 2 3 0 16
(132.27) ifadəsi ilə təyin olunur. Burada λ –variasiya parametri olub, ölçü vahidi m -1 -dir. (132.25), (132.26), (132.27) ifadələrini (132.24) bərabərsizliyində yazsaq ( ) 2 2 3 2 3 2 2 1 16 3 r l e r z r + > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − λ λ π (132.28) olar. Burada yeni
λ
( )
3 2 2 1 3 16 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
z D π
(132.29) işarə etsək x D e x > − 3 2
(132.30) bərabərsizliyini yaza bilərik. Göründüyü kimi, həm
→0 (r→0), həm də x→∞ olduqda (132.30) ifadəsinin sağ tərəfi sol tərəfindən böyük olur. Ona görə də atomda elektronlar
in
x 1
2 oblastında yerləşən və (132.30) bərabərsizliyini ödəyən qiymətlərində l orbital momentinin verilmiş qiymətinə malik ola bilərlər. Burada x 1 və x 2
D e x = − 3 2
(132.31) tənliyinin kökləridir.
1 və x 2 köklərinin bir-birinə bərabər olmasından ibarətdir: x 1 = x 2 . Bu halda funksiyaların yalnız özləri deyil, həm də onların birinci tərtib törəmələri də bir- birinə bərabər olmalıdır, yəni (132.31) ilə yanaşı 2 3
3 1
D e x x = −
(132.32) bərabərliyi də ödənməlidir. Göründüyü kimi, (132.31) və (132.32) bərabərliklərinin ödənməsi üçün 3 =
və ya
D=9e -2 olmalıdır. D üçün (132.29) ifadəsini burada yazaraq l-in verilmiş qiymətinə uyğun elektronların ilk dəfə meydana çıxdığı atomun z sıra nömrəsini tapırıq:
885 ( ) ( 3 3 3 1 2 158 , 0 1 2 81 2 + = + = l l e z π ) (132.33) Burada
e=2,718… natural loqarifmin əsasıdır. Tomas-Fermi tənliyinin ədədi inteqrallama metodu ilə həllindən istifadə edərək analoji hesablama apardıqda (132.33)-də əmsal 0,155 olur. Bu fakt bir daha göstərir ki, atomda elektron qazının sıxlığı üçün (132.27) ifadəsi Tomas-Fermi tənliyinin ədədi həllindən alınan sıxlığa yaxşı adekvatdır. İndi isə
(132.33) düsturuna əsasən hesablayaq. Bu hesablamanın nəticələri 132.2 cədvəlində verilmişdir. Bu cədvəlin birinci sətrində
götürməklə tapılmış kəsr qiymətlər, ikinci sətrində isə bu kəsrlərin yaxın böyük tam ədədə qədər yuvarlaqlaşdırılmış qiymətləri göstərilmişdir. Üçüncü sətirdə
qiymətlər və həm də uyğun kimyəvi elementin adı verilmişdir.
Cədvəl 132.2 l 0(
Tomas-Fermi metoduna görə z ⎩ ⎨ ⎧ 1 15 , 0
⎩ ⎨ ⎧ 5 2 , 4
⎩ ⎨ ⎧ 20 4 , 19 ⎩ ⎨ ⎧ 54 2 , 53
z-in empirik qiyməti 1(H) 5(B) 21(Sc) 58(Ce)
132.2 cədvəlindən görünür ki, Tomas-Fermi metodundan alınmış nəzəri qiymətlər təcrübi faktlarla yaxşı uyğun gəlir. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, (132.33) düsturunda əmsalı 0,17 götürdükdə (Ё109) bu uyğunluq daha dəqiq olur. Məlumdur ki, yüngül elementlərdə (
dolması bor atomundan ( z=5) başlayır ki, bu da nəzəri qiymətə tam uyğun gəlir. 132.2 cədvəlindən görünür ki, statistik modelin (Tomas-Fermi metodunun) kobud yaxınlaşma olmasına baxmayaraq, 3
(
başlayır. Tomas-Fermi modelinə əsasən, eynilə buna oxşar olaraq, Ag (
dolmağa başlamalı olan 4 f–təbəqənin dolmasının "ləngiməsi", də izah olunur. Belə ki, təcrübi fakta uyğun olaraq, nəzəriyyədən alınan nəticəyə görə 4 f–təbəqənin dolması serium (
z=58) atomunda başlamalı və lantanidlər qrupu yaranmalıdır. (132.33) düsturundan görünür ki, l=4 qiymətinə uyğun olan 5g təbəqəsi ilk dəfə sıra nömrəsi z=124 olan atomda dolmağa başlamalıdır. Beləliklə, Tomas-Fermi metodu atomlarda elektron təbəqələrinin dolması ardıcıllığının tam inamlı izahını verir. Tomas-Fermi metodunun mühüm tətbiqlərindən biri bu metod vasitəsilə müsbət ionların xassələrinin öyrənilməsidir. Müsbət ionlarda nüvənin yükü elektronların yükündən çox olduğu üçün atomun elektron təbəqəsi sıxılmış olur və elektron qazının sıxlığı elə sürətlə azalır ki, atomun elektron örtüyü üçün sonlu
∗ radiusu daxil etmək mümkün olur. İondan kənarda, yəni r>R ∗ olduqda elektrik sahəsinin potensialı ( ) ∗ > − = R r r ez
, 1 σ ϕ
(132.34) kimi təyin oluna bilər. Burada σ –ionlaşma dərəcəsidir və σ =( |təbəqənin yükü|/nüvənin 886
yükü) kimi təyin olunur. r=R ∗ olduqda potensial ( ) ∗ − =
ez σ ϕ 1 0
(132.35) kimi təyin olunur. Buna uyğun olaraq da, ionun səthində elektronun enerjisi
ϕ 0 -a bərabər olur.
Neytral atomda elektronun əlaqəli (rabitəli) olması şərti onun tam enerjisinin E ≤0
olmasıdır. Müsbət ion üçün isə bu şərt 0 2 2 ϕ ϕ e e m p E ≤ + =
(132.36) ilə əvəz olunur. Buradan ( )
1 0 2 ϕ ϕ − = me p maks
(132.37) və müsbət ion üçün (132.9) Tomas-Fermi tənliyi ( )
( ) (
) 2 3 0 3 2 1 2 2 3 2 4 1 ϕ ϕ π ϕ − = h
e dr r d r
(132.38) kimi olur. Qeyd edək ki, bu tənlik də, ionun səthində ϕ = ϕ 0 sərhəd şərtini və (132.10) şərtini nəzərə almaqla, ədədi inteqrallama metodu ilə həll olunmuşdur. Tomas-Fermi metodunun tətbiq olunma sərhəddi kvaziklassik yaxınlaşmanın tətbiq olunma sərhəddi ilə əsaslı şəkildə əlaqədardır. Məlumdur ki, kvaziklassik yaxınlaşmanın tətbiq olunması üçün əsas şərt 1
(132.39) kimidir, yəni de-Broyl dalğasının uzunluğunun fəzada nöqtədən-nöqtəyə keçdikcə kifayət qədər ləng dəyişməsidir (de-Broyl dalğasının uzunluğunun kifayət qədər kiçik olmasıdır). Bu şərti belə də demək olar ki, kvaziklassik yaxınlaşmanı tətbiq etmək üçün de-Broyl dalğasının uzunluğu boyunca λ 1 = k dalğa ədədinin nisbi dəyişməsi vahidə nisbətən kiçik olmalıdır: 1 1 << ⋅
dk k D . (132.40) Hissəcik
( ) u E m p k − = = 2 2 h h
(132.41) düsturuna əsasən u potensial enerjisi ilə ifadə etmək və (132.39) şərtini 1 3 << dx du p mh
(132.42) və ya
1 3 2 << dx du m D h
(132.43) kimi yazmaq əlverişlidir. (132.42)-də r ze e u 2 = = ϕ , r ze m me p p maks 2 2 2 ⋅ = = ≈ ϕ yazaraq Tomas-Fermi metodunun tətbiq edilə bilməsi meyarı üçün z a z me r 0 2 ~ h >>
(132.44) şərtini alırıq. r~a 0 kimi böyük məsafələrdə kvaziklassik yaxınlaşma yenə də tətbiq oluna bilmir. Beləliklə, Tomas-Fermi metodu 0 0 a r z a << <<
(132.45) intervalında olan
Qeyd edək ki, Tomas-Fermi metodunun digər tətbiqləri də vardır. Belə ki, bu metod ekranlaşdırıcı elektron laylarının sürətli elektronların atomlardan səpilməsinə, tormoz şüalanmasına, elektron-pozitron cütünün yaranmasına və s. təsirini nəzərə almağa imkan verir.
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|